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第五节 椭圆
[最新考纲] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．
1．椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；
③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a－b≤y≤b
－b≤x≤b－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋＜1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋＞1.
2．焦点三角形
如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．设r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)a－c≤|PF1|≤a＋c.
(4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.
3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.
4．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
5．椭圆中点弦的斜率公式
若M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－，即kAB＝－.
6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长
|AB|＝|x1－x2|
＝
＝|y1－y2|＝(k为直线的斜率)．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ( )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)． ( )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． ( )
(4)关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆． ( )
[答案](1)× (2)√ (3)× (4)√
二、教材改编
1．若F1(－3,0)，F2(3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1
A [设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1.故选A.]
2．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C．2－ D.－1
D [法一：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，依题意，显然有|PF2|＝|F1F2|，则＝2c，即＝2c，即e2＋2e－1＝0，又0<e<1，解得e＝－1.故选D.
法二：因为△F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c.因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2c＋2c＝2a，所以e＝＝＝－1.故选D.]
3．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是 ．
(3,4)∪(4,5) [由已知得
解得3＜k＜5且k≠4.]
4．已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为 ．
＋＝1 [设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，所以解得故椭圆的标准方程为＋＝1.]
第1课时 椭圆及其性质
考点1 椭圆的定义及应用
椭圆定义的应用主要有两个方面
一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．
(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
(2)F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A．7 B. C. D.
(1)A (2)C [(1)由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，
∴|MP|＝|PF|，
∴|PF|＋|PO|
＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)．
又|MO|＞|FO|，
∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选A.
(2)由题意得a＝3，b＝，c＝，
∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6.
∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，
∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.
∴|AF1|＝，
∴S△AF1F2＝××2×＝.]
本例(1)应用线段中垂线的性质实现了“|PF|＋|PO|”向定值的转化；本例(2)把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起，借助方程的思想解出|AF1|，从而求得△AF1F2的面积．
[教师备选例题]
设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为 ．
－5 [由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，
当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，
又|MF2|＝＝5,2a＝10，
∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，
即|PM|－|PF1|的最小值为－5.]
已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝ .
3 [设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
则所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.]
考点2 椭圆的标准方程
定义法
先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a2，b2的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a＞|F1F2|.
1.在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
A [由|AC|＋|BC|＝18－8＝10＞8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3.
由A，B，C不共线知y≠0.
故顶点C的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．]
2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
D [设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8＜16，∴动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，则a＝8，c＝4，∴b2＝48，故所求的轨迹方程为＋＝1.]
利用定义法求轨迹方程时，注意检验所求轨迹是否是完整的曲线，倘若不是完整的曲线，应对曲线中的变量x或y进行限制．
待定系数法
利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．
1.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为 ．
＋＝1 [设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．
由
解得m＝，n＝.
∴椭圆方程为＋＝1.]
2．过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为 ．
＋＝1 [法一：椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，
2a＝＋，
解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，
∴其焦点在y轴上，
且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，
故a2－b2＝16.①
又点(，－)在所求椭圆上，
∴＋＝1，
则＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.]
3．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为 ．
x2＋y2＝1 [不妨设点A在第一象限，如图所示．
∵AF2⊥x轴，∴A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0＜b＜1，c＞0)．
又∵|AF1|＝3|F1B|，
∴由＝3得B，
代入x2＋＝1
得＋＝1.
又c2＝1－b2，
∴b2＝.
故椭圆E的方程为x2＋y2＝1.]
(1)已知椭圆上两点，常设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)；(2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为.
考点3 椭圆的几何性质
椭圆的长轴、短轴、焦距
求解与椭圆几何性质有关的问题，如：顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，同时要结合图形进行分析．
(1)已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A．8 B．7
C．6 D．5
(2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为 ．
(1)A (2)＋＝1 [(1)因为椭圆＋＝1的长轴在x轴上，所以 解得6<m<10.因为焦距为4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.
(2)椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，
∵两焦点恰好将长轴三等分，
∴2c＝×2a＝2，得c＝1，
因此，b2＝a2－c2＝9－1＝8，
所以此椭圆的标准方程为＋＝1.]
求离心率的值(或范围)
求椭圆的离心率，常见的有三种方法
一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
(2)椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是 ．
(1)D (2) [(1)由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，
∴点P坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点P(2c，c)．∵点P在过点A，且斜率为的直线上，∴＝，解得＝，∴e＝，故选D.
(2)因为椭圆C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，所以|PF1|＝×2c＝3c.由a－c≤|PF1|≤a＋c，解得≤≤. 所以椭圆C的离心率e的取值范围是.]
本例(2)在求解时运用了隐含条件“a－c≤|PF1|≤a＋c”．特别地，在求与椭圆的相关量的范围时，要注意经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．
1.(2019·昌平二模)嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里．已知月球的直径为3 476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为( )
A. B. C. D.
B [如图，F为月球的球心，月球半径为：×3 476＝1 738，依题意，|AF|＝100＋1 738＝1 838，|BF|＝400＋1 738＝2 138.
∴2a＝1 838＋2 138，即 a＝1 988，
∴a＋c＝2 138, c＝2 138－1 988＝150，
故椭圆的离心率为：e＝＝≈，选B.]
2．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
B [∵F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，∴0<e<1，F1(－c,0)，F2(c,0)，c2＝a2－b2.设点P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x－c，y)＝0，化简得x2＋y2＝c2.联立方程组
整理得，x2＝(2c2－a2)·≥0，解得e≥.
又0<e<1，∴≤e<1.]
与椭圆性质有关的最值或范围问题
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．
(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
(1)(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
(2)(2019·烟台模拟)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
(1)A (2)C [(1)由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．
①如图1，当焦点在x轴，即m＜3时，
a＝，b＝，tan α＝≥tan 60°＝，∴0＜m≤1.
图1 图2
②如图2，当焦点在y轴，
即m＞3时，
a＝，b＝，tan α＝≥tan 60°＝，
∴m≥9.
综上，m的取值范围(0,1]∪[9，＋∞)，故选A.
(2)由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2，
∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.
∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.]
本例(1)的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点可以迅速求出此种情形下的椭圆离心率，然后数形结合求解；本例(2)的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x(y)的有界性解模的思路．
[教师备选例题]
1．(2019·深圳模拟)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
D [法一：(直接法)
如图，在Rt△PF2F1中，
∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，
∴|PF1|＝＝，
|PF2|＝2c·tan 30°＝.
∵|PF1|＋|PF2|＝2a，
即＋＝2a，可得c＝a.
∴e＝＝.
法二：(特殊值法)在Rt△PF2F1中 ，
令|PF2|＝1，
∵∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝2，|F1F2|＝.
∴e＝＝＝.故选D.]
2.如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为 ．
4 [由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故椭圆方程为＋＝1.
设P点坐标为(x0，y0)．所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.
因为F(－1,0)，A(2,0)，
＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.
则当x0＝－2时，·取得最大值4.]
3．已知椭圆＋＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是 ．
[因为|PT|＝(b>c)，
而|PF2|的最小值为a－c，
所以|PT|的最小值为.
依题意，有≥(a－c)，
所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，
所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，
所以5c2＋2ac－3a2≥0，
所以5e2＋2e－3≥0.①
又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，
所以2e2<1.②
联立①②，得≤e<.]
以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A．1 B. C．2 D．2
D [设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，
所以×2cb＝1，bc＝1，
而2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号)．即长轴长2a的最小值为2.]
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