高考数学艺体生好题突围系列基础篇专题08三角函数.doc

专题08 三角函数

同角三角函数的基本关系﹑诱导公式
【背一背基础知识】
1. 掌握同角三角函数的基本关系式：,.
2. 诱导公式
诱导公式一：，，，其中
诱导公式二： ； ，
诱导公式三： ； ，
诱导公式四：； ，
诱导公式五：； ，
诱导公式六：； ，
诱导公式七：； ，

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记忆方法：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”，要把角化成形式为（为常整数）；
奇变偶不变是指：当为偶数时，三角函数名称不变，即前面若是正弦，后面也是正弦，名称不变，当为偶数时，三角函数名称变，即前面若是正弦，后面也是余弦，名称变；符号看象限是指：把看成锐角时，为第几象限角，由原三角函数在各象限符号决定正负号，具体一二象限正弦为正，一四象限余弦为正，一三象限正切为正，其它为负．
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：
（1）同角三角函数的基本关系式包括:(1)平方关系,(2)商数关系. 解题时常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等，应用 “弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的，得到一个只含的教简单的三角函数式。需注意的是:①这是一组同角关系式,②利用平方关系式进行开方运算时,需注意运算结果的正负符号,③计算中应尽可能少用平方关系式.
（2） 正、余弦三兄妹“、”的应用
与通过平方关系联系到一起，即，
即（根据判断正负）；因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.
应用同角关系式的两点技巧:(1)"1"的代换: ,(2)整体代换:为了计算或化简需要可将计算式作适当变形,使得所给条件可整体代入.
（3）如何利用“切弦互化”技巧
（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”得表达式，进行求值.
常见的结构有:
① 的二次齐次式（如）的问题常采用“”代换法求解；
②的齐次分式（如）的问题常采用分式的基本性质进行变形．
（2）切化弦：利用公式，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧.
温馨提示：
（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。
（2）利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号。
的求值技巧：当已知，时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有或，这两个公式中的其中一个平方后即可求出，根据同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出的值．或者把、与联立，通过解方程组的方法也可以求出的值．
（4）应用诱导公式的重点是对"函数名称"与"正负号"的正确判断, 关键抓住题中的整数是表示的整数倍，所以做题时须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。给角求值问题，利用诱导公式找到给定角和常见特殊角的联系求出值．
常用结论：；
i. 利用诱导公式求值
给角求值的原则和步骤
(1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.
(2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为之间角的三角函数，然后求值，其步骤为：

给值求值的原则:寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，若出现的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解.
常见的互余与互补关系
(1)常见的互余关系有：与；与；与等.
(2)常见的互补关系有： 与;与等.遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题.
ii. 利用诱导公式化简、证明
利用诱导公式化简三角函数的原则和要求
(1)原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少.
(2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.
iii.证明三角恒等式的主要思路
(1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.
(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子.
(3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明.
提醒：由终边相同的角的关系可知，在计算含有的整数倍的三角函数式中可直接将的整数倍去掉后再进行运算，如.
2.典型例题：
例1已知，且为第四象限的角，则= ．
【答案】
分析：已知等式利用诱导公式化简求出的值，根据为第四象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，所求式子利用诱导公式化简后将的值代入计算尽快求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
例2若，则的值为（ ）
A. B C. D．
【答案】A
分析：由已知的等式移项后，利用同角三角函数间的基本关系弦化切，求出的值，然后把所求式子的分子分别利用二倍角的余弦、正弦函数公式化简，分母利用同角三角函数间的基本关系把“1”化为，分子分母同时除以，利用同角三角函数间的基本关系弦化切，将的值代入即可求出值．此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键．

【练一练趁热打铁】
1. 已知，则 .
【答案】

2. 直线的倾斜角为，则的值为_________。
【答案】

三角函数的图象与变换

【背一背基础知识】
1.三角函数线
三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。
以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点，过点作轴交轴于点，根据三角函数的定义：；。

我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以为始点、为终点，规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有：
同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点，
规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.
这样,无论那种情况都有。像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.
如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有：
我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。
2.正弦函数，余弦函数，正切函数的图象与性质
性质

图象

定义域

值域

最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值，也无最小值
周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在

上是减函数．
在上是增函数；在上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。
对称中心
无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形。
2．函数的问题：
(1)“五点法”画图：分别令，求出五个特殊点；
(２) 由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
i.函数图像的变换（平移变换和上下变换）
平移变换：左加右减，上加下减
把函数向左平移个单位，得到函数的图像;
把函数向右平移个单位，得到函数的图像;
把函数向上平移个单位，得到函数的图像;
把函数向下平移个单位，得到函数的图像.
伸缩变换:
把函数图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图像;
把函数图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图像;
把函数图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图像;
把函数图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图像.
ii.由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍()，便得的图象
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象。
注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到。
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。研究类似于的性质时，一般是通过整体代换的方法，将其化归成的形式．这样就可通过的性质来研究的性质．对于和用同样的方法来处理，在进行三角函数图象的左右平移时应注意以下几点：一要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；二要注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；三是由的图象得到)的图象时，需平移的单位数应为而不是.
2.典型例题：
例1为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
（A）向右平移个单位 （B）向右平移个单位
（C）向左平移个单位 （D）向左平移个单位
分析：函数，再根据函数的图象变换规律，得出结论，函数的图象变换的平移规律为：“左加右减”、“上加下减”．
【答案】D

例2已知是实数，则函数的图象不可能是 ( )

分析：函数的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为，周期为，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象．由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键．
【答案】D
【练一练趁热打铁】
1. 将函数（）的图像分别向左平移（）个单位，向右平移（）个单位，所得到的两个图像都与函数的图像重合，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用图象变换的结论，函数（）的图像分别向左平移（）个单位，得函数的图象，向右平移（）个单位，得函数
2. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ）
(A) 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
(B) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
(C) 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
(D) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
【答案】B

求三角函数的解析式

【背一背基础知识】1. 由的图象求其函数式：
已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
由的图象求其函数式，确定的解析式的步骤：
(1)求确定函数的最大值和最小值，则.
(2)求，确定函数的周期，则.
(3)求，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为；“第二点”(即图象的“峰点”)为；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为；“第四点”(即图象的“谷点”)为；“第五点”为.
2.利用图象变换求解析式：
由的图象向左或向右平移个单位，，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.
有关变换法需注意两点:①周期变换、相位变换、振幅变换可按任意次序进行;②在不同的变换次序下平移变换的量可能不同.
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：求三角函数的解析式须注意的值，是由函数图象的位置确定，但的值是不确定的，它有无数个，事实上，如果是满足条件的一个值，那么都是满足条件的值，故这类题目一般都会限制的取值范围，若没限制的取值范围，也能根据所给的图象去判断．适时关注题设条件中的取值范围或数形结合，避开此类问题的陷阱．
2.典型例题：
例1已知函数 （） 的部分图象如上图所示，则 的函数解析式为 ．

分析：根据函数图象求出，求出，利用点在曲线上，求出，得到解析式，由的部分图象确定其解析式，正确视图，选择适当的点的坐标，能够简化计算过程，解题的关键是初相的求法要注意．
【答案】
例2 【江西师大附中2014届高三年级10月测试试卷】把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把图像上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图像所表示的函数是（ ）
A． B．
C． D．
分析：先根据横坐标缩短到原来的倍时，变为原来的2倍进行变换，再根据左加右减的原则进行平移，即可得到答案．平移变换时注意都是对单个的或来运作的．
【答案】C
【练一练趁热打铁】
1. 函数的部分
图象如图1所示，则函数对应的解析式为（ ）
A. B. C. D.

【答案】A
【解析】由图象知，，，
2. 已知函数的最小正周期为2，且，则函数的图象向左平移个单位所得图象的解析式为（ ）
（A） （B） （C) (D)
【答案】A

三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性

【背一背基础知识】经过恒等变形化成“，，”的形式，利用，，的单调性、奇偶性、对称性和周期性来解
1. 三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；
的递增区间是，递减区间是，
的递增区间是
2. 对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；
的对称轴为，对称中心为；
无对称轴，对称中心为.
3. 求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法.
4. 判断三角函数的奇偶性的常用方法：一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有，则函数是偶函数，如果有，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数。
5．在做这一类题时经常用到三角恒等变化,要用到下面公式:
两角和与差的三角函数:；；.
二倍角公式:；；
.
降幂公式:；；.
辅助角公式:，.
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：三角函数性质的求解方法
(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成的形式再求解．
(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性，最值与周期．
[易错提示]　(1)在求三角函数的最值时，要注意自变量x的范围对最值的影响，往往结合图象求解．
(2)求函数的单调区间时，要特别注意的正负,只有当时，才可整体代入并求其解，当时，需把的符号化为正值后求解．
2.典型例题：
例1已知函数， 的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
分析：化简函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，求出函数的周期，推出，得到函数解析式，利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间．三角函数单调区间的求法．要把函数化成的形式在进行解题．
例2若函数，则是（ ）
A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为2的偶函数 D．最小正周期为的奇函数
【答案】D
分析：利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为，从而得到函数的周期性和奇偶性,解这一类题的关键是,通过角函数的恒等变换,把它化为一个角的一个三角函数.
【练一练趁热打铁】
1. 已知函数 的最小正周期为，且满足，则 ( )
（A）在上单调递减 （B）在上单调递减
（C）在上单调递增 （D）在上单调递增
【答案】A

2. 数的最大值为，最小正周期为，则有序数对为 .
【答案】

（一） 选择题（12*5=60分）
1. cos540°= （ ）.
A．0 B．1 C．-1 D． 1/2
【答案】C
【解析】.
2. 下列函数中，对于任意R，同时满足条件和的函数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知道：是偶函数，且周期是，选项A，C的周期是，选项B，函数
为奇函数，故选D.
3. 若，则( )
A． B． C． D．
【答案】Ｂ

4. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】D
【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到，故选D.
5. 已知角的终边上一点，且=，则=
A． B． C． D．
【答案】B.
6. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. 2π D. 4π
【答案】B
【解析】函数，故最小正周期为，选B.
7. 设函数f（x）=sin（2x+），则下列结论正确的是（　　）
　 A． f（x）的图象关于直线x=对称 B． f（x）的图象关于点（，0）对称
　 C． f（x）的最小正周期为π D． f（x）在[0，]上为增函数
【答案】C
8. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B. C. D.

【答案】B

9. 函数图象的一条对称轴方程可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数，对称轴，即，当时，
，故答案为D.
10. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ）个单位长度.
A.向右平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向左平移

【答案】A.

11. 已知函数，R，则，，的大小关系为 （ ）
A．　　　　　　　B．
C．　　　 　　　 D．
【答案】A.
【解析】由知，函数为偶函数，当时，知，函数在上单调递增，由知，，即.故选A.
12. 已知在处取最大值，则
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数
C．一定是奇函数 D．一定是偶函数
【答案】D

（二） 选择题（4*5=20分）
13. 已知函数，若, 则实数的最小值为_____________.
【答案】
【解析】当周期取最大值时，取最小值，因此
14. 若函数与函数的定义域为，它们在同一点有相同的最小值，则 ．
【答案】

15. 已知 ,则 .
【答案】.
【解析】对式子两边平方得，.
16. 已知函数，将的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，若函数在上至少含有个零点，则的最小值为
【答案】

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