2022年高考数学一轮复习考点20两角和与差的正弦余弦和正切必刷题理含解析.doc

考点20 两角和与差的正弦、余弦和正切
1、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝，则角C＝(　　)
A.　 B．　　
C．或 D．或
【答案】B
【解析】在△ABC中，由余弦定理得cos A＝，即＝，所以b2＋c2－a2＝bc.又b2＝a2＋bc，所以c2＋bc＝bc，即c＝(－1)b＜b，则a＝b，所以cos C＝＝，解得C＝.故选B.
2、△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos B＝，则△ABC的面积为(　　)
A．3　　　　　　　 B．
C．9 D．
【答案】B
【解析】.由余弦定理b2＝c2＋a2－2accos B，得7＝16＋a2－6a，解得a＝3，∵cos B＝，∴sin B＝，∴S△ABC＝casin B＝×4×3×＝.故选B.
3、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b2＋c2－a2＝bc，且b＝a，则下列关系一定不成立的是(　　)
A．a＝c　　 B．b＝c
C．2a＝c D．a2＋b2＝c2
【答案】B
【解析】由余弦定理，得cos A＝＝＝，则A＝30°.又b＝a，由正弦定理得sin B＝sin A＝sin 30°＝，所以B＝60°或120°.
当B＝60°时，△ABC为直角三角形，且2a＝c，可知C，D成立；当B＝120°时，C＝30°，所以A＝C，即a＝c，可知A成立．故选B.
4、已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，sin A∶sin B＝1∶，c＝2cos C＝，则△ABC的周长为(　　)
A．3＋3 B．2
C．3＋2 D．3＋
【答案】C
【解析】因为sin A∶sin B＝1∶，所以b＝a，
由余弦定理得cos C＝＝＝，
又c＝，所以a＝，b＝3，所以△ABC的周长为3＋2，故选C.
5、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则c＝(　　)
A．1　 B．2　
C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵S△ABC＝bcsin A，∴＝×1×c×，∴c＝4.
6、在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．
【答案】C
【解析】由正弦定理及sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C可得a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理可得cos A＝≥＝，又0＜A＜π，所以0＜A≤.故A的取值范围是.故选C.
7、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若＜cos A，则△ABC为(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】根据正弦定理得＝＜cos A，
即sin C＜sin Bcos A，∵A＋B＋C＝π，
∴sin C＝sin(A＋B)＜sin Bcos A，整理得sin Acos B＜0.又在三角形中sin A＞0，
∴cos B＜0，∴＜B＜π.∴△ABC为钝角三角形．
8、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是(　　)
A．a＝2b B．b＝2a
C．A＝2B D．B＝2A
【答案】A
【解析】因为A＋B＋C＝π，sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，所以sin(A＋C)＋2sin Bcos C＝2sin Acos C＋cos Asin C，所以2sin B cos C＝sin Acos C.
又cos C≠0，所以2sin B＝sin A，所以2b＝a，故选A.
9、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，c＝2，则A＝(　　)
A.　　 B．　
C． D．
【答案】C
【解析】∵cos A＝＝＝，且A∈，∴A＝.故选C.
10、已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B等于(　　)
A. B．
C. D．
【答案】C
【解析】根据正弦定理＝＝＝2R，
得＝＝，
即a2＋c2－b2＝ac，
得cos B＝＝，又0＜B＜π，
所以B＝，故选C.
11、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a2＋b2－c2)tan C＝ab，则角C的大小为(　　)
A.或　　 B．或
C. D．
【答案】A
【解析】由题意知，＝⇒cos C＝，∴sin C＝.又C∈(0，π)，∴C＝或.故选A.
12、在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　)
A. B．
C．－ D．－
【答案】C
【解析】如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，AB＝BC，AC＝BC，在△ABC中，由余弦定理的推论可知，cos∠BAC＝＝＝－，故选C.
13、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＋sin A－＝0，则的值是(　　)
A．1 B．
C. D．2
【答案】B
【解析】因为cos A＋sin A－＝0，所以(cos A＋sin A)(cos B＋sin B)＝2，所以cos Acos B＋sin Asin B＋sin Acos B＋cos Asin B＝2，即cos(A－B)＋sin(A＋B)＝2，所以cos(A－B)＝1，sin(A＋B)＝1，又A，B分别为三角形的内角，所以A＝B，A＋B＝，所以a＝b，C＝，所以＝＝，故选B.
14、△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)
A.　　 B．　
C． D．
【答案】C
【解析】∵b＝c，∴B＝C.
又由A＋B＋C＝π得B＝－.由正弦定理及a2＝2b2(1－sin A)得sin2A＝2sin2B·(1－sin A)，即sin2A＝2sin2(1－sin A)，即sin2A＝2cos2(1－sin A)，即4sin2cos2＝2cos2(1－sin A)，
整理得cos2＝0，即cos2(cos A－sin A)＝0.
∵0＜A＜π，∴0＜＜，∴cos≠0，
∴cos A＝sin A．又0＜A＜π，∴A＝.
15、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sin C＝2　sin B，则A＝(　　)
A．150°　 B．120°
C．60° D．30°
【答案】D
【解析】由a2－b2＝bc，得sin2A－sin2B＝sin B·sin C，
∵sin C＝2　sin B，∴sin A＝sin B，∴c＝2　b，a＝b，
由余弦定理得cosA＝＝，∴A＝30°.故选D.
16、在△ABC中，A＝，b2sin C＝4sin B，则△ABC的面积为________．
【答案】2
【解析】因为b2sin C＝4sin B，所以b2c＝4b，即bc＝4，故S△ABC＝bcsin A＝×4×＝2.
17、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(bcos A＋acos B)＝c2，b＝3，3cos A＝1，则a的值为________．
【答案】3
【解析】由正弦定理可得
2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝csin C，
∵2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝2sin(A＋B)＝2sin C，∴2sin C＝csin C，∵sin C＞0，∴c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝22＋32－2×2×3×＝9，∴a＝3.
18、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝5，B＝，△ABC的面积为，则cos 2A＝________．
【答案】
【解析】由三角形的面积公式，得S△ABC＝acsin B＝×a×5×sin＝××5a＝，解得a＝3.
由b2＝a2＋c2－2accos B＝32＋52－2×3×5×＝49，得b＝7.由＝⇒sin A＝sin B＝sin ＝，∴cos 2A＝1－2sin2A＝1－2×＝.
19、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝________.
【答案】
【解析】因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得＝，解得sin A＝.因为0°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)，此时C＝90°，所以S△ABC＝ab＝.
20、已知△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．
【答案】；
【解析】由余弦定理得cos∠ABC＝＝，
∴cos∠CBD＝－，sin∠CBD＝，
∴S△BDC＝BD·BC·sin∠CBD＝×2×2×＝.
又cos∠ABC＝cos 2∠BDC＝2cos2∠BDC－1＝，
0＜∠BDC＜，
∴cos∠BDC＝.
21、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若b2＋c2＝2a2，则cos A的最小值为________．
【答案】
【解析】因为b2＋c2＝2a2，则由余弦定理可得a2＝2bccos A，所以cos A＝＝×≥×＝(当且仅当b＝c时等号成立)，即cos A的最小值为.
22、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
【答案】
【解析】(1)由题设得acsin B＝，即csin B＝.
由正弦定理得sin Csin B＝.
故sin Bsin C＝.
(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，
即cos(B＋C)＝－.
所以B＋C＝，故A＝.
由题设得bcsin A＝，a＝3，即bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，由bc＝8，
得b＋c＝.
故△ABC的周长为3＋.
23、如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos A＝bcos C＋ccos B.

(1)求角A的大小；
(2)若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，求AD的长．
【答案】
【解】(1)由题意及正弦定理得2sin Acos A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A．　
∵sin A≠0，∴cos A＝.∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理得，
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，即16＝4＋AC2－2AC，
解得AC＝1＋，或AC＝1－(负值，舍去)．
∵BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，
∴＝＝，∴AD＝AC＝.
24、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.
(1)证明：sin Asin B＝sin C.
(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B．
【答案】(1)见解析 (2)4
【解析】(1)证明：由正弦定理＝＝，可知原式可以化简为＋＝＝1，因为A和B为三角形的内角，所以sin Asin B≠0，
则两边同时乘以sin Asin B，可得
sin Bcos A＋sin Acos B＝sin Asin B，
由和角公式可知，sin Bcos A＋sin Acos B＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，∴sin C＝sin Asin B，故原式得证．
(2)由b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理可知，
cos A＝＝.
因为A为三角形内角，A∈(0，π)，sin A＞0，则sin A＝＝，即＝，由(1)可知＋＝＝1，所以＝＝1－＝1－＝，所以tan B＝4.
25、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos2B＋cos B＝1－cos Acos C.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】(1)在△ABC中，cos B＝－cos(A＋C)．
由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cos Acos C，
∴－sin2B－(cos Acos C－sin Asin C)＝－cos Acos C，化简，得sin2B＝sin Asin C.
由正弦定理，得b2＝ac，∴a，b，c成等比数列．
(2)由(1)及题设条件，得ac＝4.
则cos B＝＝≥＝，
当且仅当a＝c时，等号成立．
∵0＜B＜π，∴sin B＝≤＝.
∴S△ABC＝acsin B≤×4×＝.
∴△ABC的面积的最大值为.
26、在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin Acos2A－cos(B＋C)＝sin 3A＋.
(1)求A的大小；
(2)若b＝2，求△ABC面积的取值范围．
【答案】 (1) (2) c
【解析】(1)∵A＋B＋C＝π，∴cos(B＋C)＝－cos A①，
∵3A＝2A＋A，
∴sin 3A＝sin(2A＋A)＝sin 2Acos A＋cos 2Asin A②，
又sin 2A＝2sin Acos A③，
将①②③代入已知，得2sin 2Acos A＋cos A＝sin 2Acos A＋cos 2Asin A＋，
整理得sin A＋cos A＝，即sin＝，
又A∈，∴A＋＝，即A＝.
(2)由(1)得B＋C＝，∴C＝－B，
∵△ABC为锐角三角形，∴－B∈且
B∈，
解得B∈，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴c＝＝＝＋1，
又B∈，∴∈(0，)，∴c∈(1，4)，
∵S△ABC＝bcsin A＝c，∴S△ABC∈.
27、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan A＋tan B)＝＋.
(1)证明：a＋b＝2c；
(2)求cos C的最小值．
【答案】 (1) 见解析 (2) .
【解析】(1)由题意知
2＝＋，
化简得2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B，
即2sin(A＋B)＝sin A＋sin B．
因为A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.
从而sin A＋sin B＝2sin C.
由正弦定理得a＋b＝2c.
(2)由(1)知c＝，
所以cos C＝＝
＝－≥，
当且仅当a＝b时，等号成立．
故cos C的最小值为.
28、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若23cos2 A＋cos 2A＝0，且△ABC为锐角三角形，a＝7，c＝6，求b的值；
(2)若a＝，A＝，求b＋c的取值范围．
【答案】(1) 5 (2)b＋c∈(，2]
【解析】(1)∵23cos2 A＋cos 2A＝23cos2 A＋2cos2 A－1＝0，
∴cos2 A＝，
又A为锐角，∴cos A＝，
而a2＝b2＋c2－2bccos A，即b2－b－13＝0，
解得b＝5(负值舍去)，∴b＝5.
(2)解法一：由正弦定理可得b＋c＝2(sin B＋sin C)＝2＝2sin，
∵0＜B＜，∴＜B＋＜，
∴＜sin≤1，∴b＋c∈(，2]．
解法二：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A可得
b2＋c2－3＝bc，
即(b＋c)2－3＝3bc≤(b＋c)2，当且仅当b＝c时取等号，
∴b＋c≤2，又由两边之和大于第三边可得b＋c＞，∴b＋c的取值范围为(，2]．