2022版江苏高考数学一轮复习讲义：第8章-第1节-直线的倾斜角与斜率、直线的方程-Word版含答案.doc

全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章一般命制12道小题，1道解答题，分值占2024分.2.考查内容(1)对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性质的考查一般以选择题或填空题为主，重在考查学生的双基.(2)对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常以定点问题、最值问题及探索性问题为载体，重在考查等价转化思想、方程思想及数学运算能力.3.备考策略：从近几年高考试题可以看出，高考对圆锥曲线的考查在注重基础、突出转化能力的同时运算量有所减小.第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程最新考纲1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是0，)2斜率公式(1)直线l的倾斜角为90，则斜率ktan .(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面内所有直线都适用1直线的斜率k和倾斜角之间的函数关系如图，当时，斜率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0)2求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率3截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程yy0k(xx0)表示()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1已知两点A(3，)，B(，1)，则直线AB的斜率是()A.BC. DDkAB，故选D.2过点(1,2)且倾斜角为30的直线方程为()A.x3y60B.x3y60C.x3y60D.x3y60A直线的斜率ktan 30.由点斜式方程得y2(x1)，即x3y60，故选A.3如果AC0且BC0，那么直线AxByC0不通过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限C法一：由AxByC0得yx.又AC0，BC0，故AB0，从而0，0，故直线不通过第三象限故选C.法二：取AB1，C1，则直线xy10，其不过第三象限，故选C.4过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 4x3y0或xy10若直线过原点，则k，所以yx，即4x3y0.若直线不过原点，设1，即xya，则a3(4)1，所以直线方程为xy10. 考点1直线的倾斜角与斜率求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出斜率ktan 的取值范围(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角的取值范围提醒：求倾斜角时要注意斜率是否存在 (1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是()A.B.C. D.(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 (1)B(2)(，1，)(1)直线2xcos y30的斜率k2cos .由于，所以cos ，因此k2cos 1，设直线的倾斜角为，则有tan 1，由于0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.(2)如图，kAP1，kBP，要使过点P的直线l与线段AB有公共点，只需k1或k，即直线l斜率的取值范围为(，1，)母题探究1若将本例(2)中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围解P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如图可知，直线l斜率的取值范围为.2若将本例(2)中的B点坐标改为B(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围解如图，直线PA的倾斜角为45，直线PB的倾斜角为135，由图象知l的倾斜角的范围为0，45135，180)(1)解决直线的倾斜角与斜率问题，常采用数形结合思想；(2)根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论1.若平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于()A1或0 B.或0C. D.或0A平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，kABkAC，即，即a(a22a1)0，解得a0或a1.故选A.2直线l经过A(3,1)，B(2，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是 直线l的斜率k1m21，所以ktan 1.又ytan 在上是增函数，因此.考点2直线方程的求法求直线方程的2种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论(2)待定系数法：即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程(组)，再求出参数，最后将其代入直线方程 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A(1，3)，斜率是直线y3x的斜率的；(3)过点A(1，1)与已知直线l1：2xy60相交于B点且|AB|5.解(1)法一：设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a0，即l过点(0,0)和(3,2)，l的方程为yx，即2x3y0.若a0，则设l的方程为1，l过点(3,2)，1，a5，l的方程为xy50，综上可知，直线l的方程为2x3y0或xy50.法二：由题意，所求直线的斜率k存在且k0，设直线方程为y2k(x3)，令y0，得x3，令x0，得y23k，由已知323k，解得k1或k，直线l的方程为y2(x3)或y2(x3)，即xy50或2x3y0.(2)设所求直线的斜率为k，依题意k3.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.(3)过点A(1，1)与y轴平行的直线为x1.解方程组求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|5，即x1为所求设过A(1，1)且与y轴不平行的直线为y1k(x1)，解方程组得两直线交点为(k2，否则与已知直线平行)则B点坐标为.由已知52，解得k，y1(x1)，即3x4y10.综上可知，所求直线的方程为x1或3x4y10.求直线方程应注意2点(1)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)(2)截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解教师备选例题求适合下列条件的直线的方程：(1)在y轴上的截距为5，倾斜角的正弦值是；(2)经过点(，3)，且倾斜角为直线xy10的倾斜角的一半；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解(1)设直线的倾斜角为，则sin .cos ，直线的斜率ktan .又直线在y轴上的截距是5，由斜截式得直线方程为yx5.即3x4y200或3x4y200.(2)由xy10得此直线的斜率为，所以倾斜角为120，从而所求直线的倾斜角为60，故所求直线的斜率为.又过点(，3)，所以所求直线方程为y3(x)，即xy60.(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x50.当直线斜率存在时，设其方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点到直线的距离公式，得5，解得k.此时直线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.已知ABC的三个顶点分别为A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程； (3)BC边的垂直平分线DE的方程解(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(2,3)两点，得BC的方程为，即x2y40.(2)设BC边的中点D(x，y)，则x0，y2.BC边的中线AD过A(3,0)，D(0,2)两点，所在直线方程为1，即2x3y60.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k22.由(2)知，点D的坐标为(0,2)所求直线方程为y22(x0)，即2xy20.考点3直线方程的综合应用处理直线方程综合应用的2大策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定” (1)已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则a .(2)过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点当AOB面积最小时，求直线l的方程；当|OA|OB|取最小值时，求直线l的方程(1)由题意知直线l1，l2恒过定点(2,2)，直线l1的纵截距为2a，直线l2的横截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a42，又0a0，b0，直线l的方程为1，所以1.|(a2，1)(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)54，当且仅当ab3时取等号，此时直线l的方程为xy30.