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第三章DISANZHANG圆锥曲线与方程
§1 椭圆
1.1 椭圆及其标准方程
课后训练案巩固提升
A组
1.F1,F2是定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆
答案:C
2.已知椭圆C上任意一点P(x,y)都满足关系式(x-1)2+y2+(x+1)2+y2=4,则椭圆C的标准方程为( )
A.x23+y24=1 B.x24+y23=1
C.x216+y215=1 D.x24+y2=1
解析:由题设可知椭圆C的焦点在x轴上,其坐标分别为(1,0),(-1,0),2a=4,故a=2,c=1,b2=3,所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.
答案:B
3.椭圆的两个焦点的坐标分别为(0,-4),(0,4),并且经过点(3,-5),则椭圆的标准方程是( )
A.y220+x24=1 B.x220+y24=1
C.y29+x225=1 D.x29+y225=1
解析:因为椭圆的焦点在y轴上,可设它的标准方程为
y2a2+x2b2=1(a>b>0).
由已知得c=4,又c2=a2-b2,故a2=16+b2.①
因为点(3,-5)在椭圆上,
所以(-5)2a2+(3)2b2=1,即5a2+3b2=1.②
将①代入②,解得b2=4(b2=-12舍去),a2=20.
所以所求椭圆的方程为y220+x24=1.
答案:A
4.椭圆x225+y29=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于( )
A.2 B.4 C.6 D.32
解析:设椭圆的另一个焦点为F2,因为椭圆x225+y29=1上一点M到焦点F1的距离为2,即|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=2a=10,所以|MF2|=8.因为N是MF1的中点,O是F1F2的中点,所以|ON|=12|MF2|=4.
答案:B
5.已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9,则b=( )
A.3 B.9 C.92 D.12
解析:由题意,得12|PF1||PF2|=9, ①|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,②|PF1|+|PF2|=2a,③
解得a2-c2=9,即b2=9,所以b=3.
答案:A
6.经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆的标准方程为 .
解析:椭圆9x2+4y2=36的焦点为(0,±5),则可设所求椭圆的方程为x2λ+y2λ+5=1(λ>0).
把x=2,y=-3代入,得4λ+9λ+5=1,
解得λ=10或λ=-2(舍去).
∴所求椭圆的方程为x210+y215=1.
答案:x210+y215=1
7.x29+y22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|= ,∠F1PF2的大小为 .
解析:∵|PF1|+|PF2|=2a=6,
∴|PF2|=6-|PF1|=2.
在△F1PF2中,cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|
=16+4-282×4×2=-12,
∴∠F1PF2=120°.
答案:2 120°
8.已知动圆M过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其相内切,则动圆圆心M的轨迹方程是 .
解析:设动圆M和定圆B内切于点C,动圆圆心M到两定点A(-3,0),B(3,0)的距离之和恰好又等于定圆B的半径,即|MA|+|MB|=|MC|+|MB|=|BC|=8,且8>|AB|=6,
所以动圆圆心M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,并且2a=8,2c=6,所以b=a2-c2=7.
所以动圆圆心M的轨迹方程是x216+y27=1.
答案:x216+y27=1
9.求符合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-3,0)和(3,0),且椭圆经过点(5,0);
(2)过点(-3,2)且与x29+y24=1有公共焦点.
解(1)∵椭圆的焦点在x轴上,
∴设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
∴2a=(5+3)2+(5-3)2=10.
∴a=5.
又c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.
故所求椭圆的方程为x225+y216=1.
(2)解法一:由已知得c=5,椭圆焦点为(-5,0)和(5,0),由椭圆定义知,2a=(-3+5)2+(2-0)2+(-3-5)2+(2-0)2=18-65+18+65=15-3+15+3=215,
∴a=15,b2=a2-c2=10,∴所求方程为x215+y210=1.
解法二:由已知得c=5,设所求方程为x2a2+y2a2-5=1(a>5),
把x=-3,y=2代入得9a2+4a2-5=1,
∴a4-18a2+45=0,
∴a2=15或a2=3(舍去),
∴所求方程为x215+y210=1.
10.
导学号90074055如图,F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,若△POF2为面积是3的正三角形,试求椭圆的标准方程.
解由△POF2为面积是3的正三角形,得|PO|=|PF2|=|OF2|=2,∴c=2.连接PF1,在△POF1中,|PO|=|OF1|=2,∠POF1=120°,
∴|PF1|=23.
∴2a=|PF1|+|PF2|=2+23,
∴a=1+3,∴b2=a2-c2=4+23-4=23.
∴所求椭圆的标准方程为x24+23+y223=1.
B组
1.设0≤α<2π,若方程x2sin α-y2cos α=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是( )
A.0,3π4∪7π4,2π B.π2,3π4
C.π2,3π4 D.3π4,3π2
解析:原方程可化为x21sinα+y2-1cosα=1,
∴-1cosα>1sinα>0,故选C.
答案:C
2.设P为椭圆x24+y29=1上的任意一点,F1,F2为其上、下焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值是 .
解析:由已知a=3,|PF1|+|PF2|=2a=6,
∴|PF1|·|PF2|≤|PF1|+|PF2|22=9.
当且仅当|PF1|=|PF2|=3时取等号.
故|PF1|·|PF2|的最大值为9.
答案:9
3.已知A点的坐标为-12,0,B是圆F:x-122+y2=4(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为 .
解析:
如图所示,由题意知,
|PA|=|PB|,|PF|+|BP|=2,
所以|PA|+|PF|=2,且|PA|+|PF|>|AF|,
即动点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆,a=1,c=12,b2=34,所以动点P的轨迹方程为x2+y234=1,即x2+43y2=1.
答案:x2+43y2=1
4.已知椭圆的焦距是2,且过点P(-5,0),求其标准方程.
解(1)若椭圆的焦点在x轴上,设其标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由已知得c=1,且椭圆过点P(-5,0),
∴5a2=1,a2-b2=1,解得a2=5,b2=4.
∴椭圆的标准方程为x25+y24=1.
(2)若椭圆的焦点在y轴上,设其标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),则有5b2=1,a2-b2=1,解得a2=6,b2=5.
∴椭圆的标准方程为y26+x25=1.
综上所述,椭圆的标准方程为x25+y24=1或y26+x25=1.
5.
如图,已知椭圆的方程为x24+y23=1,若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°,求△PF1F2的面积.
解由已知,得a=2,b=3,
所以c=a2-b2=4-3=1.
所以|F1F2|=2c=2.
在△PF1F2中,由余弦定理,得
|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos 120°,
即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.①
由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,
即|PF2|=4-|PF1|.②
②代入①,解得|PF1|=65.
所以S△PF1F2=12|PF1|·|F1F2|·sin 120°=12×65×2×32=335,即△PF1F2的面积是335.
6.
导学号90074056给出如下定义:把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0,如图,点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2分别是“果圆”与x,y轴的交点.
(1)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程;
(2)当|A1A2|>|B1B2|时,求ba的取值范围.
解(1)由a2-b2=322=34=c2,b2-c2=122得a2=74,b2=1,c2=34,
∴“果圆”的方程为4x27+y2=1(x≥0),4x23+y2=1(x≤0).
(2)∵a+c>2b,
∴a2-b2>2b-a,
∴a2-b2>(2b-a)2,∴ba<45.
又b2>c2=a2-b2,
∴b2a2>12,
∴ba∈22,45.
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