2016年高考文科数学山东卷-答案.pdf

1/10 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】A【解析】因为=1,3,53,4,5 1,3 4,5AB，所以1,3,4()=2,=65UUAB，选 A.【提示】主要考察集合的并集、补集.【考点】集合的运算.2.【答案】B【解析】22(1i)=1i1 i2z，1 iz ，选 B.【提示】化简21iz，根据复数的概念可求z.【考点】复数的运算，复数的概念.3.【答案】D【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于 22.5 小时的人数是200(0.160.080.04)2.5140，选D.【提示】注意纵坐标为频率组距，可知组距为 2.5.【考点】频率分布直方图.4.【答案】C【解析】画出可行域如图所示，点(3,1)A到原点距离最大，所以22max()10 xy，选 C.【提示】作图，画出可行域，求交点坐标，可求最大值.2/10 【考点】简单线性规划.5.【答案】C【解 析】由 已 知，半球 的 直 径为2，正 四 棱锥 的 底 面边 长为 1，高 为 1，所 以其 体积为31421121 1 1+332236 ，选 C.【提示】已知是半球和四棱锥，由三视图可看出是正四棱锥.【考点】三视图，几何体的体积.6.【答案】A【解析】“直线a和直线b相交”“平面和平面相交”，但“平面和平面相交”/“直线a和直线b相交”，所以“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件，故选 A.【提示】若直线相交，一定有一个交点，该点一定同时属于两个平面，即两平面相交，所以是充分条件；两平面相交，平面内两条直线关系任意（平行、相交、异面），即充分不必要条件.【考点】充要条件，直线与平面的位置关系.7.【答案】B【解析】由2220(0)xyaya得222(0)xyaa a，所以圆M的圆心为0,a，半径为1ra，因为圆M截直线0 xy所得线段的长度是lnyx，所以22222 2=21+1aa，解得2a，圆N的圆 心 为1,1，半 径 为21r，所 以220 12 12MN，123rr，121rr，因 为1212rrMNrr，所以圆M与圆N相交，故选 B.【提示】注意“圆的特征直角三角形”。【考点】直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系 8.【答案】C【解析】由余弦定理得：2222222cos22cos2(1 cos)abcbcAbbAbA，因为222(1 sin)abA，所以cossinAA，因为cos0A，所以tan1A，因为(0,)A，所以4A，故选 C.【提示】利用余弦定理、同角三角函数的基本关系可求，注意边角的相互转换.【考点】余弦定理 9.【答案】D【解析】当12x 时，1122fxfx，所以当12x 时，函数()f x是周期为1的周期函数，所以 3/10 (6)(1)ff，又因为当11x 时，()()fxf x，所以3(1)(1)112ff，故选 D.【提示】利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.【考点】函数的周期性，分段函数.10.【答案】A【解析】当sinyx时，cosyx，cos0 cos1，所以在函数sinyx图象存在两点使条件成立，故 A 正确；函数lnyx，exy，3yx的导数值均非负，不符合题意，故选 A.【提示】将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题.【考点】导数的计算，导数的几何意义.第卷 二、填空题 11.【答案】1【解析】按程序运行的过程，运行一遍程序：1i，21S，循环，2i，3 1S，循环，3i，411S ，退出循环，输出 S 的值为 1.【提示】根据题目所给框图，依此执行程序.【考点】程序框图.12.【答案】413n n【解析】通过类比，可以发现，最前面的数字是43，接下来是和项数有关的两项的乘积，即(1)n n，故答案为413n n.【提示】由题干中各等式左端各项分母的特点及等式右端所表现出来的规律经过归纳推理即得.【考点】合情推理.13.【答案】5【解析】(64)tabtt，()(64)(1,1)2100a tabttt，解得5t 【提示】从()atab出发，转化成为平面向量的数量积的计算.【考点】平面向量的数量积 14.【答案】2【解析】依题意，不妨设64ABAD，作出图象如下图所示 4/10 则24c，2c，212532aDFDF，1a，故离心率221ca.【提示】利用特殊化思想，通过对特殊情况求解，得到一般结论.【考点】双曲线的几何性质 15.【答案】(3,)【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，若()f xb有三个不同的根，等价于函数()yf x和yb的图象有三个交点即可，即224mmm mm，230mm，解得3m【提示】利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.【考点】函数的图象与性质、数形结合思想、分段函数 三、解答题 16.【答案】（）516（）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率【解析】（）记“3xy”为事件 A.则事件 A 包含的基本事件数共有 5 个，即(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(3,1),，所以，5()16P A，即小亮获得玩具的概率为516.（）记“8xy”为事件 B，“38xy”为事件C.事件 B 包含的基本事件数共有 6 个，即(2,4),(3,3)(3,4)(4,2)(4,3)(4,4),，5/10 所以，63()168P B.事件 C 包含的基本事件数共有 5 个，即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1)，所以，5()16P C，因为35816，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.【提示】（）求出事件 A 包含的基本事件个数，计算即得；（）记“8xy”为事件 B，“38xy”为事件C，求()P B，()P C，比较即知.【考点】古典概型 17.【答案】（）()f x的单调递增区间是5,()1212kkkZ，（或5,()1212kkkZ）；（）3【解析】（）由2()2 3sin()sin(sincos)f xxxxx 22 3sin(1 2sin cos)xxx 3(1 cos2)sin21xx sin23cos231xx 2sin 2313x 由2 22()232kxkkZ，得5()1212kxkkZ，所以，()f x的单调递增区间是5,()1212kkkZ，（或5,()1212kkkZ）.（）由（）知()2sin 2313f xx，把()yf x图象上所以点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到2sin313yx的图象，再把得到的图象向左平移3个单位，得到2sin3 1yx的图象，即()2sin31g xx.6/10 所以2sin31366g.【提示】（）化简()f x，根据正弦函数的单调性可得()f x的单调递增区间；（）由()2sin 2313f xx，平移后得()2sin31g xx，进一步可得6g【考点】和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质.18.【答案】（）因EFBD，所以EF与BD确定平面BDEF.连接DE，因为AEEC，D 为AC的中点，所以DEAC，同理可得BDAC.又BDDED，所以AC 平面BDEF，因为FB平面BDEF，所以ACFB.（）设FC的中点为I，连GIHI，.在CEF中，因为G是CE的中点，所以GIEF，又EFDB，所以GIDB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC，又GIHII，所以GHIABC平面平面，因为GH 平面GHI，所以GH平面ABC.【提示】（）根据EFDB，知EF与BD确定一个平面，连接DE，得到DEAC，BDAC，从而AC 平面BDEF，证得ACFB.（）设FC的中点为I，连GIHI，在CEF，CFB中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得GHIABC平面平面，进一步得到GH平面ABC.【考点】平行关系，垂直关系.19.【答案】（）31nbn 7/10 （）23 2nnTn【解析】（）由题意知，当2n 时，165nnnaSSn，当1n 时，1111aS，符合上式，所以65nan.设数列的公差为d，由112223abbabb，即111121723bdbd，解得14b，3d，所以31nbn.（）由（）知11(66)3(1)2(33)nnnnnCnn，由123nnTcccc，得234132 23 24 2(1)2nnTn ，342232 23 2(1)2nnTn ，两式作差，得 23412224(21)32 2222(1)234(1)2322 1nnnnnnTnnn 所以23 2nnTn【提示】（）由题意得112223abbabb，求出1b，d，可得到数列 nb的通项公式；（）由（）知11(66)3(1)2(33)nnnnnCnn，从而234132 23 24 2(1)2nnTn ，利用错位相减法即得nT.【考点】等差数列的通项公式，等比数列的求和，错位相减法 20.【答案】（）当0a时，函数()g x单调递增区间为0,，当0a 时，函数()g x单调递增区间为10,2a，单调递减区间为1,2a；（）12a 【解析】（）由()ln22fxxaxa，可得()ln22,(0,)g xxaxa x，8/10 则112()2axg xaxx，当0a时，()0g x，函数()g x单调递增；当0a 时，10,2xa时，()0g x，函数()g x单调递增，1,2xa时，()0g x，函数()g x单调递减.所以当0a时，()g x单调递增区间为0,；当0a 时，()g x单调递增区间为10,2a，单调递减区间为1,2a.（）由（）知(1)0f，当0a时，()0fx，()f x单调递减.所以当0,1x时，()0fx，()f x单调递减.当1,x时，()0fx，()f x单调递增.所以()f x在1x 处取得极小值，不合题意.当102a时，112a，由（）知()fx在10,2a内单调递增，可得当0,1x时，()0fx，当11,2xa时，()0fx，所以()f x在0,1内单调递减，在10,2a内单调递增.所以()f x在1x 处取得极小值，不合题意.当12a 时，即112a时，()fx在0,1内单调递减，在1,内单调递减，所以当0,x时，()0fx，()f x单调递减，不合题意.当12a 时，即1012a，当1,12xa时，()0fx，()f x单调递增，9/10 当1,x时，()0fx，()f x单调递减，所以()f x在1x 处取得极大值，合题意.综上可知，实数 a 的取值范围为12a.【提示】（）先求出()g x，然后讨论当0a时，当0a 时的两种情况即得.（）分以下情况讨论：当0a时，当102a时，当12a 时，当12a 时，综合即得.【考点】应用导数研究函数的单调性、极值，分类讨论思想 21.【答案】（）22142xy（）（）见解析（）直线 AB 的斜率的最小值为62【解析】（）设椭圆的半焦距为 C.由题意知24a，22 2c，所以2a，222bac.所以椭圆 C 的方程为22142xy.（）（）设0000(,)(0,0)P x yxy，由()0Mm,，可得00(,2)(,2)P xmQ xm，.所以直线 PM 的斜率002mmmkxx，直线 QM 的斜率0023mmmkxx.此时3kk.所以kk为定值3.（）设1122(,)(,)A x yB x y，.直线 PA 的方程为ykxm，直线 QB 的方程为3ykxm.联立22142ykxmxy 整理得222(21)4240kxmkxm.由20122421mx xk，可得21202(2)(21)mxkx，所以211202(2)(21)k mykxmmkx.10/10 同理222222002(2)6(2),(181)(181)mk mxymkxkx.所以22222122220002(2)2(2)32(2)(181)(21)(181)(21)mmkmxxkxkxkkx，22222122220006(2)2(2)8(61)(2)(181)(21)(181)(21)k mmkkmyymmkxkxkkx，所以221216111644AByykkkxxkk 由000mx，可知0k，所以162 6kk，等号当且仅当66k 时取得.此时26648mm，即147m，符号题意.所以直线 AB 的斜率的最小值为62.【提示】（）分别计算 a，b 即得.（）（）设0000(,)(0,0)P x yxy，由()0,Mm，可得PQ，的坐标，进而得到直线 PM 的斜率k，直线QM 的斜率k，可得kk为定值.（）设1122(,)(,)A x yB x y，.直线PA的方程为ykxm，直线QB的方程为3ykxm.联立22,1,42ykxmxy应用一元二次方程根与系数的关系得到21xx，21yy，进而可得ABk.应用基本不等式即得.【考点】椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系，基本不等式