2.3二次函数与一元二次方程、不等式(精讲)-【题型·技巧培优系列】2022年新高一数学暑假预习精讲.docx

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
【题型解读】

【知识储备】
1．一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
2．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
温馨提示：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|x<x1，或x>x2}

R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
∅
∅
温馨提示：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
4.简单的分式不等式的解法
分式不等式的解法：

【题型精讲】
【题型一　不含参一元二次不等式的解法】
方法技巧 不含参一元二次不等式的解法
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
例1　（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一月考）求下列不等式的解集.
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）R
【解析】（1）同解于：或，解得：或，
所以原不等式的解集为.
（2）可化为即或，
解得：或无解所以原不等式的解集为.
（3）可化为：，解得：，
所以原不等式的解集为.
（4）可化为：，所以，无解.所以原不等式的解集为.
（5）可化为： ，即或，
解得：或所以原不等式的解集为.
（6）．可化为：，所以,所以原不等式的解集为R.
【题型精练】
1. （2022·山东·济南一中期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为“”不能推出“”，而“”可以推出“”，
所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.
2．（2022•海南高一期末）（多选）下列不等式的解集为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A选项，，故解集为：；
对于B选项，，解集为；
对于C选项，，解集为；
对于D选项，，显然开口向上，，故不等式解集不是；
故选：BC
3. （2022·河北·高一期末）解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）或；（2）；（3）或.
【解析】（1）不等式即为，解得或，
因此，不等式的解集为或；
（2）不等式即为，解得，
因此，不等式的解集为；
（3）不等式即为，即，解得或.因此，不等式的解集为或.
【题型二　含参一元二次不等式的解法】
方法技巧 含参一元二次不等式的解法
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
例2　（2022·山东济宁·高一期中）解关于x的不等式
【答案】具体见解析
【解析】解：关于x的不等式
可化为
（1）当时，，解得．
（2）当，所以
所以方程的两根为-1和，
当，即时，不等式的解集为或}，
当，即时，不等式的解集为．
当，即时，不等式的解集为或}，．
（3）当时，
因为方程的两根为—1和，
又因为，所以．
即不等式的解集是，
综上所述：当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或}，
例3　（2022·河北·高一期末）解关于的不等式.
【答案】答案见解析.
【解析】不等式，
化为，
当时，解得或，
当时，解得R,
当时，解得或，
综上：当时，不等式的解集是或；
当时，不等式的解集是R；
当时，不等式的解集是或；
【题型精练】
1．（2022·湖北十堰高一期末）设，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】等价于，
因为，所以所以不等式的解集为，故选：C
2.（2022·河北石家庄期中）已知关于的不等式：.
（1）当时解不等式；
（2）当时解不等式.
【答案】（1）；（2）见详解.
【解析】（1）当时，即，
所以，所以或，所以解集为：；
（2）原不等式可变形为：，
当时，，所以即解集为；
当时，，所以即解集为；
当时，，令，所以，
若时，，所以解集为，
若时，，所以解集为，
若时，，所以解集为，
综上可知：时解集为；时解集为；
时解集为；时解集为.
【题型三　三个“二次”关系的应用】
必备技巧 三个“二次”之间的关系
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
例4　（2022·山西·怀仁市第一中学校月考）已知不等式的解集为，则a，b的值是（       ）
A．， B．， C．6，3 D．3，6
【答案】B
【解析】由题意知得：和是方程的两个根
可得：，，即，
解得：，
故选：B
例5　（2022·江苏高一月考）（多选）关于x的不等式的解集为，则下列正确的是（ ）
A．
B．关于x的不等式的解集为
C．
D．关于x的不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】A．由已知可得且是方程的两根，A正确，
B．由根与系数的关系可得：，解得，
则不等式可化为：，即，所以，B错误，
C．因为，C正确，
D．不等式可化为：，即，解得或，D正确，
故选：ACD．
【题型精练】
1．（2022·北京大兴·高一期末）（多选）已知函数，若方程有两个不等的实数根，且（ ）
A．当时，不等式的解集为
B．当时，不等式的解集为
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，则
【答案】AD
【解析】A.当时，函数图象开口方向向上，所以不等式的解集为，故正确；
B. 当时，函数图象开口方向向上，所以不等式的解集为，故错误；
C.若不等式的解集为，则，对称轴，函数又过定点，则，故错误；
D.若不等式的解集为，则，对称轴，则，故正确；
故选：AD
2. （2022·河南开封·高一期末）关于的不等式的解集为，且，则（       ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由不等式的解集为，
得，不等式对应的一元二次方程为，
方程的解为，由韦达定理，得，，
因为，所以，
即，整理，得.
故选：A
【题型四 解简单的分式不等式】
必备技巧 简单分式不等式解法
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
例6　（2022·河南·夏邑第一高级中学高一期末）（多选题）若p：，则p成立的一个充分不必要条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】由p：得且，解得或，故选项C，D是命题p的充分不必要条件，故选：CD．
例7　（2022·安徽·南陵中学高一月考）已知关于的不等式的解集是，则_____.
【答案】
【解析】因为不等式等价于，又其解集是，所以和是关于的方程的两个根，
因此，解得，故答案为
【题型精练】
1．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）不等式的解集是_________
【答案】或
【解析】不等式等价于，
利用数轴标根法解得或，
即不等式的解集是或，
故答案为：或.
2. （2022·全国高一课时练习）不等式的解集是________.
【答案】
【解析】原不等式可化为即，所以，
故，所以原不等式的解集为.故答案为：.
【题型五 一元二次不等式恒成立问题】
方法技巧 一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号．
(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．
例8　（1）（2022·陵川县高级实验中学校月考）不等式对一切实数都成立，则实数a的范围是
（2）．（2022·浙江高一期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是___．
（3）（2022·北京高一期末）若关于的不等式在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）不等式可变形为
由不等式对一切实数都成立，
，即，解得故选：C
（2）因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，令，可知成立，当，函数单调递增，所以，所以.
（3）不等式等价于存在，使成立，即
设 当时， 所以 .
例9　（2022·江西·宁冈中学高一月考）若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题得不等式对任意成立，
所以，即，解之得或.故选：A
【题型精练】
1．（2022·河北廊坊·高一期末）关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k满足（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，解得.
故选：C.
2. （2022·全国·高一课时练习）若不等式在上有解，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】因为不等式在上有解，所以不等式在上有解，
令，则，所以
3. 在区间上，不等式有解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令
当时，原不等式为，解得，满足条件；
当时，函数的对称轴为，要使不等式在区间有解，只需，即解得
当时，函数的对称轴为，要使不等式在区间有解，当，即时，只需，即无解；
当，即时，只需，即解得；
当，即时，只需，即解得；综上可得
故选：C
【题型六 一元二次不等式的实际应用】
例10　（2022·浙江高一期中）商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售．每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为（ ）
A．11元 B．16元
C．12元到16元之间 D．13元到15元之间
【答案】C
【解析】设销售价定为每件元,利润为元，
则，
由题意可得：，
即， 所以，
解得：，
所以每件销售价应定为12元到16元之间，
故选：C.
【题型精练】
1．（2022·云南·玉溪市江川区第二中学高一期中）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
【答案】每件定价最多为元．
【解析】设每件定价为元，依题意得，整理得
，解得：．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元．
2. （2022·吉林长春市·长春十一高高一期中）某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，，整理可得
解得故选：B

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