(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习_坐标系和参数方程 第1节 坐标系课件 理 新人教B版.pdf

第1 节坐标系最新考纲1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.知识梳理1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换x设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 _：（y_（x0），y0）的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O(极点)；自极点O引一条射线Ox(极逆时针轴)；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取_方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标：平面上任一点 M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度来刻极角画，这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标.其中称为点M的极径，称3.极坐标与直角坐标的互化点 M互化公式直角坐标(x，y)xcos，ysin 极坐标(，)22_x yytan(x0)x24.圆的极坐标方程曲线圆心在极点，半径为r的圆圆心为(r，0)，半径为r的圆圆心为 r，半径为2r的圆图形极坐标方程_r(02)_ 22_2rcos 2rsin(0)5.直线的极坐标方程(1)直线 l过极点，且极轴到此直线的角为，则直线 l的极坐标方程是_R).cos a(2)直线 l过点M(a，0)且垂直于极轴，则直线 l的极坐标方程为_.sin b(3)直线过 M b，且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为2_.诊断自1.思考辨析(在括号内打“”或“”)测(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐也是一一对应关系.()(2)若点 P的直角坐标为(1，3)，则点 P的一个极坐标是2，3.()(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.()(4)极坐标方程(0)表示的曲线是一条直线.()答案(1)(2)(3)(4)2.(教材习题改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极标系，则线段 y1x(0 x1)的极坐标方程为()1，0 2A.cos sin 1，0 4B.cos sin C.cos sin，02D.cos sin，04解析y1x(0 x1)，sin 1cos(0cos 1)；10.sin cos 2答案A3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为2sin，则曲线C的直角坐标方程为_.2解析由2sin，得2sin，所以曲线C的直角坐标方程为x2y22y0.答案xy2y02 24.(2017北京卷)在极坐标系中，点A在圆22cos 4sin 40上，点P的坐标为(1，0)，则|AP|的最小值为_.解析由2 2cos 4sin 40，得22y 2x4y40，即(x1)2(y2)1，x2圆心坐标为C(1，2)，半径长为1.点P的坐标为(1，0)，点P在圆C外.又点A在圆C上，|AP|min|PC|1211.答案175.已知直线 l的极坐标方程为 2，点 A的极坐标为A 2，42sin2，4则点 A到直线 l的距离为_.解析由2 sin 2，得2 22sin2 2 cos 42，7yx1.由A2 2，得 点A 的 直 角坐标4为(2，2).|221|522.点A 到直线l2的距离d 5 2答案2考点一平面直角坐标系中的伸缩变换x3x，【例 1】求双曲线C：x264y1经过变换后所得曲线 C的焦点坐：2yy标.xx3x，x，3得解设曲线C上任意一点 P(x，y)，由2yy2y，y，2222 2xy代入曲线 C：x264y1，得9161，即曲线C的方程为x y1，9 162因此曲线 C的焦点 F1(5，0)，F2(5，0).xx（0），规律方法1.平面上的曲线y f(x)在变换：的作用下的变换方yy（0）xx，程的求法是将代入y f(x)，整理得y yyh(x)为所求.2.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P(x，y)的坐标系，用方程思想求解.x3x，【训练 1】在平面直角坐标系中，已知伸缩变换：2yy.(1)求点 A13，2 经过 变换所得点 A的坐标；(2)求直线 l：y6x经过 变换后所得直线l的方程.x3x，解(1)设点 A(x，y)，由伸缩变换：2yy，x133x1，3x得y2y，点 A的坐标为(1，1).2y21.xx3x，3得x，(2)设 P(x，y)是直线 l上任意一点.由伸缩变换：2yy2y.y，x代入 y6x，得 2y6 32x，即yx，yx为所求直线l的方程.考点二极坐标与直角坐标的互化【例 21】在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：4sin 22.(1)求圆 O和直线 l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线 l与圆 O公共点的一个极坐标.解(1)圆 O：cos sin，即2cos sin，圆 O的直角坐标方程为：x2y2xy，即 x2y2xy直线 l：sin，即sin cos 0，24 21，则直线 l的直角坐标方程为：yx1，即 xy10.x2y2xy0，x故直线 l与圆 O公共点的一个极坐标为(2)由0，得.21，xy10，y1，【例 22】(2016北京卷改编)在极坐标系中，已知极坐标方程 C1：cos 3sin 10，C2：2cos.(1)求曲线 C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线 C1，C2交于 A，B两点，求两交点间的距离.解(1)由 C1：cos 3sin 10，x3y10，表示一条直线.由 C2：2cos，得 22cos.x2y22x，即(x1)2y21.所以 C2是圆心为(1，0)，半径 r1的圆.(2)由(1)知，点(1，0)在直线 x3y10上，所以直线C1过圆 C2的圆心.因此两交点 A，B的连线段是圆 C2的直径.所以两交点 A，B间的距离|AB|2r2.规律方法1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；ycos，ysin，2x2y2，tan x(x0).2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意，的取值范围及影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.【训练 2】(1)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极建2，直线的极坐标方程为 cos立极坐标系.已知点 A的极坐标为4a，且点 A在直线上，求 a的值及直线的直角坐标方程.(2)把曲线 C1：x2y28x10y160化为极坐标方程.4解(1)点 A2，在直线cosa上，44a2cos2，所以直线的方程可化为 cos sin4 42，从而直线的直角坐标方程为 xy20.xcos，代入 x2y28x10y16(2)将ysin 0，得 28cos 10sin 160，所以 C1的极坐标方程为 28cos 10sin 160.考点三曲线极坐标方程的应用【例 31】(2017全国卷)在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点，x轴半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 cos 4.(1)设点 M为曲线C1上的动点，点 P在线段OM上，且|OM|OP|16，点 P(2)设点 A的极坐标为2，点B在曲线C2上，求OAB面积的最的轨迹 C2的直角坐标方程；3大值.解(1)设 P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10).4由题设知|OP|，|OM|cos1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程为 4cos(0).因此 C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0).(2)设点 B的极坐标为(B，)(B0).由题设知|OA|2，B4cos，于是OAB的面积S12|OA|BsinAOB4cos sin 2 sin 2233 23.3当 12时，S取得最大值 23.所以OAB面积的最大值为23.【例32】(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数程为xacos t，y1asin t(t为参数，a0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐系中，曲线 C2：4cos.(1)说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3的极坐标方程为0，其中 0满足 tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在 C3上，求 a.解(1)消去 t，得 C1的普通方程x2(y1)2a2，曲线 C1表示以点(0，1)为圆心，a为半径的圆.将 xcos，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.22sin 1a20，(2)曲线 C1，C2的公共点的极坐标满足方程组4cos.若 0，由方程组得 16cos28sin cos 1a20，由已知 tan 2，可得 16cos28sin cos 0，从而 1a20，解得 a1(舍去)，a1.当 a1时，极点也为 C1，C2的公共点，且在C3上.所以 a1.规律方法1.(1)例31中利用极径、极角的几何意义，表示AOB的面积，借助三角函数的性质求最值优化了解题过程.(2)例32第(1)题将曲线C1的参数方程先化成普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的转化与化归能力.第(2)题中关键是理解极坐标方程的含义，消去，建立与直线C3：0的联系，进而求a.2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.【训练3】(2018太原一模)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方为x2cos，(为参数)，曲线C2：x2y22y0.以原点 O为极点，x轴的ysin 半轴为极轴建立极坐标系，射线 l：(0)与曲线 C1，C2分别交于点AB(均异于原点 O).(1)求曲线 C1，C2的极坐标方程；(2)当 0 2时，求|OA|2|OB|2的取值范围.解(1)C1的普通方程为x2y21，C1的极坐标方程为2cos222sin22C2的极坐标方程为 2sin.22(2)联立(0)与 C1的极坐标方程得|OA|21sin2，联立(0)与 C2的极坐标方程得|OB|24sin2，22则|OA|2|OB|21sin24sin21sin24(1sin2)4.令 t1sin2，则|OA|2|OB|22t4t4，当 0 2时，t(1，2).设 f(t)2t4t4，易得f(t)在(1，2)上单调递2|OA|2|OB|25，增，故|OA|2|OB|2的取值范围是(2，5).