2020高考数学专项训练《27以解析几何为载体的应用题》(有答案).docx

专题 27 以解析几何为载体的应用题
数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现．数学应
用问题是江苏数学高考的突出亮点，常以中档题(17 或 18 题)的形式呈现，具有良好的区
分度，是高考的重点与热点．本专题集中介绍以解析几何为载体的应用问题，常见的处理
手段是结合实际问题，利用图形中的几何关系，通过解析法建立数学模型，应用相关数学
知识予以解决.
例题：如图，为了保护河上古桥 OA，规划建一座新桥 BC，同时设立一个圆形保护区．规
划要求：新桥BC 与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA上并与BC相切的圆．且
古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m．经测量，点 A 位于点 O 正北方
4
3
向 60 m 处， 点 C 位于点 O 正东方向 170 m 处(OC 为河岸)，tan∠BCO＝ .
(1)求新桥 BC 的长；
(2)当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
变式 1 如图所示，为建设美丽乡村，政府欲将一块长12 百米，宽 5 百米的矩形空地ABCD
建成生态休闲园，园区内有一景观湖 EFG(图中阴影部分)．以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的
垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy(如图所示)．景观湖的边界曲线符合函数 y＝x
1
x
4
3
＋ (x＞0)模型，园区服务中心 P 在 x 轴正半轴上，PO＝ 百米．

(1)若在点 O 和景观湖边界曲线上一点 M 之间修建一条休闲长廊 OM，求 OM 的最短长
(2)若在线段 DE 上设置一园区出口 Q，试确定 Q 的位置，使通道 PQ 最短．
度；
变式 2 如图所示，有一矩形钢板 ABCD 缺损了一角(图中阴影部分)，边缘线 OM 上每
一点到点 D 的距离都等于它到边 AB 的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部
分成一个五边形，已知 AB＝4 米，AD＝2 米．
(1)如图所示建立直角坐标系．求边缘线 OM 的轨迹方程；
(2)①设点 P(t，m)为边缘线 OM 上的一个动点，试求出点 P 处切线 EF 的方程(用 t 表示)．
②求 AF 的值，使截去的△DEF 的面积最小．
串讲 1 如图，相距 14 km 的两个居民小区 M 和 N 位于河岸 l(直线)的同侧，M 和 N 距
离河岸分别为 10 km 和 8 km.现要在河的小区一侧选一地点 P，在 P 处建一个生活污水处理
站，从 P 排直线水管 PM，PN 分别到两个小区和垂直于河岸的水管 PQ，使小区污水经处理
后排入河道，设 PQ 段长为 t(0<t<8) km.

(1)求污水处理站到两小区的水管的总长最小值(用 t 表示)；
(2)请确定污水处理站的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分
别到两小区水管的长度．
串讲 2 为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛
物线弧，顶点为水渠最底端(如图)，渠宽为 4 m，渠深为 2 m.
(1)考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填
土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行(不改变渠宽)，问新水渠
底宽为多少时，所填土的土方量最少？
(2)考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖(不能填土)
成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行(不改变渠深)，要使所挖土的土方
量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．
(2018·九章密卷)如图所示，有一块扇形区域的空地，其中∠AOB＝90°，OA＝120
m．现要对该区域绿化升级改造．设计要求建造三座凉亭供市民休息，其中凉亭 C 位于 OA
上，且 AC＝40 m，凉亭 D 位于 OB 的中点，凉亭 E 位于弧 AB 上．
(1)现要在四边形 OCED 内种植花卉，其余部分种植草坪，试确定 E 点的位置，使种植
花卉的面积最大；

(2)为了便于市民观赏花卉，现修建两条小道 EC 和 ED，其中 EC 小道铺设塑胶，造价
为每米 a 元，ED 为离开地面高 1 m 的木质栈道，造价为每米 2a 元，试确定 E 点的位置，
使两条小道总造价最小．
某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥(图 1)将河两岸的路连接起来，剖面设计图
纸(图 2)如下：其中，点 A，E 为 x 轴上关于原点对称的两点，曲线段 BCD 是桥的主体，C
8
为桥顶，且曲线段 BCD 在图纸上的图形对应函数的解析式为 y＝
(x∈[－2，2])，曲线
4＋x2
段 AB，DE 均为开口向上的抛物线段，且 A，E 分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保
持两曲线在各衔接处(B，D)的切线的斜率相等．
(1)求曲线段 AB 在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；
(2)定义车辆在上桥过程中通过某点 P 所需要的爬坡能力(Climbing Ability)为
M ＝(该点 P 与桥顶间的水平距离)×(设计图纸上该点 P 处的切线的斜率)，其中 M 的
P
单位：米．若该景区可提供三种类型的观光车：
P
①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力，它们的爬坡能力分别为 0.8 米，1.5 米，
2.0 米，又已知图纸上一个单位长度表示实际长度 1 米，试问三种类型的观光车是否都可以
顺利过桥？
1
16
答案：(1)y＝ (x＋6)2(－6≤x≤－2)；(2)“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄
电池
动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥．
解析：(1)据题意，抛物线段 AB 与 x 轴相切，且 A 为抛物线的顶点，设 A(a，0)(a<－
2)，
则抛物线段 AB 对应函数的解析式可设为 y＝λ(x－a)2(a≤x≤－2)(λ>0)，2 分

8
其导函数为 y′＝2λ(x－a)．由曲线段 BD 的图象对应函数的解析式为 y＝
－16x
4＋x2
(x∈[－2，2])，又 y′＝（
，
， ，
且 B(－2 1) 所以曲线在 B 点处的切线斜率为1
，
4＋x ）
2
2
2
ìλ（－2－a） ＝1，
ìa＝－6，
2
ï
ï
í
î
í
î
因为 B 点为衔接点，则
解得
4 分
1
1
ï2λ（－2－a）＝ ，
ïλ＝ .
2
16
1
所以曲线段 AB 在图纸上对应函数的解析式为 y＝ (x＋6)2(－6≤x≤－2).5 分
16
(2)设 P(x，y)是曲线段 AC 上任意一点，①若 P 在曲线段 AB 上，则通过该点所需要的
1
8
1
8
爬坡能力(M ) ＝(－x)· (x＋6)＝－ [(x＋3)2－9](－6≤x≤2)，6 分
P 1
1
8
1
8
令 y ＝－ [(x＋3)2－9](－6≤x≤－2)，所以函数 y ＝－ [(x＋3)2－9]
1
1
(－6≤x≤－2)在区间[－6，－3]上为增函数，在区间[－3，－2]上是减函数，
9
所以[(M ) ] ＝ (米)9 分
8
P 1 max
－16x
（4＋x2）2
②若 P 在曲线段 BC 上，则通过该点所需要的爬坡能力(M ) ＝(－x)·
P 2
16x2
（4＋x2）2
＝
(－2≤x≤0)，10 分
16t
（4＋t）2
16t
（4＋t）2
令 t＝x2 t∈[0 4] 则(M ) ＝
， ， ，
， ，
t∈[0 4] 记 y ＝
，t∈[0，4]，当
，
P 2
2
t＝0 时，
16
16
＋t＋8
16
t
y ＝0，而当 0＜t≤4 时，y ＝
所以当 t＝4 时 t＋ 有最小值 16，从而 y 取
，
，
2
2
2
t
最
大值 1，此时[(M ) ] ＝1(米).13 分
P 2 max
9
8
所以由①，②可知，车辆过桥所需要的最大爬坡能力为 米，14 分
9
8
答：因为 0.8＜ ＜1.5＜2，所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动
力”和
“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥.16 分
专题 27
例题
答案：(1)150；(2)10.
解析：(1)如图，以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，建立平面直

4
角坐标系 xOy.由条件知 A(0，60)，C(170，0)，直线 BC 的斜率 k ＝－tan∠BCO＝－ .
3
BC
3
又因为 AB⊥BC，所以直线 AB 的斜率 k ＝ .
4
AB
b－0
a－170
4
3
b－60 3
＝ .解得 a＝80，b＝120.所
a－0 4
设点 B 的坐标为(a，b)，则 k ＝
＝－ k ＝
，
BC
AB
以 BC＝ （170－80）2＋（0＋120）2＝150.答：新桥 BC 的长为 150 m.
(2)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m，OM＝d m(0≤d≤60)．
4
3
由条件知，直线 BC 的方程为 y＝－ (x－170)，即 4x＋3y－680＝0.由于圆 M 与直线
|3d－680| 680－3d
BC 相切，故点 M(0，d)到直线 BC 的距离是 r，即 r＝
＝
.因为 O 和 A 到圆
5
4 ＋32
2
ìr－d≥80，
M 上任意一点的距离均不少于 80 m，所以í
îr－（60－d）≥80，
ì
680－3d－d≥80，
í 5
即
î680－3d
－（60－d）≥80，
5
680－3d
解得 10≤d≤35.故当 d＝10 时，r＝
最大，即圆面积最大．
5
答：当 OM＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．
变式联想
变式 1
1
3
答案：(1) 2 2＋2百米；(2)点 Q 在线段 DE 上且距离 y 轴 百米．
1
x
1
x
解析：(1)设直线 OM：y＝kx(其中 k 一定存在)，代入 y＝x＋ 得 kx＝x＋ 化简为(k
，
，
1
k－1
－1)x2＝1.设 M(x y )，则 x ＝
，
，
(k＞1) 所以 OM＝ x 2＋y 2＝ x 2＋k2x 2＝
，
1
1
1
1
1
1
1
1
1＋k2
k－1
1＋k2 t2＋2t＋2
2
t
1＋k ·
＝
.令 t＝k－1(t＞0)，则k－1
＝
＝t＋ ＋2≥2 2＋2，当
2
k－1
t
且仅当 t＝ 2时等号成立，即 k＝ 2＋1 时成立．综上，OM 的最短长度为 2 2＋2百米．
(2)当直线 PQ 与边界曲线相切时，PQ 最短．若直线 PQ 斜率不存在，则直线方程为 x
＝4 不符合题意；若直线 PQ 斜率存在 设 PQ 方程为
，
，
3

4
3
1
x
4
3
æ
y＝k x－
è
ö
，代入 y＝x＋ ，化简得(k－1)x2
－ kx－1＝0.当 k＝1 时，方程有唯一解 x
ø
3
4
4 2
æ
ö
＝－ (舍去)，当 k≠1 时，因为直线与曲线相切，所以 Δ＝ － k ＋4(k－1)＝0，解得 k＝
è
ø
3
3
4
1
3
－3 或 k＝ (舍去)，此时直线 PQ 方程为 y＝－3x＋4，令 y＝5，得 x＝－ ，即点 Q 在线段
1
3
DE 上且距离 y 轴 百米．
1
3
答：当点 Q 在线段 DE 上且距离 y 轴 百米，通道 PQ 最短．
变式 2
1
4
1
2
1
4
2
3
答案：(1)y＝ x2(0≤x≤2)；(2)①y＝ tx－ t2; ②AF＝ .
解析：(1)因为边缘线 OM 上每一点到点 D 的距离都等于它到边 AB 的距离，所以边缘
线 OM 是以点 D 为焦点，直线 AB 为准线的抛物线的一部分．因为 D(0，1)，M(2，1)，所
1
4
以边缘线 OM 的方程为 y＝ x2(0≤x≤2)．
1
4
1
2
æ
ö
，
(2)①设切点为 P t， t (0＜t＜2) 则点 P 处的切线斜率为 t.所以直线 EF 的方程为 y－
2
è
ø
1
4
1
2
t ＝ t(x－t)，
2
1
2
1
4
即 y＝ tx－ t2.
②点 E，F 的坐标分别为
æ4＋t2 ö æ
1
ö
E
1
F 0，－ t .所以 S
2
＝
， ，
è
ø è
ø
4
△DEF
2t
1
2
1
4
4＋t2
æ
ö
1＋ t ·
＝
2
è
ø
2t
（4＋t2）2
，t∈(0，2)．
16t
1
因为 S′△DEF＝ ·
16
（4＋t2）（3t2－4）
2 3æ
3
2 3 ö
3
æ 2 3ö
，令 S′△DEF＝0，得 t＝
èt＝－
舍 .当 t∈ 0，
ø时，S′△
3
ø
è
t2
æ2 3 ö
æ 2 3ù
é2 3 ö
DEF＜0；当 x∈è
2 时 S′△DEF＞0，所以 S△DEF 在 0，
û上是减函数，在
ë
3
，2 上
，
，
ø
è
ø
3
3
2 3
3
1
ö
æ
是增函数．所以当 t＝
时，S△DEF 最小，此时 F 0，－ .
è ø
3
2
3
答：取 AF＝ 时，沿直线 EF 画线段切割，可使截去的△DEF 的面积最小．
说明：很多实际问题都与曲线有关(如直线、圆、抛物线以及由函数关系给出的曲线)，
通常的处理方法是仔细审题，明确解题方向，根据题意，结合所给图形的结构特征，建立直
角坐标系，把要解决的问题放在坐标平面上使之与有关曲线相联系，根据相关等量关系建立
数学模型(函数模型、不等式模型等)，运用解析几何的基本知识、思想和方法予以解决，此

类问题通常涉及确定最优解的点的位置，如例题和变式题就是这样的问题．
串讲激活
串讲 1
答案：(1)2 t2－18t＋129(0＜t＜8)；
(2)满足题意的 P 点距河岸 5 km，距小区 M 到河岸的垂线 5 3 km，此时污水处理站到
小区 M 和 N 的水管长度分别为 10 km 和 6 km.
解析：(1)如图，以河岸 l 所在直线为 x 轴，以过 M 垂直于 l 的直线为 y 轴建立直角坐
标系，则可得点 M(0, 10)，点 N(8 3，8)．
设点 P(s，t)，过 P 作平行于 x 轴的直线 m，作 N 关于 m 的对称点 N′，则 N′(8 3，
2t－8)．则 PM＋PN＝PM＋PN′≥MN′＝ （8 3－0） ＋（12t－8－10）2
2
＝2 t2－18t＋129(0＜t＜8)即为所求．
(2)设三段水管总长为 L，则由(1)知 L＝PM＋PN＋PQ≥MN′＋PQ＝t＋
2 t －18t＋129(0＜t＜8)，所以(L－t) ＝4(t －18t＋129)，即方程 3t ＋(2L－72)t＋(516
2
2
2
2
－L2)＝0 在 t∈(0，8)上有解．故 Δ＝(2L－72)2－12(516－L2)≥0，即 L2－18L－63≥0，解
得 L≥21 或 L≤－3，所以 L 的最小值为 21，此时对应的 t＝5∈(0，8)．故 N′(8 3，2)，MN′
3
3
方程为 y＝10－ x，令 y＝5 得 x＝5 3，
即 P(5 3，5)．从而 PM＝
（5 3）2＋（5－10）2＝10，
PN＝ （5 3－8 3） ＋（5－8） ＝6.
2
2
答：满足题意的P 点距河岸 5 km，距小区 M 到河岸的垂线 5 3 km，此时污水处理站
到小区 M 和 N 的水管长度分别为 10 km 和 6 km.
串讲 2
4
3
答案：(1) m；(2) 2 m.
解析：建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的方程为 x2＝2py(p>0)，由已知点 P(2，2)在抛物线上，得 p＝1，所以抛物线

1
的方程为 y＝ x2.
2
1
2
æ
ö
(1)为了使填入的土最少，内接等腰梯形的面积要最大，如图 1，设点 A t， t (0＜t＜
2
è
ø
1
2
1
2
1
2
3
2
æ
ö
2)，则此时梯形 APQB 的面积 S(t)＝ (2t＋4)· 2－ t ＝－ t －t ＋2t＋4 ∴S′(t)＝－ t －
，
2
3
2
2
è
ø
3
2
2
2
æ
ö
2t＋2，令 S′(＝t)－ t －2t＋2＝0，得 t＝ 当 t∈ 0， 时 S′(t)＞0 S(t)单调递增 当
，
，
，
2
3，
è
ø
3
2
3
2
3
128
27
æ
ö
t∈ ，2 时，S′(t)＜0，S(t)单调递减，所以当 t＝ 时，S(t)有最大值
.
è
ø
4
3
答：改挖后的水渠的底宽为 m 时，可使填土的土方量最少．
(2)为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，如图 2，设切点
1
2
1
2
æ
ö
M t， t (t＞0) 则函数在点 M 处的切线方程为 y－ t ＝t(x－t) 分别令 y＝0 y＝2
，
，
，
2
2
è
ø
t
2
t 2
2 t
1
2
2
t
æ
ö æ
ö
æ ö
得 A
，0 ，B
＋
， ，所以此时梯形
2
OABC
的面积
S(t)＝ t＋ ·2＝t＋ ≥2 2，当且
è
ø è
ø
è ø
2 t
2
2
仅当 t＝ 2时，等号成立，此时 OA＝ .
答：设计改挖后的水渠的底宽为 2m 时，可使挖土的土方量最少．
新题在线
答案：(1)E 点为过圆 O 与直线 CD 的垂线与扇形弧的交点．
(2)C，E，M 三点共线．
解析：(1)以 O 为坐标原点，OB 所在直线为 x 轴，OA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐
x
y
标系，则 C(0，80)，D(60，0)，CD： ＋ ＝1 即 4x＋3y＝240，弧 AB 所在圆的方程为 x2
60 80
＋y2＝1202；设与 CD 平行且与弧 AB 相切的直线为 l：4x＋3y＝m，当面积最大时，E 为切
点，此时 E 点为过圆 O 与直线 CD 的垂线与扇形弧的交点．
当面积最大时，E 为切点，此时 E 点为过圆心 O 与直线 CD 的垂线与扇形弧的交点．
(2)设总造价为 S 元，E(x，y)，由题意得，S＝aCE＋2aDE.在 x 轴上取一点 M(m，0)，

EM
ED
使得
＝2，则 EM2＝4ED2 即(x－m)2＋y2＝4[(x－120)2＋y2]，整理得 3x2＋(2m－480)x
，
＋3y2＝m2－1202(*)，当 2m－480＝0 即 m＝240 时(*)可化为 x2＋y2＝1202 此即为弧 AB 所
，
在圆的方程，即弧 AB 上所有的点都满足，EM＝2ED.所以 M(240，0)，此时 CE＋2DE＝CE
＋EM，当且仅当 C，E，M 三点共线时总造价最小．

EM
ED
使得
＝2，则 EM2＝4ED2 即(x－m)2＋y2＝4[(x－120)2＋y2]，整理得 3x2＋(2m－480)x
，
＋3y2＝m2－1202(*)，当 2m－480＝0 即 m＝240 时(*)可化为 x2＋y2＝1202 此即为弧 AB 所
，
在圆的方程，即弧 AB 上所有的点都满足，EM＝2ED.所以 M(240，0)，此时 CE＋2DE＝CE
＋EM，当且仅当 C，E，M 三点共线时总造价最小．

EM
ED
使得
＝2，则 EM2＝4ED2 即(x－m)2＋y2＝4[(x－120)2＋y2]，整理得 3x2＋(2m－480)x
，
＋3y2＝m2－1202(*)，当 2m－480＝0 即 m＝240 时(*)可化为 x2＋y2＝1202 此即为弧 AB 所
，
在圆的方程，即弧 AB 上所有的点都满足，EM＝2ED.所以 M(240，0)，此时 CE＋2DE＝CE
＋EM，当且仅当 C，E，M 三点共线时总造价最小．