资源描述
分式与分式方程
一、选择题
1．〔2022·湖北十堰〕用换元法解方程﹣=3时，设=y，那么原方程可化为〔 〕
A．y=﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=0
【考点】换元法解分式方程．
【分析】直接利用将原式用y替换得出答案．
【解答】解：∵设=y，
∴﹣=3，可转化为：y﹣=3，
即y﹣﹣3=0．
应选：B．
【点评】此题主要考查了换元法解分式方程，正确得出y与x值间的关系是解题关键．
2. 〔2022·四川成都·3分〕分式方程=1的解为〔 〕
A．x=﹣2 B．x=﹣3 C．x=2 D．x=3
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x=x﹣3，
解得：x=﹣3，
经检验x=﹣3是分式方程的解，
应选B．
3. 〔2022·四川凉山州·4分〕关于x的方程无解，那么m的值为〔 〕
A．﹣5B．﹣8 C．﹣2 D．5
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m，
由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，
代入整式方程得：﹣5=﹣2+2+m，
解得：m=﹣5，
应选A
4. 〔2022,湖北宜昌，8，3分〕分式方程=1的解为〔 〕
A．x=﹣1 B．x=C．x=1 D．x=2
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣1=x﹣2，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解，
那么分式方程的解为x=﹣1．
应选：A．
【点评】此题考查了分式方程的解，解分式方程利用了转化的思想，还有注意不要忘了检验．
5.〔2022·广东广州〕以下计算正确的选项是〔〕
A、B、
C、D、
［难易］较易
［考点］代数式的运算
［解析］A、显然错误；B、;C、 ,由于与不是同类二次根式，不能进行加减法；D、根据幂的乘方运算法那么就可以得出答案.
［参考答案］D
6.〔2022·广东梅州〕对于实数、，定义一种新运算“〞为：，这里等式右边是实数运算．例如：．那么方程的解是
A．B．C．D．
答案：B
考点：考查学习新知识，应用新知识解决问题的能力。
解析：依题意，得：，所以，原方程化为：＝－1，
即：＝1，解得：x＝5。
7.〔2022·广东深圳〕施工队要铺设一段全长2000米，的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原来方案多50米，才能按时完成任务，求原方案每天施工多少米。设原方案每天施工x米，那么根据题意所列方程正确的选项是〔 〕
A. B.
C.D.
答案：A
考点：列方程解应用题，分式方程。
解析：设原方案每天施工x米，那么实际每天施工为〔x＋50〕米，
根据时间的等量关系，可得：
8.〔2022·广西贺州〕假设关于x的分式方程＝的解为非负数，那么a的取值范围是〔 〕
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可．
【解答】解：去分母得：2〔2x﹣a〕=x﹣2，
解得：x=，
由题意得：≥0且≠2，
解得：a≥1且a≠4，
应选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
9. (2022年浙江省丽水市) +的运算结果正确的选项是〔 〕
A．B．C．D．a+b
【考点】分式的加减法．
【分析】首先通分，把、都化成以ab为分母的分式，然后根据同分母分式加减法法那么，求出+的运算结果正确的选项是哪个即可．
【解答】解： +
=+
=
故+的运算结果正确的选项是．
应选：C．
10. 〔2022年浙江省台州市〕化简的结果是〔 〕
A．﹣1B．1 C．D．
【考点】约分．
【分析】根据完全平方公式把分子进行因式分解，再约分即可．
【解答】解：==；
应选D．
11. 〔2022年浙江省温州市〕假设分式的值为0，那么x的值是〔 〕
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】直接利用分式的值为0，那么分子为0，进而求出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣2=0，
∴x=2．
应选：D．
12．〔2022·山西〕甲、乙两个搬运工搬运某种货物，乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物．设甲每小时搬运xkg货物，那么可列方程为〔 B 〕
A．B．
C．D．
考点：分式方程的应用
分析：设甲每小时搬运xkg货物，那么甲搬运5000kg所用的时间是：，
根据题意乙每小时搬运的货物为x+600，乙搬运8000kg所用的时间为
再根据甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等列方程
解答：甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，所以
应选B．
13．〔2022.山东省青岛市,3分〕A，B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．假设设原来的平均车速为xkm/h，那么根据题意可列方程为〔 〕
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h，利用时间差值得出等式即可．
【解答】解：设原来的平均车速为xkm/h，那么根据题意可列方程为：
﹣=1．
应选：A．
14．〔2022.山东省泰安市，3分〕化简：÷﹣的结果为〔 〕
A．B．C．D．a
【分析】先将分式的分子分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再计算分式的乘法，最后计算分式的加法即可．
【解答】解：原式=×﹣
=﹣
=，
应选：C．
【点评】此题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法那么是解题的关键．
15．〔2022.山东省泰安市，3分〕某机加工车间共有26名工人，现要加工2100个A零件，1200个B零件，每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务〔每人只能加工一种零件〕设安排x人加工A零件，由题意列方程得〔 〕
A． =B． =
C． =D．×30=×20
【分析】直接利用现要加工2100个A零件，1200个B零件，同时完成两种零件的加工任务，进而得出等式即可．
【解答】解：设安排x人加工A零件，由题意列方程得：
=．
应选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出加工两种零件所用的时间是解题关键．
16．〔2022·江苏连云港〕假设分式的值为0，那么〔 〕
A．x=﹣2 B．x=0 C．x=1 D．x=1或﹣2
【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴，解得x=1．
应选：C．
【点评】此题考查的是分式的值为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，根据此条件列出关于x的不等式组是解答此题的关键．
17．(2022安徽，5，4分)﹣方程=3的解是〔 〕
A．﹣B．C．﹣4 D．4
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x+1=3x﹣3，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解，
应选D．
二、填空题
1. 〔2022·湖北黄冈〕计算(a-)÷的结果是______________________.
【考点】分式的混合运算.
【分析】将原式中的括号内的两项通分，分子可化为完全平方式，再将后式的分子分母掉换位置相乘，再约分即可。
【解答】解：(a-)÷=÷
=·
=a-b.
故答案为：a-b.
2.〔2022·湖北咸宁〕a，b互为倒数，代数式÷〔+〕的值为_____________.
【考点】倒数的性质，代数式求值，分式的化简．
【分析】a、b互为倒数，那么ab=1，或. 先将前式的分子化为完全平方式，然后将括号内的式子通分，再将分子分母颠倒位置转化为乘法运算，约分后根据倒数的性质即可得出答案.
【解答】解：÷〔+〕=÷
=〔a+b〕·
=ab.
又∵a，b互为倒数，
∴ab=1.
故答案为：1.
【点评】此题考查了倒数的性质，代数式求值，分式的化简．要熟知倒数的性质：假设a、b互为倒数，那么ab=1，或，反之也成立.
3.〔2022·湖北咸宁〕端午节那天，“味美早餐店〞的粽子打9折出售，小红的妈妈去该店买粽子花了54元钱，比平时多买了3个，求平时每个粽子卖多少元设平时每个粽子卖x元，列方程为_______________.
【考点】分式方程的应用．
【分析】题目已设平时每个粽子卖x元，那么打9折出售的单价为0.9x，再根据“比平时多买了3个〞列方程即可.
【解答】解：依题意，得
=-3
故答案为：=-3
【点评】此题考查了分式方程的应用．解答此题的关键是根据端午节那天与平时购置的个数列方程. 题目较容易. 运用公式：数量=，总价=单价×数量，单价=.
4. (2022·新疆)计算： =．
【考点】分式的乘除法．
【分析】先约分，再根据分式的乘除法运算的计算法那么计算即可求解．
【解答】解： =•=．
故答案为：．
【点评】考查了分式的乘除法，规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
5. (2022·新疆)某学校为绿化环境，方案种植600棵树，实际劳动中每小时植树的数量比原方案多20%，结果提前2小时完成任务，求原方案每小时种植多少棵树
【考点】分式方程的应用．
【分析】设原方案每小时种植x棵树，那么实际劳动中每小时植树的数量是120%x棵，根据“结果提前2小时完成任务〞列出方程并求解．
【解答】解：设原方案每小时种植x棵树，
依题意得： =+2，
解得x=50．
经检验x=50是所列方程的根，并符合题意．
答：原方案每小时种植50棵树．
【点评】此题考查了分式方程的应用．分析题意，找到适宜的等量关系是解决问题的关键．
6. 〔2022·四川广安·3分〕某市为治理污水，需要铺设一段全长600m的污水排放管道，铺设120m后，为加快施工进度，后来每天比原方案增加20m，结果共用11天完成这一任务，求原方案每天铺设管道的长度．如果设原方案每天铺设xm管道，那么根据题意，可列方程．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据题目中的数量关系，可以列出相应的方程，此题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
化简，得
，
故答案为：．
7. 〔2022·四川凉山州·4分〕假设实数x满足x2﹣x﹣1=0，那么= 10 ．
【考点】代数式求值．
【分析】根据x2﹣x﹣1=0，可以求得的值，从而可以得到的值，此题得以解决．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1=0，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
故答案为：10．
8. 〔2022年浙江省衢州市〕当x=6时，分式的值等于 ﹣1 ．
【考点】分式的值．
【分析】直接将x的值代入原式求出答案．
【解答】解：当x=6时， ==﹣1．
故答案为：﹣1．
9．〔2022.山东省临沂市，3分〕
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】首先把两个分式的分母变为相同再计算．
【解答】解：．
故答案为：1．
【点评】此题考查的知识点是分式的加减法，关键是先把两个分式的分母化为相同再计算．
10. 〔2022·江苏南京〕方程的解是_______.
答案：
考点：分式方程。
解析：去分母，得：，化简，得：，经检验是原方程的解。
11．〔2022·江苏苏州〕当x= 2 时，分式的值为0．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】直接利用分式的值为0，那么分子为0，进而求出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣2=0，
解得：x=2．
故答案为：2．
12．〔2022·江苏无锡〕分式方程=的解是x=4 ．
【考点】分式方程的解．
【分析】首先把分式方程=的两边同时乘x〔x﹣1〕，把化分式方程为整式方程；然后根据整式方程的求解方法，求出分式方程=的解是多少即可．
【解答】解：分式方程的两边同时乘x〔x﹣1〕，可得
4〔x﹣1〕=3x
解得x=4，
经检验x=4是分式方程的解．
故答案为：x=4．
13．〔2022·江苏省宿迁〕计算： =x．
【分析】进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．
【解答】解： ===x．故答案为x．
【点评】此题考查了分式的加减运算，题目比较容易．
14．(2022福州，20,10分)化简：a﹣b﹣．
【考点】分式的加减法．
【分析】先约分，再去括号，最后合并同类项即可．
【解答】解：原式=a﹣b﹣〔a+b〕
=a﹣b﹣a﹣b
=﹣2b．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
15.〔2022·广东广州〕方程的解是 .
［难易］容易
［考点］分式方程
［解析］
检验：将，代入,是方程的解
［参考答案］
16.〔2022·广西贺州〕要使代数式有意义，那么x的取值范围是x≥﹣1且x≠0 ．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
【解答】解：根据题意，得，且x≠0
解得x≥﹣1且x≠0．
【点评】此题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
此题应注意在求得取值范围后，应排除不在取值范围内的值．
三、解答题
1. (2022·四川资阳)化简：〔1+〕÷．
【考点】分式的混合运算．
【分析】首先把括号内的式子通分相加，把除法转化为乘法，然后进行乘法运算即可．
【解答】解：原式=÷
=•
=a﹣1．
2. (2022·云南)〔12分〕〔2022•云南〕有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是；
第二个数是；
第三个数是；
…
对任何正整数n，第n个数与第〔n+1〕个数的和等于．
〔1〕经过探究，我们发现：
设这列数的第5个数为a，那么，，，哪个正确
请你直接写出正确的结论；
〔2〕请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数〔即用正整数n表示第n数〕，并且证明你的猜想满足“第n个数与第〔n+1〕个数的和等于〞；
〔3〕设M表示，，，…，，这2022个数的和，即，
求证：．
【考点】分式的混合运算；规律型：数字的变化类．
【分析】〔1〕由规律可得；
〔2〕先根据规律写出第n、n+1个数，再根据分式的运算化简可得；
〔3〕将每个分式根据﹣=＜＜=﹣，展开后再全部相加可得结论．
【解答】解：〔1〕由题意知第5个数a==﹣；
〔2〕∵第n个数为，第〔n+1〕个数为，
∴+=〔+〕
=×
=×
=，
即第n个数与第〔n+1〕个数的和等于；
〔3〕∵1﹣=＜=1，
=＜＜=1﹣，
﹣=＜＜=﹣，
…
﹣=＜＜=﹣，
﹣=＜＜=﹣，
∴1﹣＜+++…++＜2﹣，
即＜+++…++＜，
∴．
【点评】此题主要考查分式的混合运算及数字的变化规律，根据规律=﹣得到﹣=＜＜=﹣是解题的关键．
3．〔2022·黑龙江大庆〕某车间方案加工360个零件，由于技术上的改进，提高了工作效率，每天比原方案多加工20%，结果提前10天完成任务，求原方案每天能加工多少个零件
【考点】分式方程的应用．
【分析】关键描述语为：“提前10天完成任务〞；等量关系为：原方案天数=实际生产天数+10．
【解答】解：设原方案每天能加工x个零件，
可得：，
解得：x=6，
经检验x=6是原方程的解，
答：原方案每天能加工6个零件．
【点评】此题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到适宜的等量关系是解决问题的关键．此题需注意应设较小的量为未知数．
4．〔2022·湖北十堰〕化简：．
【考点】分式的加减法．
【分析】首先把第一个分式的分子、分母分解因式后约分，再通分，然后根据分式的加减法法那么分母不变，分子相加即可．
【解答】解：
=++2
=++2
=++
=
=
【点评】此题考查了分式的加减法法那么、分式的通分、约分以及因式分解；熟练掌握分式的通分是解决问题的关键．
5. 〔2022·四川成都·9分〕化简：〔x﹣〕÷．
【考点】分式的混合运算．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法那么计算，同时利用除法法那么变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=•=•=x+1．
6. 〔2022·四川广安·6分〕先化简，再求值：〔﹣〕÷，其中x满足2x+4=0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】原式括号中利用同分母分式的减法法那么计算，同时利用除法法那么变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=•=，
由2x+4=0，得到x=﹣2，
那么原式=5．
7. 〔2022·四川乐山·9分〕解方程：.
解析：
方程两边同乘，
得，………………………………… 〔3分〕
即，…………………………………〔6分〕
那么…………………………………〔7分〕
得. 检验，当时，.
所以，原方程的解为.……………………………………〔9分〕
8. 〔2022江苏淮安，20，8分〕王师傅检修一条长600米的自来水管道，方案用假设干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原方案的1.2倍，结果提前2小时完成任务，王师傅原方案每小时检修管道多少米
【考点】分式方程的应用．
【分析】设原方案每小时检修管道为xm，故实际施工每天铺设管道为1.2xm．等量关系为：原方案完成的天数﹣实际完成的天数=2，根据这个关系列出方程求解即可．
【解答】解：设原方案每小时检修管道x米．
由题意，得﹣=2．
解得x=50．
经检验，x=50是原方程的解．且符合题意．
答：原方案每小时检修管道50米．
【点评】此题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．其中找到适宜的等量关系是解决问题的关键．
9. 〔2022吉林长春，17，6分〕A、B两种型号的机器加工同一种零件，A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数．
【考点】分式方程的应用．
【分析】关键描述语为：“A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同〞；等量关系为：400÷A型机器每小时加工零件的个数=300÷B型机器每小时加工零件的个数．
【解答】解：设A型机器每小时加工零件x个，那么B型机器每小时加工零件〔x﹣20〕个．
根据题意列方程得： =，
解得：x=80．
经检验，x=80是原方程的解．
答：A型机器每小时加工零件80个．
【点评】此题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到适宜的等量关系是解决问题的关键．
10.〔2022湖北襄阳，21，7分〕“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队方案参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队参加，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．
〔1〕假设乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程
〔2〕假设甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，那么乙队至少施工多少天才能完成该项工程
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】〔1〕直接利用队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队参加，两队还需同时施工15天，进而利用总工作量为1得出等式求出答案；
〔2〕直接利用甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，得出不等式求出答案．
【解答】解：〔1〕设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，
∵甲队单独施工30天完成该项工程的，
∴甲队单独施工90天完成该项工程，
根据题意可得：
+15〔+〕=1，
解得：x=30，
检验得：x=30是原方程的根，
答：乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程；
〔2〕设乙队参与施工y天才能完成该项工程，根据题意可得：
×36+y×≥1，
解得：y≥18，
答：乙队至少施工18天才能完成该项工程．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出等量关系是解题关键．
11.〔2022·广东广州〕
(1) 化简
(2) 假设点在反比例函数的图像上，求的值.
【难易】容易
【考点】整式的运算，因式分解，反比例函数
【解析】〔1〕分子用完全平方公式进行化简，因式分解，再与分母进行约分，化到最简。
〔2〕根据〔1〕中的化简结果，利用反比例函数的性质，求出ab的乘积，代入即可求出A的值。
【参考答案】
〔1〕
〔2〕∵点P〔a,b〕在反比例函数的图像上
∴
∴
∴
12.〔2022·广东茂名〕某书店为了迎接“读书节〞制定了活动方案，以下是活动方案书的局部信息：
“读书节〞活动方案书
书本类别
A类
B类
进价〔单位：元〕
18
12
备注
1、用不超过16800元购进A、B两类图书共1000本；
2、A类图书不少于600本；
…
〔1〕陈经理查看方案数时发现：A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍，假设顾客用540元购置的图书，能单独购置A类图书的数量恰好比单独购置B类图书的数量少10本，请求出A、B两类图书的标价；
〔2〕经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节〞对图书销售的影响，便调整了销售方案，A类图书每本标价降低a元〔0＜a＜5〕销售，B类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润
【考点】一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【分析】〔1〕先设B类图书的标价为x元，那么由题意可知A类图书的标价为1.5x，然后根据题意列出方程，求解即可．
〔2〕先设购进A类图书t本，总利润为w元，那么购进B类图书为〔1000﹣t〕本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w=总售价﹣总本钱，求出最正确的进货方案．
【解答】解：〔1〕设B类图书的标价为x元，那么A类图书的标价为1.5x元，
根据题意可得﹣10=，
化简得：540﹣10x=360，
解得：x=18，
经检验：x=18是原分式方程的解，且符合题意，
那么A类图书的标价为：1.5x=1.5×18=27〔元〕，
答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；
〔2〕设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为〔27﹣a〕元〔0＜a＜5〕，
由题意得，，
解得：600≤t≤800，
那么总利润w=〔27﹣a﹣18〕t+〔18﹣12〕〔1000﹣t〕
=〔9﹣a〕t+6〔1000﹣t〕
=6000+〔3﹣a〕t，
故当0＜a＜3时，3﹣a＞0，t=800时，总利润最大；
当3≤a＜5时，3﹣a＜0，t=600时，总利润最大；
答：当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大．
【点评】此题考查了一次函数的应用，涉及了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答此题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出适宜的等量关系，列出方程和不等式组求解．
13. 〔2022年浙江省台州市〕解方程：﹣=2．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+1=2x﹣14，
解得：x=15，
经检验x=15是分式方程的解．
14．〔2022·山东烟台〕先化简，再求值：〔﹣x﹣1〕÷，其中x=，y=．
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先将括号里面进行通分，进而将能分解因式的分解因式，再化简求出答案．
【解答】解：〔﹣x﹣1〕÷，
=〔﹣﹣〕×
=×
=﹣，
把x=，y=代入得：
原式=﹣=﹣1+．
15．〔2022·山东枣庄〕(此题总分值8分)先化简，再求值：，其中a是方程的解.
【答案】原式=, 由，得 ， 又 ∴．原式=．
考点：分式的化简求值；一元二次方程的解法.
16．〔2022·山西〕〔此题共2个小题，每题5分，共10分〕
〔1〕计算：
考点：实数的运算，负指数幂，零次幂
分析：根据实数的运算，负指数幂，零次幂三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根
据实数的运算法那么求得计算结果．
解答：原=9-5-4+1 ……………………………〔4分〕
=1． ……………………………〔5分〕
〔2〕先化简，在求值：，其中x=-2．
考点：分式的化简求值
分析：先把分子分母因式分解，化简后进行减法运算
解答：原式= ……………………………〔2分〕
= ……………………………〔3分〕
= ……………………………〔4分〕
当x=-2时，原式= ……………………〔5分〕
17．〔2022·上海〕解方程：﹣=1．
【考点】解分式方程．
【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可．
【解答】解：去分母得，x+2﹣4=x2﹣4，
移项、合并同类项得，x2﹣x﹣2=0，
解得x1=2，x2=﹣1，
经检验x=2是增根，舍去；x=﹣1是原方程的根，
所以原方程的根是x=﹣1．
【点评】此题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解题的关键，注意验根．
18．〔2022·四川巴中〕先化简：÷〔﹣〕，然后再从﹣2＜x≤2的范围内选取一个适宜的x的整数值代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先将原分式进行化解，化解过程中注意不为0的量，根据不为0的量结合x的取值范围得出适宜的x的值，将其代入化简后的代数式中即可得出结论．
【解答】解：÷〔﹣〕
=÷
=×
=．
其中，即x≠﹣1、0、1．
又∵﹣2＜x≤2且x为整数，
∴x=2．
将x=2代入中得： ==4．
19．〔2022山东省聊城市〕计算：〔﹣〕．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题；分式．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法那么计算，同时利用除法法那么变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=•
=•
=﹣．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
20．〔2022山东省聊城市〕为加快城市群的建设与开展，在A，B两城市间新建条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120km缩短至114km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110km，运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在A，B两地的运行时间．
【考点】分式方程的应用．
【分析】设城际铁路现行速度是xkm/h，设计时速是〔x+110〕xkm/h；现行路程是120km，设计路程是114km，由时间=，运行时间=现行时间，就可以列方程了．
【解答】解：设城际铁路现行速度是xkm/h．
由题意得：×=．
解这个方程得：x=80．
经检验：x=80是原方程的根，且符合题意．
那么×=×=0.6〔h〕．
答：建成后的城际铁路在A，B两地的运行时间是0.6h．
【点评】考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到适宜的等量关系是解决问题的关键．
21．〔2022.山东省青岛市〕〔1〕化简：﹣
【考点】分式的加减法；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【分析】〔1〕原式通分并利用同分母分式的减法法那么计算即可得到结果；
【解答】解：〔1〕原式=﹣==；
22．〔2022.山东省威海市〕某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．
【考点】分式方程的应用．
【分析】设乙班的达标率是x，那么甲班的达标率为〔x+6%〕，根据“甲、乙两班的学生数相同〞列出方程并解答．
【解答】解：设乙班的达标率是x，那么甲班的达标率为〔x+6%〕，
依题意得： =，
解这个方程，得x=0.9，
经检验，x=0.9是所列方程的根，并符合题意．
答：乙班的达标率为90%．
23．〔2022·江苏连云港〕解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2+2x﹣x=0，
解得：x=﹣2，
经检验x=﹣2是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
24. 〔2022·江苏南京〕计算
考点：分式的运算，平方差公式，完成平方公式。
解析：
＝
25．〔2022·江苏苏州〕先化简，再求值：÷〔1﹣〕，其中x=．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先括号内通分，然后计算除法，最后代入化简即可．
【解答】解：原式=÷
=•
=，
当x=时，原式==．
26．〔2022·江苏泰州〕计算或化简：
〔2〕〔﹣〕÷．
【考点】分式的混合运算．
【分析】〔2〕先将括号内的分式通分，进行减法运算，再将除法转化为乘法，然后化简即可．
【解答】解：〔2〕〔﹣〕÷
=〔﹣〕•
=•
=．
27．〔2022·江苏省扬州〕当a=2022时，分式的值是 2022 ．
【考点】分式的值．
【分析】首先将分式化简，进而代入求出答案．
【解答】解： ==a+2，
把a=2022代入得：
原式=2022+2=2022．
故答案为：2022．
28．2022•辽宁沈阳〕化简：〔1﹣〕•〔m+1〕=m．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题；分式．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法那么计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=•〔m+1〕=m，
故答案为：m
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
29．〔2022•江苏省扬州动车的开通为扬州市民的出行带来了方便．从扬州到合肥，路程为360km，某趟动车的平均速度比普通列车快50%，所需时间比普通列车少1小时，求该趟动车的平均速度．
【考点】分式方程的应用．
【分析】设普通列车的速度为为xkm/h，动车的平均速度为1.5xkm/h，根据走过相同的路程360km，坐动车所用的时间比坐普通列车所用的时间少1小时，列方程求解．
【解答】解：设普通列车的速度为为xkm/h，动车的平均速度为1.5xkm/h，
由题意得，﹣=1，
解得：x=120，
经检验，x=120是原分式方程的解，且符合题意．
答：该趟动车的平均速度为120km/h．
30．〔2022•浙江省舟山〕先化简，再求值：〔1+〕÷，其中x=2022．
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先计算括号里面的加法，再把除法化成乘法，约分得出化简结果，再代入x的值计算即可．
【解答】解：〔1+〕÷
=×
=×
=，
当x=2022时，原式==．
31．〔2022•呼和浩特〕先化简，再求值：﹣÷，其中x=﹣．
【考点】分式的化简求值
【分析】〔2〕先算除法，再算加减，最后把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=﹣•
=+
=
=，
当x=﹣时，原式==﹣．
32．〔2022•呼和浩特〕某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成．根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，假设由两队合做此项维修工程，6天可以完成，共需工程费用385200元，假设单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用5天，每天的工程费用甲队比乙队多4000元，从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队
【考点】分式方程的应用．
【分析】设甲队单独完成此项工程需要x天，乙队单独完成需要〔x+5〕天，然后依据6天可以完成，列出关于x的方程，从而可求得甲、乙两队单独完成需要的天数，然后设甲队每天的工程费为y元，那么可表示出乙队每天的工程费，接下来，根据两队合作6天的工程费用为385200元列方程求解，于是可得到两队独做一天各自的工程费，然后可求得完成此项工程的工程费，从而可得出问题的答案．
【解答】解：设甲队单独完成此项工程需要x天，乙队单独完成需要〔x+5〕天．
依据题意可列方程： +=，
解得：x1=10，x2=﹣3〔舍去〕．
经检验：x=10是原方程的解．
设甲队每天的工程费为y元．
依据题意可列方程：6y+6〔y﹣4000〕=385200，
解得：y=34100．
甲队完成此项工程费用为34100×10=341000元．
答：从节省资金的角度考虑，应该选择甲工程队．
33．(2022福州，20,10分)化简：a﹣b﹣．
【考点】分式的加减法．
【分析】先约分，再去括号，最后合并同类项即可．
【解答】解：原式=a﹣b﹣〔a+b〕
=a﹣b﹣a﹣b
=﹣2b．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
34、(2022广东，18,6分)先化简，再求值：，其中.
考点：分式的化简与求值。
解析：原式=
=
==，
当时，
原式=.
35、(2022广东，20,7分)某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务.
〔1〕求这个工程队原方案每天修道路多少米
〔2〕在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原方案增加百分之几
考点：列方程解应用题，分式方程。
解析：解：设〔1〕这个工程队原方案每天修建道路x米，得：
解得：
经检验，是原方程的解
答：这个工程队原方案每天修建100
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