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专题强化训练(二) 数列
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一、选择题
1．设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( )
A．d>0 B．d<0 C．a1d>0 D．a1d<0
D [∵{2a1an}为递减数列，∴＝2a1an＋1－a1an＝2a1d<1＝20，∴a1d<0，故选D.]
2．在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11＝( )
A．24 B．48 C．66 D．132
D [由a9＝a12＋6得，2a9－a12＝12，
由等差数列的性质得，2a9－a12＝a6＋a12－a12＝12，则a6＝12，所以S11＝＝＝132，故选D.]
3．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( )
A．－165 B．－33 C．－30 D．－21
C [由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，
∴a1＝－3.
∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.]
4．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a1＝2a8－3a4，则＝( )
A． B． C． D．
A [由题意可得，a1＝2a1＋14d－3a1－9d，∴a1＝d，又＝＝＝＝.故选A.]
5．已知数列2 008，2 009，1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 016项之和S2 016等于( )
A．1 B．2 010 C．4 018 D．0
D [由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，
∴an＋1＝an－an－1.
故数列的前n项依次为2 008，2 009，1，－2 008，－2 009，－1，2 008，2 009，….由此可知数列为周期数列，周期为6，且S6＝0.∵2 016＝6×336，∴S2 016＝S6＝0.]
二、填空题
6．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－30，Sn是{|an|}的前n项和，则S10＝ ．
190 [由an＝2n－30，令an<0，得n<15，即在数列{an}中，前14项均为负数，
所以S10＝－(a1＋a2＋a3＋…＋a10)
＝－(a1＋a10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190.]
7．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝ ．
[由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2相减可得a3＋a4＝3a4－3a2，同除以a2可得2q2－q－3＝0，解得q＝或q＝－1.因为q>0，所以q＝.]
8．数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝(n≥2且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝ ．
2－ [an－an－1＝(n≥2)，a1＝1，
∴a2－a1＝＝1－，
a3－a2＝＝－，
a4－a3＝＝－，…，
an－an－1＝＝－.
以上各式累加，得
an－a1＝＋＋…＋＝1－.
∴an＝a1＋1－＝2－，当n＝1时，2－＝1＝a1，
∴an＝2－，故数列{an}的通项公式为an＝2－.]
三、解答题
9．数列{an}的前n项和为Sn，已知an＝5Sn－3(n∈N*)，求an的通项公式．
[解] 当n＝1时，a1＝5S1－3＝5a1－3，
得：a1＝，
当n≥2时，由已知an＝5Sn－3，
得：an－1＝5Sn－1－3，
两式作差得an－an－1＝5(Sn－Sn－1)＝5an，∴an＝－·an－1，∴数列{an}是首项a1＝，公比q＝－的等比数列．
∴an＝a1·qn－1＝·.
10．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.
[解] (1)设q(q>0)为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n.
(2)Sn＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2.
1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝( )
A．4n－1 B．4n－1
C．2n－1 D．2n－1
D [设等比数列{an}的公比为q，
∵∴
由①÷②可得＝2，
∴q＝，代入①解得a1＝2，
∴an＝2×＝，
∴Sn＝＝4，
∴＝＝2n－1.]
2．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )
A．13项 B．12项
C．11项 D．10项
B [设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1，所以前三项之积aq3＝2，后三项之积aq3n－6＝4，两式相乘，得aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，所以a·q＝64，即(aqn－1)n＝642，即2n＝642，所以n＝12.]
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0(n∈N*)，bn是an和an＋1的等差中项，设Sn为数列{bn}的前n项和，则S6＝ ．
189 [由an＋1＝2an得{an}为等比数列，
∴an＝2n，∴2bn＝2n＋2n＋1，
即bn＝3·2n－1，
∴S6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.]
4．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝ ，S5＝ ．
1 121 [由于解得a1＝1.
由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1得Sn＋1＝3Sn＋1，
所以Sn＋1＋＝3，所以是以为首项，3为公比的等比数列，
所以Sn＋＝×3n－1，即Sn＝，
所以S5＝121.]
5．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知条件可得
解得
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)设数列的前n项和为Sn，
则Sn＝a1＋＋…＋， ①
＝＋＋…＋. ②
①－②得＝a1＋＋…＋－＝1－(＋＋…＋)－＝1－－＝.
所以Sn＝.故数列的前n项和Sn＝.
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