2022-2022版数学新学案北师大版选修2-2练习：第二章-变化率与导数-2.1-Word版含解析.docx

第二章DIERZHANG变化率与导数
§1　变化的快慢与变化率
课后训练案巩固提升
1.若函数f(x)=2x2-1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则ΔyΔx等于(　　)

A.4 B.4x
C.4+2Δx D.4+2(Δx)2
解析:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-2+1=4Δx+2(Δx)2,∴ΔyΔx=4Δx+2(Δx)2Δx=4+2Δx.
答案:C
2.一个物体的运动方程为s=t2-t+1,其中s的单位是米,t的单位是秒.则物体在3秒末的瞬时速度是(　　)
A.7米/秒 B.6米/秒
C.5米/秒 D.4米/秒
解析:∵ΔsΔt=(3+Δt)2-(3+Δt)+1-(32-3+1)Δt
=5Δt+Δt2Δt=5+Δt,∴当Δt→0时,ΔsΔt→5.
答案:C
3.将半径为R的球加热,若球的半径增加ΔR,则球的表面积增量ΔS等于(　　)
A.8πRΔR B.8πRΔR+4π(ΔR)2
C.4πRΔR+4π(ΔR)2 D.4π(ΔR)2
解析:ΔS=4π(R+ΔR)2-4πR2=8πRΔR+4π(ΔR)2,故选B.
答案:B

4.物体甲,乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
解析:在0到t0范围内,甲,乙所走的路程相同,时间相同,所以平均速度相同,在t0到t1范围内,时间相同,而甲走的路程比乙的大,所以甲的平均速度大.
答案:C
5.导学号88184017已知曲线y=2x2+1在点M处的瞬时变化率为-4,则点M的坐标为(　　)
A.(1,3) B.(-4,33)
C.(-1,3) D.不确定
解析:设点M的坐标为(t0,2t02+1),则
ΔyΔx=2(t0+Δx)2+1-2t02-1Δx
=4t0Δx+2(Δx)2Δx=4t0+2Δx,
由题意知4t0=-4,即t0=-1.
故点M的坐标为(-1,3).
答案:C
6.函数y=f(x)=ln x+1从e到e2的平均变化率为　　　　　. 
解析:∵Δx=e2-e,Δy=f(e2)-f(e)=(ln e2+1)-(ln e+1)=ln e=1,∴ΔyΔx=1e2-e.
答案:1e2-e
7.一物体的运动曲线为s=3t-t2,则该物体的初速度为　　　　. 
解析:∵Δs=3(0+Δt)-(0+Δt)2-(3×0-02)=3Δt-(Δt)2,∴当Δt趋于0时,ΔsΔt=3Δt-(Δt)2Δt=3-Δt趋于3.
答案:3

8.已知甲厂生产一种产品,产品总数y与时间x(1≤x≤12,单位:月)的图像如图所示,则下列说法正确的是　　　　. 
①前3个月内增长越来越快.
②前3个月内增长越来越慢.
③产品数量一直增加.
④第3个月到第8个月内停产.
解析:前3个月内函数图像越来越平,增长越来越慢,第3个月到第8个月内总数未变化,所以这段时间内停产;第8个月到第12个月内总数增加越来越快,故正确的应为②④.
答案:②④
9.已知函数f(x)=2x在区间[1,t]上的平均变化率为-23,则t=　　　　　. 
解析:∵反比例函数y=kx(k≠0)在区间[m,n]上的平均变化率为-kmn,∴-21×t=-23,解得t=3.
答案:3
10.设某产品的总成本函数为C(x)=1 100+x21 200,其中x为产量数,则生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为　　　　. 
解析:ΔCΔx=C(1 000)-C(900)1 000-900
=1 100+1 00021 200-1 100+90021 200100=1912.
答案:1912
11.已知函数y=f(x)=3x2+2,求该函数在x0=1,2,3附近Δx取12时的平均变化率k1,k2,k3,并比较大小.
解函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为f(x0+Δx)-f(x0)Δx=[3(x0+Δx)2+2]-(3x02+2)Δx=6x0+3Δx.
当x0=1,Δx=12时,函数在区间[1,1.5]上的平均变化率k1=6×1+3×0.5=7.5;
当x0=2,Δx=12时,函数在区间[2,2.5]上的平均变化率k2=6×2+3×0.5=13.5;
当x0=3,Δx=12时,函数在区间[3,3.5]上的平均变化率k3=6×3+3×0.5=19.5.
∵7.5<13.5<19.5,∴k1<k2<k3.
12.航天飞机升空后一段时间内,第t s时的高度h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.
(1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么?
(2)求前2 s内的平均速度;
(3)求第2 s末的瞬时速度.
解(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度;h(1)表示航天飞机升空1 s后的高度;h(2)表示航天飞机升空2 s后的高度.
(2)航天飞机升空后前2 s内的平均速度为v=h(2)-h(0)2-0=5×23+30×22+45×2+4-42=125(m/s).
故航天飞机升空后前2 s内的平均速度为125 m/s.
(3)∵航天飞机升空后在t=2 s时的位移增量与时间增量的比值为
v=h(2+Δt)-h(2)Δt=
5(2+Δt)3+30(2+Δt)2+45(2+Δt)+4-(5×23+30×22+45×2+4)Δt
=5(Δt)3+60(Δt)2+225ΔtΔt
=5(Δt)2+60Δt+225,
∴当Δt→0时,v→225,因此第2 s末的瞬时速度为225 m/s.
∴航天飞机升空第2 s末的瞬时速度为225 m/s.
13.导学号88184018柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠状液体.如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位:℃)满足y=f(x)=80x2+20,0≤x≤1,-2049(x2-2x-244),1<x≤8.
(1)求开始加热后15分钟时沥青温度的瞬时变化率;
(2)求开始加热后第4小时沥青温度的瞬时变化率.
解(1)因为0≤x≤1时,f(x)=80x2+20,
15分钟=0.25小时.
ΔyΔx=f(0.25+Δx)-f(0.25)Δx
=80(0.25+Δx)2+20-(80×0.252+20)Δx
=80[0.5Δx+(Δx)2]Δx=40+80Δx,
当Δx趋于0时,ΔyΔx趋于40.
故开始加热后15分钟时的瞬时变化率为40.
(2)因为1<x≤8时 ,
f(x)=-2049(x2-2x-244),
当x=4时,ΔyΔx=
-2049[(4+Δx)2-2(4+Δx)-244]+2049(42-2×4-244)Δx
=-2049[6Δx+(Δx)2]Δx
=-2049(6+Δx),
当Δx趋于0时,ΔyΔx趋于-12049,即开始加热后第4小时的瞬时变化率为-12049.