2016年高考浙江卷理数试题及答案.pdf

2016 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1.已知集合P=，Q=，则 P=A.2,3 B.(-2,3 C.1,2)D.2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n 满足，则 A.B.C.D.3.在平面上，过点P 作直线l的垂线所得的垂足称为点P 在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0 上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=A.B.4 C.D.6 4.命题“使得”的否定形式是 A.使得 B.使得 C.使得 D.使得5.设函数，则的最小正周期 A.与 b 有关，且与c 有关 B.与 b 有关，但与c 无关 C.与 b 无关，且与c 无关 D.与 b 无关，但与c 有关6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且，.（表示点 P与 Q不重合）若，为的面积，则 A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则 A.且 B.且 C.且 D.且8.已知实数.A.若则 B.若则 C.若则 D.若则二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36 分。9.若抛物线上的点 M到焦点的距离为10，则 M到 y 轴的距离是.10.已知，则 A=，b=.11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3.12.已知，若，则 a=，b=.13.设数列的前 n 项和为，若，则=，=.14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面 ABC外的点 P和线段 AC上的点 D，满足 PD=DA，PB=BA，则四面体 PBCD 的体积的最大值是.15.已知向量a，b，|a|=1，|b|=2，若对任意单位向量e，均有|a e|+|be|，则 a b的最大值是.三、解答题：本大题共5 小题，共74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本题满分14 分）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，已知2 cosbcaB（）证明：2AB（）若ABC的面积24aS，求角 A的大小.17.（本题满分15 分）如图，在三棱台ABCDEF中，已知平面BCFE 平面ABC，90ACB，1BEEFEC，2BC，3AC，（）求证：ACFDBF平面（）求二面角B-AD-C的余弦值.18.（本题满分15 分）设3a，函数2()min2|1|,242F xxxaxa,其中（）求使得等式2()242F xxaxa成立的 x 的取值范围（）（i）求()F x的最小值()m a（ii）求()F x在0,6上的最大值()M a19.（本题满分15 分）如图，设椭圆C:2221(1)xyaa（）求直线1ykx被椭圆截得到的弦长（用 a,k 表示）（）若任意以点(0,1)A为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.20、（本题满分15 分）设数列满足1|12nnaa，（）求证：11|2(|2)(*)nnaanN（）若3|()2nna，*nN，证明：|2na，*nN.浙江数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5 分，满分40 分.1.B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.多空题每题6 分，单空题每题4 分，满分16 分.9.9 10.2,111.72,32 12.4,2 13.1,121 14.1215.12三、解答题：本大题共5 小题，共 74 分。16.本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分 14 分。（I）由正弦定理得sinsinC2sincos，故2sincossinsinsinsincoscossin，于是sinsin又，0,，故0，所以或，因此（舍去）或2，所以，2（II）由24aS得21sinC24aab，故有1sinsinCsin2sincos2，因sin0，得sinCcos又，C0,，所以C2当C2时，2；当C2时，4综上，2或417.本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15 分。（I）延长D，CF相交于一点，如图所示因为平面CF平面C，且CC，所以，C平面C，因此，FC又因为F/C，FFC1，C2，所以C为等边三角形，且F为C的中点，则FC所以F平面CFD（II）方法一：过点F作FQ，连结Q因为F平面C，所以F，则平面QF，所以Q所以，QF是二面角DF的平面角在RtC中，C3，C2，得3 13FQ13在RtQF中，3 13FQ13，F3，得3cosQF4所以，二面角DF的平面角的余弦值为34方法二：如图，延长D，CF相交于一点，则C为等边三角形取C的中点，则C，又平面CF平面C，所以，平面C以点为原点，分别以射线，的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系xyz由题意得1,0,0，C1,0,0，0,0,3，1,3,0，13,0,22，13F,0,22因此，C0,3,0，1,3,3，2,3,0设平面C的法向量为111,mx y z，平面的法向量为222,nxyz由C00mm，得111130330yxyz，取3,0,1m；由00nn，得22222230330 xyxyz，取3,2,3n于是，3cos,4m nm nmn所以，二面角DF的平面角的余弦值为3418.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识。同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力。满分15 分。（I）由于3a，故当1x时，22242212120 xaxaxxax，当1x时，22422122xaxaxxxa所以，使得等式2F242xxaxa成立的x的取值范围为2,2a（II）（i）设函数21fxx，2242g xxaxa，则min10fxf，2min42g xg aaa，所以，由F x的定义知min1,m afg a，即20,32242,22am aaaa（ii）当02x时，Fmax0,22F 2xfxff，当26x时，Fmax2,6max 2,348max F 2,F 6xg xgga所以，348,342,4aaaa19本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15 分。（I）设直线1ykx被椭圆截得的线段为，由22211ykxxya得2222120a kxa kx，故10 x，222221a kxa k因此22212222111a kkxxka k（II）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点，Q，满足Q记直线，Q的斜率分别为1k，2k，且1k，20k，12kk由（I）知，2211221211a kka k，222222221Q1a kka k，故22221122222212212111a kka kka ka k，所以22222222121212120kkkkaak k由于12kk，1k，20k得2222221212120kkaak k，因此222212111112aakk，因为式关于1k，2k的方程有解的充要条件是22121aa，所以2a因此，任意以点0,1为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为12a，由21caeaa得，所求离心率的取值范围为202e20.本题主要考查数列的递推关系与单调性、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。满分15 分。（I）由112nnaa得1112nnaa，故111222nnnnnaa，n，所以11223111223122222222nnnnnnaaaaaaaa121111222n1，因此1122nnaa（II）任取n，由（I）知，对于任意mn，1121112122222222nmnnnnmmnmnnnnmmaaaaaaaa11111222nnm112n，故11222mnnnmaa11132222mnnm3224mn从而对于任意mn，均有3224mnna由m的任意性得2na否则，存在0n，有02na，取正整数000342log2nnam且00mn，则003040002log23322244nnammnna，与式矛盾综上，对于任意n，均有2na