第六章玻耳兹曼统计ppt.ppt

河南教育河南教育(jioy)(jioy)(jioy)(jioy)学院物理系学院物理系第一页，共六十七页。第五章指出：第五章指出：定域系统和满足经典定域系统和满足经典(jngdin)(jngdin)(jngdin)(jngdin)极限条极限条件的玻色（费米）系统都遵从玻耳兹曼分布。件的玻色（费米）系统都遵从玻耳兹曼分布。按按照统计思想，宏观量是对应微观量的统计平均值，照统计思想，宏观量是对应微观量的统计平均值，根据等概率原理，这两类系统玻耳兹曼分布出现根据等概率原理，这两类系统玻耳兹曼分布出现的概率最大，其他分布实际上不出现，所以的概率最大，其他分布实际上不出现，所以对这对这两类系统，宏观量是玻耳兹曼分布下微观量的统两类系统，宏观量是玻耳兹曼分布下微观量的统计平均值。计平均值。本章根据玻耳兹曼分布讨论这两类系本章根据玻耳兹曼分布讨论这两类系统的热力学性质。统的热力学性质。第二页，共六十七页。玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计(tngj)(tngj)的热力学量表达式的热力学量表达式 玻耳兹曼统计的统计公式玻耳兹曼统计的统计公式玻耳兹曼统计的统计公式玻耳兹曼统计的统计公式(gngsh)(gngsh)的应用的应用的应用的应用理想气体的物态方程，理想气体的内能理想气体的物态方程，理想气体的内能(ni nn)(ni nn)和热和热容量，固体热容量的爱因斯坦理论容量，固体热容量的爱因斯坦理论 玻耳兹曼统计的分布公式的应用玻耳兹曼统计的分布公式的应用玻耳兹曼统计的分布公式的应用玻耳兹曼统计的分布公式的应用麦克斯韦速度分布律，能量均分定律，麦克斯韦速度分布律，能量均分定律，麦克斯韦速度分布律，能量均分定律，麦克斯韦速度分布律，能量均分定律，两者的两者的两者的两者的应用应用应用应用本章主要内容本章主要内容本章主要内容本章主要内容第三页，共六十七页。6.1 热力学量的统计热力学量的统计(tngj)(tngj)表达式表达式本节根据玻耳兹曼分布推导热力学量的统计表达式。要本节根据玻耳兹曼分布推导热力学量的统计表达式。要本节根据玻耳兹曼分布推导热力学量的统计表达式。要本节根据玻耳兹曼分布推导热力学量的统计表达式。要解决的问题：宏观解决的问题：宏观解决的问题：宏观解决的问题：宏观(hnggun)(hnggun)(hnggun)(hnggun)量（如：热力学基本函数）与量（如：热力学基本函数）与量（如：热力学基本函数）与量（如：热力学基本函数）与玻耳兹曼分布的联系。我们根据宏观玻耳兹曼分布的联系。我们根据宏观玻耳兹曼分布的联系。我们根据宏观玻耳兹曼分布的联系。我们根据宏观(hnggun)(hnggun)(hnggun)(hnggun)量是微观量量是微观量量是微观量量是微观量的统计平均值去寻找联系。的统计平均值去寻找联系。的统计平均值去寻找联系。的统计平均值去寻找联系。一、内能一、内能(ni nn)(ni nn)的统计表达式的统计表达式 内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值 遵从玻耳兹曼分布的系统的内能为遵从玻耳兹曼分布的系统的内能为遵从玻耳兹曼分布的系统的内能为遵从玻耳兹曼分布的系统的内能为 本式求和在粒子的能级和简并度知道后就能计算本式求和在粒子的能级和简并度知道后就能计算本式求和在粒子的能级和简并度知道后就能计算本式求和在粒子的能级和简并度知道后就能计算 第四页，共六十七页。6.1 热力学量的统计热力学量的统计(tngj)(tngj)表达式表达式为了为了为了为了(wi le)(wi le)(wi le)(wi le)方便，引入方便，引入方便，引入方便，引入粒子配分函数粒子配分函数粒子配分函数粒子配分函数Z Z1 1 由约束由约束由约束由约束(yush)(yush)(yush)(yush)的另一条件知，粒子配分函数满足的的另一条件知，粒子配分函数满足的的另一条件知，粒子配分函数满足的的另一条件知，粒子配分函数满足的条件为条件为条件为条件为 即即即即本式给出本式给出本式给出本式给出N和和Z Z1的关系的关系的关系的关系即即此式即内能的统计表达式此式即内能的统计表达式此式即内能的统计表达式此式即内能的统计表达式 第五页，共六十七页。6.1 热力学量的统计热力学量的统计(tngj)(tngj)表达式表达式二、广义力的统计二、广义力的统计(tngj)(tngj)(tngj)(tngj)表达式表达式 1.外界外界(wiji)(wiji)对对系统的广义力系统的广义力系统在准静态元过程中，当外参量系统在准静态元过程中，当外参量y变化变化变化变化d d d dy y时，外界对时，外界对时，外界对时，外界对系统的功为系统的功为系统的功为系统的功为Y是与外参量是与外参量是与外参量是与外参量y y对应的外界对系统的广义作用力对应的外界对系统的广义作用力对应的外界对系统的广义作用力对应的外界对系统的广义作用力例如：系统在准静态元过程中体积变化例如：系统在准静态元过程中体积变化d dV V时，外时，外界的功为界的功为 p pdV V。广义力是压强。广义力是压强。广义力是压强。广义力是压强。2.2.广义微观力广义微观力广义微观力广义微观力粒子能量是外参量的函数，能级粒子能量是外参量的函数，能级粒子能量是外参量的函数，能级粒子能量是外参量的函数，能级 l l上一个粒子在外参上一个粒子在外参上一个粒子在外参上一个粒子在外参量量量量y y变化时受到的广义微观力为变化时受到的广义微观力为变化时受到的广义微观力为变化时受到的广义微观力为 第六页，共六十七页。6.1 热力学量的统计热力学量的统计(tngj)(tngj)表达式表达式3.3.外界外界外界外界(wiji)(wiji)(wiji)(wiji)对系统的广义力的统计表达式对系统的广义力的统计表达式对系统的广义力的统计表达式对系统的广义力的统计表达式 广义广义广义广义(gungy)(gungy)(gungy)(gungy)力是系统中粒子的广义力是系统中粒子的广义力是系统中粒子的广义力是系统中粒子的广义(gungy)(gungy)(gungy)(gungy)微观力微观力微观力微观力 之之之之和的统计平均值和的统计平均值和的统计平均值和的统计平均值 即即这是广义力的统计表达式这是广义力的统计表达式这是广义力的统计表达式这是广义力的统计表达式 一个重要特例：一个重要特例：一个重要特例：一个重要特例：pVTpVT系统压强的统计表达式为系统压强的统计表达式为系统压强的统计表达式为系统压强的统计表达式为 第七页，共六十七页。6.1 热力学量的统计热力学量的统计(tngj)(tngj)表达式表达式讨论：准静态讨论：准静态讨论：准静态讨论：准静态(jngti)(jngti)(jngti)(jngti)过程元功和系统微小吸热的物理本质过程元功和系统微小吸热的物理本质过程元功和系统微小吸热的物理本质过程元功和系统微小吸热的物理本质 外界外界外界外界(wiji)(wiji)(wiji)(wiji)对系统所作的元功对系统所作的元功对系统所作的元功对系统所作的元功 对内能对内能对内能对内能 求全微分，有求全微分，有求全微分，有求全微分，有 内能的改变可以分为两项，第一项是粒子分布不变时由内能的改变可以分为两项，第一项是粒子分布不变时由内能的改变可以分为两项，第一项是粒子分布不变时由内能的改变可以分为两项，第一项是粒子分布不变时由于能级改变而引起的内能变化，第二项是粒子能级不变于能级改变而引起的内能变化，第二项是粒子能级不变于能级改变而引起的内能变化，第二项是粒子能级不变于能级改变而引起的内能变化，第二项是粒子能级不变时由于粒子分布改变所引起的内能变化。时由于粒子分布改变所引起的内能变化。时由于粒子分布改变所引起的内能变化。时由于粒子分布改变所引起的内能变化。与热力学第一定律和元功的表达式对照知与热力学第一定律和元功的表达式对照知与热力学第一定律和元功的表达式对照知与热力学第一定律和元功的表达式对照知 第一项是在准静态过程中外界对系统所做的功，第二第一项是在准静态过程中外界对系统所做的功，第二第一项是在准静态过程中外界对系统所做的功，第二第一项是在准静态过程中外界对系统所做的功，第二项是准静态过程中系统从外界吸收的热量。项是准静态过程中系统从外界吸收的热量。项是准静态过程中系统从外界吸收的热量。项是准静态过程中系统从外界吸收的热量。可见，可见，可见，可见，外外外外界对系统作功是界对系统作功是界对系统作功是界对系统作功是粒子分布不变时由于能级改变而增加的粒子分布不变时由于能级改变而增加的粒子分布不变时由于能级改变而增加的粒子分布不变时由于能级改变而增加的内能，准静态过程中系统从外界吸收的热量等于粒子在内能，准静态过程中系统从外界吸收的热量等于粒子在内能，准静态过程中系统从外界吸收的热量等于粒子在内能，准静态过程中系统从外界吸收的热量等于粒子在各能级重新分布所增加的内能。各能级重新分布所增加的内能。各能级重新分布所增加的内能。各能级重新分布所增加的内能。第八页，共六十七页。6.1 热力学量的统计热力学量的统计(tngj)(tngj)表达式表达式三、熵的统计三、熵的统计三、熵的统计三、熵的统计(tngj)(tngj)(tngj)(tngj)表达式表达式表达式表达式 考虑到熵与系统在可逆过程中吸收考虑到熵与系统在可逆过程中吸收考虑到熵与系统在可逆过程中吸收考虑到熵与系统在可逆过程中吸收(xshu)(xshu)(xshu)(xshu)的热量有关，的热量有关，的热量有关，的热量有关，微小可逆过程微小可逆过程微小可逆过程微小可逆过程有有有有 由热力学第一定律由热力学第一定律由热力学第一定律由热力学第一定律上式说明上式说明上式说明上式说明1/1/1/1/T T是是是是Q Q的的的的一个积分因子，可以证明一个积分因子，可以证明一个积分因子，可以证明一个积分因子，可以证明 也是也是也是也是 Q Q的一个积分因子。的一个积分因子。即即即即 能写成一个能写成一个能写成一个能写成一个完整微分式。写出该完整微分与上式比较可得到熵。完整微分式。写出该完整微分与上式比较可得到熵。完整微分式。写出该完整微分与上式比较可得到熵。完整微分式。写出该完整微分与上式比较可得到熵。可以证明可以证明可以证明可以证明上式是完整微分式，说明上式是完整微分式，说明上式是完整微分式，说明上式是完整微分式，说明 也是也是 Q Q的积分因子的积分因子第九页，共六十七页。6.1 热力学量的统计热力学量的统计(tngj)(tngj)表达式表达式根据根据根据根据(gnj)(gnj)微分方程关于积分因子的理论，取微分方程关于积分因子的理论，取微分方程关于积分因子的理论，取微分方程关于积分因子的理论，取上式中上式中上式中上式中k应是熵应是熵应是熵应是熵S S的函数的函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)。下面说明其实。下面说明其实k k与熵与熵S S无无无无关关关关 考虑到两个互为热平衡的系统合起来总能量守恒，考虑到两个互为热平衡的系统合起来总能量守恒，这两个系统必有一个共同的这两个系统必有一个共同的 因子（习题因子（习题因子（习题因子（习题6.56.56.56.5），正好），正好），正好），正好与互为热平衡的系统温度相同一致。所以，与互为热平衡的系统温度相同一致。所以，与互为热平衡的系统温度相同一致。所以，与互为热平衡的系统温度相同一致。所以，只能是温只能是温只能是温只能是温度的函数，不可能与熵有关度的函数，不可能与熵有关度的函数，不可能与熵有关度的函数，不可能与熵有关 。上式中上式中上式中上式中k k应是常数。称为玻耳兹曼常数，在将理论用于实际应是常数。称为玻耳兹曼常数，在将理论用于实际应是常数。称为玻耳兹曼常数，在将理论用于实际应是常数。称为玻耳兹曼常数，在将理论用于实际问题（例如理想气体）时得到问题（例如理想气体）时得到问题（例如理想气体）时得到问题（例如理想气体）时得到k k值为值为 上式是熵的统计表达式，积分时已将积分常数选为零。上式是熵的统计表达式，积分时已将积分常数选为零。第十页，共六十七页。6.1 热力学量的统计热力学量的统计(tngj)(tngj)表达式表达式讨论讨论(toln)(toln)(toln)(toln):熵的统计意义熵的统计意义-玻耳兹曼关系玻耳兹曼关系 根据熵的统计表达式、玻耳兹曼统计中根据熵的统计表达式、玻耳兹曼统计中根据熵的统计表达式、玻耳兹曼统计中根据熵的统计表达式、玻耳兹曼统计中Z1 1与与与与的关系的关系和玻耳兹曼分布和玻耳兹曼分布(fnb)(fnb)公式，可以证明公式，可以证明上式称为上式称为上式称为上式称为玻耳兹曼关系，熵是用系统宏观态上出现的微观玻耳兹曼关系，熵是用系统宏观态上出现的微观玻耳兹曼关系，熵是用系统宏观态上出现的微观玻耳兹曼关系，熵是用系统宏观态上出现的微观状态数来量度的。状态数来量度的。状态数来量度的。状态数来量度的。某个宏观态对应的微观状态数越多，某个宏观态对应的微观状态数越多，系统微观上运动的变化就越多端，它的混乱程度就越系统微观上运动的变化就越多端，它的混乱程度就越大，熵也越大。玻耳兹曼关系给出了大，熵也越大。玻耳兹曼关系给出了熵的统计意义：熵的统计意义：熵的统计意义：熵的统计意义：熵是系统混乱程度的量度熵是系统混乱程度的量度熵是系统混乱程度的量度熵是系统混乱程度的量度。中的中的应是应是应是应是M.B.M.B.。上面。上面熵的统计表达式和统计熵的统计表达式和统计熵的统计表达式和统计熵的统计表达式和统计解释只适用于粒子可分辨的系统（定域系统）解释只适用于粒子可分辨的系统（定域系统）解释只适用于粒子可分辨的系统（定域系统）解释只适用于粒子可分辨的系统（定域系统）注注意意第十一页，共六十七页。6.1 热力学量的统计热力学量的统计(tngj)(tngj)表达式表达式由于由于(yuy)(yuy)(yuy)(yuy)熵与系统的微观状态数有关，所以对于即使熵与系统的微观状态数有关，所以对于即使满足经典极限条件的玻色（费米）系统，若满足经典极限条件的玻色（费米）系统，若 仍然成立，则系统的微观状态数应换为仍然成立，则系统的微观状态数应换为 如果求得配分函数如果求得配分函数Z1，可以求得基本热力学函数内能、物，可以求得基本热力学函数内能、物，可以求得基本热力学函数内能、物，可以求得基本热力学函数内能、物态方程和熵，从而确定系统的全部态方程和熵，从而确定系统的全部态方程和熵，从而确定系统的全部态方程和熵，从而确定系统的全部(qunb)(qunb)平衡性质。平衡性质。平衡性质。平衡性质。四、玻耳兹曼统计统计公式的使用方法四、玻耳兹曼统计统计公式的使用方法四、玻耳兹曼统计统计公式的使用方法四、玻耳兹曼统计统计公式的使用方法 因此，因此，lnZ Z1 1是以是以是以是以、y y(对于简单系统即对于简单系统即对于简单系统即对于简单系统即T、V V)为变量的特性为变量的特性为变量的特性为变量的特性函数。函数。函数。函数。第十二页，共六十七页。6.1 热力学量的统计热力学量的统计(tngj)(tngj)表达式表达式玻耳兹曼理论求热力学函数的一般方法是：玻耳兹曼理论求热力学函数的一般方法是：先求先求先求先求配分函数，再利用配分函数，再利用配分函数，再利用配分函数，再利用(lyng)(lyng)(lyng)(lyng)热力学量的统计公式求出热热力学量的统计公式求出热热力学量的统计公式求出热热力学量的统计公式求出热力学函数。求配分函数的关键是确定出粒子的能级力学函数。求配分函数的关键是确定出粒子的能级力学函数。求配分函数的关键是确定出粒子的能级力学函数。求配分函数的关键是确定出粒子的能级和能级简并度，利用和能级简并度，利用和能级简并度，利用和能级简并度，利用(lyng)(lyng)(lyng)(lyng)配分函数的定义式写出配配分函数的定义式写出配配分函数的定义式写出配配分函数的定义式写出配分函数。分函数。分函数。分函数。例如例如(lr)(lr)(lr)(lr)：求以：求以T T、V V为变量的特性函数的统计表达式为变量的特性函数的统计表达式为变量的特性函数的统计表达式为变量的特性函数的统计表达式 对定域系统对定域系统对定域系统对定域系统 对满足经典极限条件的玻色（费米）系统对满足经典极限条件的玻色（费米）系统对满足经典极限条件的玻色（费米）系统对满足经典极限条件的玻色（费米）系统 第十三页，共六十七页。6.1 热力学量的统计热力学量的统计(tngj)(tngj)表达式表达式五、经典统计理论五、经典统计理论五、经典统计理论五、经典统计理论(lln)(lln)(lln)(lln)中热力学函数的表达式中热力学函数的表达式中热力学函数的表达式中热力学函数的表达式 配分函数的经典配分函数的经典配分函数的经典配分函数的经典(jngdin)(jngdin)(jngdin)(jngdin)表达式表达式表达式表达式 取取取取l足够小，上式的求和变为积分足够小，上式的求和变为积分足够小，上式的求和变为积分足够小，上式的求和变为积分 将配分函数代入内能、物态方程和熵的统计表达式可以求得将配分函数代入内能、物态方程和熵的统计表达式可以求得将配分函数代入内能、物态方程和熵的统计表达式可以求得将配分函数代入内能、物态方程和熵的统计表达式可以求得基本热力学函数的内能、物态方程和熵基本热力学函数的内能、物态方程和熵基本热力学函数的内能、物态方程和熵基本热力学函数的内能、物态方程和熵 讨论：选择不同数值的讨论：选择不同数值的讨论：选择不同数值的讨论：选择不同数值的h h0 0，对经典统计结果的影响，对经典统计结果的影响，对经典统计结果的影响，对经典统计结果的影响 由内能由内能由内能由内能U U、广义力、广义力、广义力、广义力Y Y的统计表达式知，的统计表达式知，的统计表达式知，的统计表达式知，U、Y只与只与lnZ Z1 1的偏的偏的偏的偏导数有关，所以与导数有关，所以与导数有关，所以与导数有关，所以与h h0 0的具体选择无关，而熵的具体选择无关，而熵的具体选择无关，而熵的具体选择无关，而熵S S及与及与lnZ Z1 1有关有关有关有关的热力学量的具体数值与的热力学量的具体数值与的热力学量的具体数值与的热力学量的具体数值与h h0 0的具体选择有关可见，的具体选择有关可见，的具体选择有关可见，的具体选择有关可见，绝绝对熵的概念是量子力学的结果。对熵的概念是量子力学的结果。第十四页，共六十七页。6.1 热力学量的统计热力学量的统计(tngj)(tngj)表达式表达式例题例题(lt)(lt)：试根据试根据试根据试根据(gnj)(gnj)公式公式公式公式 证明对于非相对论粒子证明对于非相对论粒子证明对于非相对论粒子证明对于非相对论粒子有有有有证明：证明：证明：证明：根据题目，处在边长根据题目，处在边长根据题目，处在边长根据题目，处在边长L的立方体内，非相对论粒子的立方体内，非相对论粒子的立方体内，非相对论粒子的立方体内，非相对论粒子的能量本征值为的能量本征值为的能量本征值为的能量本征值为将上式改写为体积的函数将上式改写为体积的函数将上式改写为体积的函数将上式改写为体积的函数所以所以所以所以利用压强公式，有利用压强公式，有利用压强公式，有利用压强公式，有第十五页，共六十七页。6.2 理想气体理想气体(l xin q t)(l xin q t)的物态方程的物态方程 一般一般一般一般(ybn)(ybn)(ybn)(ybn)气体满足经典极限条件，遵从玻耳兹曼分布，气体满足经典极限条件，遵从玻耳兹曼分布，气体满足经典极限条件，遵从玻耳兹曼分布，气体满足经典极限条件，遵从玻耳兹曼分布，作为玻耳兹曼统计的最简单应用，本节利用玻耳兹曼量子统作为玻耳兹曼统计的最简单应用，本节利用玻耳兹曼量子统作为玻耳兹曼统计的最简单应用，本节利用玻耳兹曼量子统作为玻耳兹曼统计的最简单应用，本节利用玻耳兹曼量子统计讨论理想气体的物态方程。在本节末将对气体一般计讨论理想气体的物态方程。在本节末将对气体一般计讨论理想气体的物态方程。在本节末将对气体一般计讨论理想气体的物态方程。在本节末将对气体一般(ybn)(ybn)(ybn)(ybn)满满满满足经典极限条件作详细分析足经典极限条件作详细分析足经典极限条件作详细分析足经典极限条件作详细分析。一、单原子一、单原子一、单原子一、单原子(yunz)(yunz)(yunz)(yunz)分子理想气体的物态方程分子理想气体的物态方程分子理想气体的物态方程分子理想气体的物态方程 1 1 1 1求配分函数求配分函数求配分函数求配分函数Z1 1 分子的能量为分子的能量为 粒子的能量值和动量值准连续，粒子的能量值和动量值准连续，在微小相体积在微小相体积dx xdy yd dz zd dpx xdp py ydp pz内，内，内，内，分子可能的微观状态数，分子可能的微观状态数，分子可能的微观状态数，分子可能的微观状态数，粒子的配分函数为粒子的配分函数为积分公式积分公式积分公式积分公式 （掌握计算呀）（掌握计算呀）（掌握计算呀）（掌握计算呀）单原子分子理想气体，分子可看成没有结构的质点单原子分子理想气体，分子可看成没有结构的质点单原子分子理想气体，分子可看成没有结构的质点单原子分子理想气体，分子可看成没有结构的质点第十六页，共六十七页。6.2 理想气体理想气体(l xin q t)(l xin q t)的物态方程的物态方程2 2 2 2单原子单原子单原子单原子(yunz)(yunz)(yunz)(yunz)理想气体的物态方程理想气体的物态方程理想气体的物态方程理想气体的物态方程 玻耳兹曼常数的数值就是将上式与实验的物态方程玻耳兹曼常数的数值就是将上式与实验的物态方程玻耳兹曼常数的数值就是将上式与实验的物态方程玻耳兹曼常数的数值就是将上式与实验的物态方程 比较比较比较比较(bjio)(bjio)(bjio)(bjio)得到的。得到的。得到的。得到的。二、双原子分子或多原子分子理想气体的物态方程二、双原子分子或多原子分子理想气体的物态方程二、双原子分子或多原子分子理想气体的物态方程二、双原子分子或多原子分子理想气体的物态方程 分子的能量除平动动能外，还包括转动、振动等能量。由于分子的能量除平动动能外，还包括转动、振动等能量。由于分子的能量除平动动能外，还包括转动、振动等能量。由于分子的能量除平动动能外，还包括转动、振动等能量。由于计及转动、振动能量后不改变配分函数计及转动、振动能量后不改变配分函数计及转动、振动能量后不改变配分函数计及转动、振动能量后不改变配分函数Z Z1 1对对V V的依赖关系，的依赖关系，的依赖关系，的依赖关系，求得的物态方程仍同上式求得的物态方程仍同上式求得的物态方程仍同上式求得的物态方程仍同上式 。如果应用经典统计理论求理想气体的物态方程，得到的如果应用经典统计理论求理想气体的物态方程，得到的如果应用经典统计理论求理想气体的物态方程，得到的如果应用经典统计理论求理想气体的物态方程，得到的物态方程与上式完全相同物态方程与上式完全相同物态方程与上式完全相同物态方程与上式完全相同（自己计算一下，看看配分函（自己计算一下，看看配分函数有无差别）。所以，在这个问题上，由量子统计和数有无差别）。所以，在这个问题上，由量子统计和由经典统计理论得到的结果是相同的。由经典统计理论得到的结果是相同的。第十七页，共六十七页。6.2 理想气体理想气体(l xin q t)(l xin q t)的物态方程的物态方程三、讨论三、讨论三、讨论三、讨论(toln)(toln)(toln)(toln)：气体一般满足：气体一般满足：气体一般满足：气体一般满足 经典极限经典极限(jxin)(jxin)(jxin)(jxin)条件条件是是 利用求出的单原子分子配分函数，代入利用求出的单原子分子配分函数，代入利用求出的单原子分子配分函数，代入利用求出的单原子分子配分函数，代入 对一般气体来说，如果（对一般气体来说，如果（对一般气体来说，如果（对一般气体来说，如果（1 1）N N/V愈小，即气体愈稀薄；愈小，即气体愈稀薄；愈小，即气体愈稀薄；愈小，即气体愈稀薄；（2 2）温度愈高；（）温度愈高；（）温度愈高；（）温度愈高；（3 3）分子质量愈大。经典极限条件愈易）分子质量愈大。经典极限条件愈易）分子质量愈大。经典极限条件愈易）分子质量愈大。经典极限条件愈易得到满足。得到满足。得到满足。得到满足。（1 1 1 1）、（）、（）、（）、（2 2 2 2）是理想气体条件。）是理想气体条件。）是理想气体条件。）是理想气体条件。所以理想气体一般满足所以理想气体一般满足所以理想气体一般满足所以理想气体一般满足 经典极限条件也往往采用右式表示经典极限条件也往往采用右式表示经典极限条件也往往采用右式表示经典极限条件也往往采用右式表示 分子的德布罗意波长为分子的德布罗意波长为分子的德布罗意波长为分子的德布罗意波长为 若将若将若将若将 理解为分子热运动的平均能量，并估计为理解为分子热运动的平均能量，并估计为理解为分子热运动的平均能量，并估计为理解为分子热运动的平均能量，并估计为 kTkT,经典极限条件又可表示为经典极限条件又可表示为 考虑单原子分子气体考虑单原子分子气体第十八页，共六十七页。6.3 麦克斯韦速度麦克斯韦速度(sd)(sd)分布律分布律一、无外场条件下理想气体一、无外场条件下理想气体一、无外场条件下理想气体一、无外场条件下理想气体(l xin q t)(l xin q t)分子速度分布分子速度分布分子速度分布分子速度分布 分子速度分布情况用在单位体积分子速度分布情况用在单位体积分子速度分布情况用在单位体积分子速度分布情况用在单位体积(tj)(tj)内，分布在微小速度内，分布在微小速度内，分布在微小速度内，分布在微小速度区间的分子数反映。区间的分子数反映。区间的分子数反映。区间的分子数反映。表示为表示为表示为表示为 1.1.麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律 对满足经典极限条件的气体系统，在温度为对满足经典极限条件的气体系统，在温度为对满足经典极限条件的气体系统，在温度为对满足经典极限条件的气体系统，在温度为T的平衡态，的平衡态，在单位体积内，速度在在单位体积内，速度在vx x v vx +dv vx 、v vyvy y +dvy y 、v vz z v vz z +d+dvz z内的分子数为内的分子数为 速度分布函数满足条件速度分布函数满足条件 第十九页，共六十七页。6.3 麦克斯韦麦克斯韦(mi k s wi)(mi k s wi)速度分布律速度分布律2.2.推导推导推导推导(tudo)(tudo)过程过程过程过程玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布(fnb)(fnb)的经典表达式为的经典表达式为的经典表达式为的经典表达式为 在没有外场时，分子质心运能量的经典表达式为在没有外场时，分子质心运能量的经典表达式为（1 1）分子按动量分布分子按动量分布分子按动量分布分子按动量分布在体积在体积在体积在体积V V内，在内，在内，在内，在d dp px xdp py yd dp pz z的动量范围内，分子质心平动的动量范围内，分子质心平动的动量范围内，分子质心平动的动量范围内，分子质心平动的状态数为的状态数为的状态数为的状态数为 分子数为分子数为分子数为分子数为 参数参数参数参数 由总分子数由总分子数N N的条件定出的条件定出的条件定出的条件定出 用玻耳兹曼分布的经典表达式采用分布法推导用玻耳兹曼分布的经典表达式采用分布法推导 第二十页，共六十七页。6.3 麦克斯韦速度麦克斯韦速度(sd)(sd)分布律分布律积分积分积分积分(jfn)(jfn)后整理，得后整理，得后整理，得后整理，得 分子质心在分子质心在分子质心在分子质心在V内，动量内，动量内，动量内，动量(dngling)(dngling)在在在在d dp px xd dp py yd dp pz z范围内的分子数为范围内的分子数为（2）分子按速度分布分子按速度分布分子按速度分布分子按速度分布代入上式代入上式代入上式代入上式在体积在体积在体积在体积V V内，速度在内，速度在内，速度在内，速度在d dv vx xd dv vy ydvz z内的分子数为内的分子数为内的分子数为内的分子数为 速度分布函数满足条件速度分布函数满足条件速度分布函数满足条件速度分布函数满足条件 第二十一页，共六十七页。6.3 麦克斯韦麦克斯韦(mi k s wi)(mi k s wi)速度分布律速度分布律（3 3）分子）分子）分子）分子(fnz)(fnz)按速率分布按速率分布按速率分布按速率分布在速度在速度(sd)(sd)的球极坐标下，速度的球极坐标下，速度(sd)(sd)元为元为v v2 2sin dvddvd d ，代替上式的速度元，对，代替上式的速度元，对，代替上式的速度元，对，代替上式的速度元，对、积分后，积分后，积分后，积分后，上式是麦克斯韦速率分布律。速率分布函数满足条上式是麦克斯韦速率分布律。速率分布函数满足条件件第二十二页，共六十七页。6.3 麦克斯韦速度麦克斯韦速度(sd)(sd)分布律分布律麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布另一推导另一推导(tudo)(tudo)方法方法分子质心分子质心分子质心分子质心(zh xn)(zh xn)在在在在V V内，分子动量大小在内，分子动量大小在p pp p+d+dp p内，内，分子的微观状态数为分子的微观状态数为经典分布为经典分布为经典分布为经典分布为参数参数由总分子数由总分子数由总分子数由总分子数N N的的条件定出条件定出 积分公式积分公式积分公式积分公式代入经典分布公式，在代入经典分布公式，在代入经典分布公式，在代入经典分布公式，在V内，在内，在内，在内，在p p-p p+d+dp p内分子数为内分子数为内分子数为内分子数为 从而从而从而从而第二十三页，共六十七页。6.3 麦克斯韦麦克斯韦(mi k s wi)(mi k s wi)速度分布律速度分布律二、三种二、三种(sn zhn)(sn zhn)(sn zhn)(sn zhn)特征速率特征速率 1 1 1 1最概然速率最概然速率最概然速率最概然速率(sl)(sl)(sl)(sl)速率分布函数有一个最大值，使速率分布函数取最大值的速速率分布函数有一个最大值，使速率分布函数取最大值的速速率分布函数有一个最大值，使速率分布函数取最大值的速速率分布函数有一个最大值，使速率分布函数取最大值的速率称为最概然速率率称为最概然速率率称为最概然速率率称为最概然速率 表示在这一速率附近单位速率间隔内分子数最多（即分子具表示在这一速率附近单位速率间隔内分子数最多（即分子具表示在这一速率附近单位速率间隔内分子数最多（即分子具表示在这一速率附近单位速率间隔内分子数最多（即分子具有这个速率的概率最大）有这个速率的概率最大）有这个速率的概率最大）有这个速率的概率最大）2 2 2 2平均速率平均速率平均速率平均速率 分子速率的平均值称为平均速率分子速率的平均值称为平均速率分子速率的平均值称为平均速率分子速率的平均值称为平均速率 第二十四页，共六十七页。6.3 麦克斯韦速度麦克斯韦速度(sd)分布律分布律利用利用利用利用(lyng)(lyng)(lyng)(lyng)积分公式积分公式积分公式积分公式 3 3 3 3方均根速率方均根速率方均根速率方均根速率(sl)(sl)(sl)(sl)分子速率平方的平均值的平方根称为方均根速率分子速率平方的平均值的平方根称为方均根速率 第二十五页，共六十七页。6.3 麦克斯韦麦克斯韦(mi k s wi)(mi k s wi)速度分布律速度分布律三、麦克斯韦速度分布三、麦克斯韦速度分布三、麦克斯韦速度分布三、麦克斯韦速度分布(fnb)(fnb)(fnb)(fnb)律的应用律的应用律的应用律的应用碰撞数碰撞数碰撞数碰撞数 在单位时间内碰撞在单位时间内碰撞在单位时间内碰撞在单位时间内碰撞(pn zhun)(pn zhun)(pn zhun)(pn zhun)到单位面积器壁上到单位面积器壁上到单位面积器壁上到单位面积器壁上的分子数叫碰撞的分子数叫碰撞的分子数叫碰撞的分子数叫碰撞(pn zhun)(pn zhun)(pn zhun)(pn zhun)数数数数 。d dA Ax以以以以d d d dA Ad dt t表示在表示在表示在表示在d dt t时间内，碰到时间内，碰到时间内，碰到时间内，碰到d dA面积上的面积上的速度在速度在dv vxd dvy ydv vz z范围内的分子数范围内的分子数范围内的分子数范围内的分子数这个分子数就是图中斜柱体体积内，速度这个分子数就是图中斜柱体体积内，速度这个分子数就是图中斜柱体体积内，速度这个分子数就是图中斜柱体体积内，速度在在在在d dv vx xd dv vy yd dvz z范围内的分子数范围内的分子数范围内的分子数范围内的分子数v vv vx xd dt t如果容器器壁上有一个小孔，分子就会从小孔逸出，则如果容器器壁上有一个小孔，分子就会从小孔逸出，则单位时间内逸出的分子等于碰到小孔面积上的分子数。单位时间内逸出的分子等于碰到小孔面积上的分子数。分子从小孔逸出的过程叫泻流。分子从小孔逸出的过程叫泻流。分子从小孔逸出的过程叫泻流。分子从小孔逸出的过程叫泻流。第二十六页，共六十七页。6.3 麦克斯韦麦克斯韦(mi k s wi)(mi k s wi)速度分布律速度分布律例题：例题：例题：例题：试根据麦氏速度分布律证明试根据麦氏速度分布律证明试根据麦氏速度分布律证明试根据麦氏速度分布律证明(zhngmng)(zhngmng)，速度的涨落，速度的涨落，速度的涨落，速度的涨落为为为为证明证明证明证明(zhngmng)(zhngmng)：由麦氏速率分布律已经求出由麦氏速率分布律已经求出由麦氏速率分布律已经求出由麦氏速率分布律已经求出 所以所以所以所以 第二十七页，共六十七页。6.4 能量均分能量均分(jn fn)(jn fn)定理定理现在根据经典玻耳兹曼分布导出一个重要的定理现在根据经典玻耳兹曼分布导出一个重要的定理现在根据经典玻耳兹曼分布导出一个重要的定理现在根据经典玻耳兹曼分布导出一个重要的定理能能能能量均分定理，并用之讨论一些物质量均分定理，并用之讨论一些物质量均分定理，并用之讨论一些物质量均分定理，并用之讨论一些物质(wzh)(wzh)(wzh)(wzh)系统的内能和系统的内能和系统的内能和系统的内能和热容量。热容量。热容量。热容量。一、能量均分一、能量均分(jn fn)(jn fn)(jn fn)(jn fn)定理定理对于处在温度为对于处在温度为T的平衡态的经典系统，粒子能量（的平衡态的经典系统，粒子能量（的平衡态的经典系统，粒子能量（的平衡态的经典系统，粒子能量（的表的表的表的表达式）中每一个平方项的平均值均等于达式）中每一个平方项的平均值均等于达式）中每一个平方项的平均值均等于达式）中每一个平方项的平均值均等于 二、证明过程二、证明过程二、证明过程二、证明过程 粒子的能量表示为粒子的动能和势能之和粒子的能量表示为粒子的动能和势能之和粒子的能量表示为粒子的动能和势能之和粒子的能量表示为粒子的动能和势能之和我们先证明粒子动能中每一项平方的平均值为我们先证明粒子动能中每一项平方的平均值为我们先证明粒子动能中每一项平方的平均值为我们先证明粒子动能中每一项平方的平均值为第二十八页，共六十七页。6.4 能量能量(nngling)(nngling)均分定理均分定理粒子的动能可以粒子的动能可以粒子的动能可以粒子的动能可以(ky)(ky)表示为广义动量的平方项之和表示为广义动量的平方项之和表示为广义动量的平方项之和表示为广义动量的平方项之和经典经典经典经典(jngdin)(jngdin)玻耳兹曼分布为玻耳兹曼分布为玻耳兹曼分布为玻耳兹曼分布为系统内所有粒子的系统内所有粒子的 的平均值为的平均值为上式积分