单调性极值凹凸性拐点渐近线.pptx

4.3 函数单调性判别法函数单调性判别法一、定理（单调性判别定理）一、定理（单调性判别定理）可导函数可导函数：一阶导数的符号与函数的单调性密：一阶导数的符号与函数的单调性密切相关。切相关。证明：证明：二、确定函数单调区间的步骤二、确定函数单调区间的步骤:1 1、确定函数定义域、确定函数定义域.解解解:函数的单调性证明不等式函数的单调性证明不等式由例得步骤：由例得步骤：证明证明三、函数极值三、函数极值函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值使函数取得极值的的点点称为称为极值点极值点.函数在一点取得函数在一点取得极值用导数表现出来极值用导数表现出来极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念.问题极值点在哪些点中寻找？极值点在哪些点中寻找？如何判断是否为极值点？如何判断是否为极值点？定理定理 (必要条件必要条件)定义定义注意注意例如例如函数极值的求法函数极值的求法极值点极值点导数为导数为0 0和导数不存在和导数不存在的点的点定理定理(极值点第一判别法极值点第一判别法)充分条件充分条件 求极值与单调区间的步骤：求极值与单调区间的步骤：求函数的定义区间；求函数的定义区间；求出函数的所有导数为求出函数的所有导数为0和导数不存在的点；和导数不存在的点；上述点将上述点将f(x)的定义区间分成若干子区间；的定义区间分成若干子区间；列表分析相应的列表分析相应的f(x),讨论单调性、极值情况；讨论单调性、极值情况；写出结论。写出结论。例例1 1解解:D(f)=R列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值练习：练习：函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.列表讨论列表讨论解解:D(f)=R定理定理:极值点第二判别法极值点第二判别法（对驻点判定（对驻点判定)例例解：解：图形如下图形如下C注意注意注意注意：若：若：若：若f”f”(x x0 0)=0,0,此定理失效此定理失效此定理失效此定理失效,用第一充用第一充用第一充用第一充分条件判断。分条件判断。分条件判断。分条件判断。极值（点）求法小结定义域定义域一阶导数一阶导数求驻点或导数不存在的点求驻点或导数不存在的点判定判定第一判别法列表判定第一判别法列表判定第二判定法注意使用条件第二判定法注意使用条件小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在临界点取得函数的极值必在临界点取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)作业：作业：P107:1(4)(5)3(1)(4)4.4 4.4 曲线的凸性与拐点、渐近线、画图曲线的凸性与拐点、渐近线、画图一、曲线的凸性与拐点一、曲线的凸性与拐点二、曲线的渐近线二、曲线的渐近线研究函数形态，仅知单调性是不够的，例如研究函数形态，仅知单调性是不够的，例如oxyoxyoxy(1)(2)(1)(2)弯曲方向不同弯曲方向不同-凹凸性不同凹凸性不同1 1定义定义定义定义:若在某区间内若在某区间内若在某区间内若在某区间内,曲线曲线曲线曲线上任意一点处切线上任意一点处切线上任意一点处切线上任意一点处切线都在曲线的上方都在曲线的上方都在曲线的上方都在曲线的上方,则称该曲线是则称该曲线是则称该曲线是则称该曲线是凸凸凸凸;若曲线若曲线若曲线若曲线上任意一点处切线上任意一点处切线上任意一点处切线上任意一点处切线,都在曲线的下方都在曲线的下方都在曲线的下方都在曲线的下方则称曲则称曲则称曲则称曲 线在这个区间内是线在这个区间内是线在这个区间内是线在这个区间内是凹凹凹凹 。凸凸凸凸凹凹凹凹引例引例一、函数的凹凸性一、函数的凹凸性图形上任意段弧位图形上任意段弧位图形上任意段弧位图形上任意段弧位于所在弦的上方于所在弦的上方于所在弦的上方于所在弦的上方图形上任意段弧位图形上任意段弧位图形上任意段弧位图形上任意段弧位于所在弦的下方于所在弦的下方于所在弦的下方于所在弦的下方0 xy0 xy凸凸凹凹 凸性区间的判定凸性区间的判定Th：定理：设函数定理：设函数f(x)在在a,b上连续上连续,在在(a,b)内二阶可内二阶可导导,则则（1）若在）若在(a,b)内内 ,则函数则函数f(x)的图像为的图像为凸凸；（2）若在）若在(a,b)内内 ,则函数则函数f(x)的图像为的图像为凹。凹。2、拐点定义：、拐点定义：连续曲线连续曲线f(x)上凹与凸的分界点称为上凹与凸的分界点称为f(x)的拐点。的拐点。0 xy0 xy0 xy0 xy拐点拐点？拐点拐点 oxy二、拐点二、拐点(1)求出函数的定义域求出函数的定义域;(2)求出二阶导数为零或不存在的点求出二阶导数为零或不存在的点;(3)将上述点把定义域分成几个区间将上述点把定义域分成几个区间,(4)根据各区间内二阶导数的符号根据各区间内二阶导数的符号,列表列表讨论凹凸性。讨论凹凸性。求函数的凹凸区间和拐点：求函数的凹凸区间和拐点：例例解解 凹凹 凸凸 凹凹拐点拐点拐点拐点不存在不存在解解三、曲线的渐近线三、曲线的渐近线定义：定义：当曲线当曲线y=f(x)上一动点上一动点P沿曲线趋向无沿曲线趋向无穷穷(无限远离原点无限远离原点)时时,若点若点P到某定直线到某定直线L的的距距离趋向于零离趋向于零,则称直线则称直线L为曲线为曲线y=f(x)的渐近线的渐近线通常我们把渐近线分为通常我们把渐近线分为水平渐近线、垂直渐水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线近线和斜渐近线三类。三类。曲线渐近线的求法曲线渐近线的求法例如例如故故,有水平渐近线两条有水平渐近线两条:(3)斜渐近线斜渐近线 y=ax+boxy作业作业P115 1(1)6(3)求极值与单调区间的步骤：求极值与单调区间的步骤：求函数的定义区间；求函数的定义区间；求出函数的所有导数为求出函数的所有导数为0和导数不存在的点；和导数不存在的点；上述点将上述点将f(x)的定义区间分成若干子区间；的定义区间分成若干子区间；列表分析相应的列表分析相应的f(x),讨论单调性、极值情况；讨论单调性、极值情况；写出结论。写出结论。求最值的步骤求最值的步骤：1 1 求导数为零和导数不存在的点；求导数为零和导数不存在的点；2 2 求以上点和端点的函数值求以上点和端点的函数值;3 3 比较找出最大值和最小值。比较找出最大值和最小值。(1)求出函数的定义域求出函数的定义域;(2)求出二阶导数为零或不存在的点求出二阶导数为零或不存在的点;(3)将上述点把定义域分成几个区间将上述点把定义域分成几个区间,(4)根据各区间内二阶导数的符号根据各区间内二阶导数的符号,列表列表讨论凹凸性。讨论凹凸性。求函数的凹凸区间和拐点：求函数的凹凸区间和拐点：渐近线渐近线(3)斜渐近线斜渐近线 y=ax+b最优化问题：1.城市规划中道路如何设计最畅通；城市规划中道路如何设计最畅通；2.产品生产中，总希望成本最低，利润最大；产品生产中，总希望成本最低，利润最大；产品生产中，总希望成本最低，利润最大；产品生产中，总希望成本最低，利润最大；3.3.汽车尾气的排放污染最小；汽车尾气的排放污染最小；汽车尾气的排放污染最小；汽车尾气的排放污染最小；4.4.人身体中的血管分支保证供血过程中心脏最人身体中的血管分支保证供血过程中心脏最人身体中的血管分支保证供血过程中心脏最人身体中的血管分支保证供血过程中心脏最节约节约节约节约能量等等。能量等等。能量等等。能量等等。最大最小值问题最大最小值问题4.5、函数的最值及其在经济学中的应用、函数的最值及其在经济学中的应用 一、函数的最值一、函数的最值二、最值在经济学中的应用二、最值在经济学中的应用一、函数的最值及其求法一、函数的最值及其求法1 1 最值的存在性：闭区间上的连续函数一定存在最值。最值的存在性：闭区间上的连续函数一定存在最值。2 2 最值的求法：可能存在于端点，驻点，导数不存最值的求法：可能存在于端点，驻点，导数不存在的点。在的点。求最值的步骤：求最值的步骤：（端点和极值点中）（端点和极值点中）1 1 求导数为零和导数不存在的点；求导数为零和导数不存在的点；2 2 求以上点和端点的函数值求以上点和端点的函数值;3 3 比较找出最大值和最小值。比较找出最大值和最小值。例例解：区域解：区域-3,4计算计算比较得比较得二、最大、最小值实际应用问题二、最大、最小值实际应用问题 最大边际利润原则最大边际利润原则利润函数利润函数 L(x)取最大值的必要条件：取最大值的必要条件：利润最大的必要条件：利润最大的必要条件：边际收益等于边际成本边际收益等于边际成本利润函数利润函数 L(x)取最大值的充分条件：取最大值的充分条件：例：例：(1)已知某产品的销价为已知某产品的销价为 P(x)=200,总成本函数总成本函数（1 1）总利润函数）总利润函数 L(x)（2 2）边际利润）边际利润 （3 3）产量为多少时，利润最大？）产量为多少时，利润最大？解：（解：（1 1）(2)某工厂生产某种产品，固定成本为某工厂生产某种产品，固定成本为200，多生产，多生产一件产品成本增加一件产品成本增加4，已知需求函数为，已知需求函数为q=100-p，问：，问：产量多少时利润最大，最大利润是多少？产量多少时利润最大，最大利润是多少？解：解：4848是函数的唯一极大值点，即最大值点。是函数的唯一极大值点，即最大值点。当产量是当产量是4848时利润最大，最大利润为时利润最大，最大利润为21042104。300300是函数的唯一极大值点，即最大值点。是函数的唯一极大值点，即最大值点。当产量是当产量是300300时利润最大，最大利润为时利润最大，最大利润为11001100。