1、第2课时指数函数及其性质的应用小试身手1下列函数中是奇函数，且在(0，)上单调递增的是()AyBy|x|Cy2x Dyx3解析：y在(0，)上单调递减，所以排除A；y|x|是偶函数，所以排除B；y2x为非奇非偶函数，所以排除C.选D.答案：D2下列判断正确的是()A1.51.51.52 B0.520.53Ce2e D0.90.20.90.5解析：因为y0.9x是减函数，且0.50.2，所以0.90.20.90.5.答案：D3已知y1x，y23x，y310x，y410x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为()解析：方法一y23x与y410x单调递增；y1x与y310xx单调递减，在第一象限内
2、作直线x1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.方法二y23x与y410x单调递增，且y410x的图象上升得快，y1x与y23x的图象关于y轴对称，y310x与y410x的图象关于y轴对称，所以选A.答案：A4函数y2的值域为_解析：令ux22x(x1)211，所以y2u21，所以y2的值域为.答案：类型一利用指数函数单调性比较大小例1(1)已知a0.771.2，b1.20.77，c0，则a，b，c的大小关系是()AabcBcbaCacbDcab(2)已知a，函数f(x)ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的关系为()Amn0 Bmn0 Cmn Dmn【解析】(1)a
3、0.771.2,0a1，b1.20.771，c01，则acb.(2)因为01，所以f(x)axx在R上单调递减，又因为f(m)f(n)，所以mn，故选D.【答案】(1)C(2)D要比较大小，由指数函数的单调性入手也可找中间量来比较方法归纳比较幂值大小的三种类型及处理方法跟踪训练1比较下列各题中两个值的大小：(1)1.8与2.5；(2)0.5与0.5；(3)0.20.3与0.30.2.解析：(1)因为02.5，所以1.80.5.(3)因为00.20.31，所以指数函数y0.2x与y0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，)上函数y0.2x的图象在函数y0.3x的图象的下方，所以0.20.2
4、0.30.2.又根据指数函数y0.2x的性质可得0.20.30.20.2，所以0.20.3ab的不等式，借助于函数yax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0ab的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数yax的单调性求解跟踪训练2(1)解不等式3；(2)已知(a22a3)x(a22a3)1x，求x的取值范围解析：(1) (31) 3，原不等式等价于 331.y3x是R上的增函数，2x21.x21，即x1或x1.原不等式的解集是x|x1或x1(2)a22a3(a1)221，y(a22a3)x在R上是增函数x1x，解得x.x的取值范围是.(1)化成同底，确定指数函数的
5、单调性(2)判断a22a3的范围,类型三指数函数性质的综合应用例3已知函数f(x)a(xR)(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(，)上为增函数；(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间1,5上的最小值【解析】(1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1x2，则f(x1)f(x2).因为x1x2，所以220.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以不论a为何实数，f(x)在(，)上为增函数(2)因为f(x)在xR上为奇函数，所以f(0)0，即a0，解得a.所以f(x)，由(1)知，f(x)为增函数，所以f(x)在区间1,5上的最小值为f(1)因为f(1)，所以f(x)
6、在区间1,5上的最小值为.(1)用定义法证明函数的单调性需4步：取值；作差变形；定号；结论 . (2)先由f(x)为奇函数求a，再由单调性求最小值方法归纳 (1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数的定义，根据f(x)f(x)或f(x)f(x)，结合指数运算性质建立方程求参数；(2)若奇函数在原点处有定义，则可利用f(0)0，建立方程求参数跟踪训练3已知定义在R上的函数f(x)2x，a为常数，若f(x)为偶函数，(1)求a的值；(2)判断函数f(x)在(0，)上的单调性，并用单调性定义给予证明；(3)求函数f(x)的值域解析：(1)由f(x)为偶函数得对任意
7、实数x都有2xa2x成立，即2x(1a)(1a)，所以1a0，所以a1.(2)由(1)知f(x)2x，f(x)在(0，)上单调递增证明如下：任取x2，x2(0，)且x1x2，则f(x1)f(x2)2(22)(22)(22)(22)，因为x1x2，且x1，x2(0，)，所以21，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，)上单调递增(3)由(2)知f(x)在0，)上单调递增，又由f(x)为偶函数知函数f(x)在(，0上单调递减，所以f(x)f(0)2.故函数f(x)的值域为2，)(1)由偶函数求a.(2)4步法证明f(x)在(0，)上的单调性(3)利用单调性求最值，
8、得值域基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1下列大小关系正确的是()A0.4330.40 B0.43030.4C30.40.430 D030.40.43解析：因为01,0.43301，所以0.4300时，f(x)x在(0，)上是减函数，故选D.答案：D3已知1nm0，则指数函数ymx，ynx的图象是()解析：由1nm0可知两曲线应为“下降”的曲线，故排除A，B，再由nm可知应选C.答案：C4若2a132a，则实数a的取值范围是()A(1，) B.C(，1) D.解析：函数yx在R上为减函数，所以2a132a，所以a.答案：B5设x0，且1bxax，则()A0ba1 B
9、0ab1C1ba D1ab解析：1bx，b0bx.又x0，b1.bxax，x1，又x0，1，ab，即1ba.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6三个数，中，最大的是_，最小的是_解析：因为函数yx在R上是减函数，所以，又在y轴右侧函数yx的图象始终在函数yx的图象的下方，所以.即.答案：7函数y的单调增区间是_解析：令tx24x3，则其对称轴为x2.当x2时，t随x增大而减小，则y增大，即y的单调增区间为(，2答案：(，28已知f(x)ax(a0且a1)，且f(2)f(3)，则a的取值范围是_解析：f(x)axx，f(2)f(3)，23，即a2a3.a1，即0a0，且a1)解析：(1)
10、由于1.81，所以指数函数y1.8x，在R上为增函数所以1.80.11.80.2.(2)因为1.90.31,0.73.10.73.1.(3)当a1时，函数yax是增函数，此时a1.3a2.5，当0aa2.5.故当0aa2.5，当a1时，a1.32ax(aR)的解集为B，求使ABB的实数a的取值范围解析：由0，解得x2或x1，于是A(，2(1，)，2x2ax2xax2xaxx0时，f(x)12x，则不等式f(x)的解集是_解析：设x0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)(12x)2x1，当x0时，12x(0,1)，所以不等式f(x)，即当x0时，2x1，解得x0，且a1)若f(x)的图象如图所示，(1)求a，b的值；(2)解不等式f(x)2.解析：(1)由图象得，点(1,0)，(0，1)在函数f(x)的图象上，所以解得f(x)2x2.(2)f(x)2x22，2x4，x2.不等式的解集为2，)
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