高考数学艺体生好题突围系列基础篇专题04函数.doc

专题04 函数

函数的定义域
【背一背基础知识】
函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域一般用集合或区间表示.
求定义域的基本原则有以下几条：
1.分式：分母不能为零；
2.根式：偶次根式中被开方数非负，对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；
3.幂指数：及中底数；
4.对数函数：对数函数中真数大于零，底数为正数且不等于；
5.三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为.
【讲一讲基本技能】
1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.
2.对于复合函数求定义域问题，若已知的定义域，则复合函数的定义域由不等式得到.
3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.
4.与定义域有关的几类问题
第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；
第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；
第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．
第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．
1. 典型例题
例1函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
分析：本题属于简单函数的定义域求解问题，求解时注意对二次根式中的被开方数列约束条件，并注意分式中对分母的限制条件，以及对数的真数大于零，列出相应不等式求解即可.
【答案】
【解析】由已知得即或，解得或，故选.
例2已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
分析：本题属于复合函数的定义域问题，在求解该问题时，这属于等量代换，注意还原的与被还原的取值范围的一致性.
【答案】

【练一练趁热打铁】
1. 函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】C

2. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B

分段函数
【背一背基础知识】分段函数：对于定义域不同的部分，函数有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.
1.分段函数的定义域是将各段定义域取并集得到，其值域也是将各段值域取并集得到；
2.分段函数的图象是将各段函数合并组合而成，需注意的是画分段函数时，包含端点，则用实心点；不包含端点，则用空心点.
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：一般分段函数的基本题型有以下三种：
（1）已知自变量的值求函数值，此种题型只需确定自变量在相应的定义域选择合适的解析式代值进行计算即可，求形如的函数时，求解时遵循由内到外的顺序进行；
（2）已知函数值求自变量的值，此种题型只需令相应的解析式等于函数值，求出自变量的值之后再确定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则就舍去；
（3）分段函数型不等式，此种题型只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.
（4）因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．
（5）“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．
2.典型例题
例1．已知函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
分析：本题是分段函数的简单求值，只需利用分段函数的解析式，确定自变量的值属于哪段定义域，并选择合适的解析式代值计算.
【答案】
【解析】由题意．故选．
例2．已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
分析：本题属于复合型分段函数的求值问题，求值时注意由内到外依次进行，但需要根据自变量的值选择合适的解析式代值求解.
【答案】D
【解析】，所以.选D.
例3．已知函数，若，则 .
分析：本题是分段函数的求值问题，考查由函数值求自变量的值，对于此类问题的求解，只需对自变量属于那段定义域进行分类讨论，在相应的条件下将所得答案是否在对应的定义域内进行取舍，若在，则保留；否则相应的答案就要舍去.
【答案】-3

例4．设函数，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
分析：本题考查分段函数不等式的求解，对于此类问题的处理，只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.

【练一练趁热打铁】
1. 设满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
2. 已知函数，若，则实数等于（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】因为，所以，由，解得，故选C.
3.设，若，则 .
【答案】或.
4.已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时，由可得，即，解得，与定义域取交集得；
当时，由可得，即，解得，与定义域取交集得
；
综上所述，不等式的解集为，故选A.

（一） 选择题（12*5=60分）
1. 函数的定义域为 （ ）
A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]
【答案】B
2. 已知函数，，若，则（ ）
A.1 B. 2 C. 3 D. -1
【答案】A
【解析】因为，所以，即，所以，选A.
3. 已知函数，，则（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
【答案】B

4. 设是定义在上的周期为2的函数，当时，，则( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】，选 A.
5. 已知函数的图像如图所示，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.

【答案】A
【解析】由题意，可知观察图像，得. 故)的定义域为，选A.
6. 已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A

7. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B

8. 函数的定义域为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
9.设函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，因此，故选A.
10. 若函数)的定义域为，则函数的定义域是(　　)
A．[－2,3]　　　　　　 B．[－1,3] C．[－1,4] D．[－3,5]
【答案】

11.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，故，故选C.
12. 在实数的原有运算中，我们定义新运算“”如下：当时，；当时，. 设函数，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，当]时，；
当时，，即当时，．选B.
（二） 填空题（4*5=20分）
13. 已知函数，的值为 .
【答案】

14. 对任意两个实数，定义，
若，，则的最小值为　 　．
【答案】

15. 设函数若，则实数的取值范围是______.
【答案】
16. 若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数的图象的对称轴为直线，且，令，

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