2022年各地中考数学解析版试卷分类汇编动态问题.docx

动态问题
一、选择题
1. 〔2022·湖北鄂州〕 如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s. 设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2)，那么描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图像可以是〔 〕
【考点】动点函数的图像问题.
【分析】分别判断点P在AB、在BM上分别运动时，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2)的变化情况进行求解即可.
【解答】解：点P在AB上分别运动时，围成的三角形面积为S(cm2)随着时间的增多不断增大，到达点B时，面积为整个正方形面积的四分之一，即4 cm2；
点P在BM上分别运动时，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2) 随着时间的增多继续增大，S=4+S△OBP；动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，故排除C，D；
到达点M时，面积为4 +2=6(cm2)，故排除B.
应选A．
【点评】动点函数的图像问题. 解答此类题目应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际求解. 注意排除法在此题中的灵活运用.
2.〔2022年浙江省台州市〕如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，那么PQ长的最大值与最小值的和是〔　　〕
A．6 B．2+1 C．9 D．
【考点】切线的性质．
【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，
P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题．
【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°，
∵∠OP1B=90°，
∴OP1∥AC
∵AO=OB，
∴P1C=P1B，
∴OP1=AC=4，
∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=1，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，
P2Q2最大值=5+3=8，
∴PQ长的最大值与最小值的和是9．
应选C．
3.〔2022年浙江省温州市〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影局部面积S1+S2的大小变化情况是〔　　〕
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】设PD=x，AB边上的高为h，想方法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=2，
∴AB===2，设PD=x，AB边上的高为h，
h==，
∵PD∥BC，
∴=，
∴AD=2x，AP=x，
∴S1+S2=•2x•x+〔2﹣1﹣x〕•=x2﹣2x+4﹣=〔x﹣1〕2+3﹣，
∴当0＜x＜1时，S1+S2的值随x的增大而减小，
当1≤x≤2时，S1+S2的值随x的增大而增大．
应选C．
4．〔2022.山东省泰安市，3分〕如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点〔不与点B、C重合〕，且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，那么y关于x的函数图象大致是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP，∠APD=60°，
∴∠BPD=∠CAP，
∴△BPD∽△CAP，
∴BP：AC=BD：PC，
∵正△ABC的边长为4，BP=x，BD=y，
∴x：4=y：〔4﹣x〕，
∴y=﹣x2+x．
应选C．
【点评】此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质．注意证得△BPD∽△CAP是关键．
解答题
1．〔2022·山西〕〔此题14分〕综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，点A，D的坐标分别为〔－2，0〕，〔6，－8〕．
〔1〕求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
〔2〕试探究抛物线上是否存在点F，使≌，假设存在，请直接写出点F的坐标；假设不存在，请说明理由；
〔3〕假设点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为〔0，m〕，直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，是等腰三角形．
考点：求抛物线的解析式，求点坐标，全等构成，等腰三角形的构
成
分析：〔1〕将A，D的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求出函数表达式
点B坐标：利用抛物线对称性，求出对称轴结合A点坐标即可求出B点坐标
点E坐标：E为直线l和抛物线对称轴的交点，利用D点坐标求出l表达式，令
其横坐标为，即可求出点E的坐标
〔2〕利用全等对应边相等，可知FO=FC，所以点F肯定在OC的垂直平分线上，所
以点F的纵坐标为-4，带入抛物线表达式，即可求出横坐标
〔3〕根据点P在y轴负半轴上运动，∴分两种情况讨论，再结合相似求解
解答：〔1〕抛物线经过点A〔－2，0〕，D〔6，－8〕，
解得…………………………………〔1分〕
抛物线的函数表达式为……………………………〔2分〕
，抛物线的对称轴为直线．又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为〔－2，0〕．点B的坐标为〔8，0〕…………………〔4分〕
设直线l的函数表达式为．点D〔6，－8〕在直线l上，6k=－8，解得．
直线l的函数表达式为………………………………………………………〔5分〕
点E为直线l和抛物线对称轴的交点．点E的横坐标为3，纵坐标为，即点E的坐标为〔3，－4〕……………………………………………………………………〔6分〕
〔2〕抛物线上存在点F，使≌．
点F的坐标为〔〕或〔〕．……………………………………〔8分〕
〔3〕解法一：分两种情况：
①当时，是等腰三角形．
点E的坐标为〔3，－4〕，，过点E作直线ME//PB，交y轴于点M，交x轴于点H，那么，……………………………………〔9分〕
点M的坐标为〔0，－5〕．
设直线ME的表达式为，，解得，ME的函数表达式为，令y=0，得，解得x=15，点H的坐标为〔15，0〕…〔10分〕
又MH//PB，，即，……………………………〔11分〕
②当时，是等腰三角形．
当x=0时，，点C的坐标为〔0，－8〕，
，OE=CE，，又因为，，
，CE//PB………………………………………………………………〔12分〕
设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为，，解得，CE的函数表达式为，令y=0，得，，点N的坐标为
〔6，0〕………………………………………………………………〔13分〕
CN//PB，，，解得………………〔14分〕
综上所述，当m的值为或时，是等腰三角形．
解法二：
当x=0时， ，点C的坐标为〔0，－8〕，点E的坐标为
〔3，－4〕，，，OE=CE，，设抛物线的对称轴交直线PB于点M，交x轴于点H．分两种情况：
① 当时，是等腰三角形．
，，CE//PB………………………………………〔9分〕
又HM//y轴，四边形PMEC是平行四边形，，
，HM//y轴，
∽，……………………………………………………〔10分〕
………………………………………………………〔11分〕
②当时，是等腰三角形．
轴，∽，，……………〔12分〕
，，轴，∽，…………………………………………………〔13分〕
………………〔14分〕
当m的值为或时，是等腰三角形．
2．〔2022·上海〕如下列图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．
〔1〕求线段CD的长；
〔2〕如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；
〔3〕如果点F在边CD上〔不与点C、D重合〕，设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
【考点】四边形综合题．
【专题】综合题．
【分析】〔1〕作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，那么DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；
〔2〕分类讨论：当EA=EG时，那么∠AGE=∠GAE，那么判断G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，那么AM=AD=，通过证明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA=GE时，那么∠AGE=∠AEG，可证明AE=AD=15，
〔3〕作DH⊥AB于H，如图2，那么AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，先利用勾股定理表示出DE=，再证明△EAG∽△EDA，那么利用相似比可表示出EG=，那么可表示出DG，然后证明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系．
【解答】解：〔1〕作DH⊥AB于H，如图1，
易得四边形BCDH为矩形，
∴DH=BC=12，CD=BH，
在Rt△ADH中，AH===9，
∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，
∴CD=7；
〔2〕当EA=EG时，那么∠AGE=∠GAE，
∵∠AGE=∠DAB，
∴∠GAE=∠DAB，
∴G点与D点重合，即ED=EA，
作EM⊥AD于M，如图1，那么AM=AD=，
∵∠MAE=∠HAD，
∴Rt△AME∽Rt△AHD，
∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=；
当GA=GE时，那么∠AGE=∠AEG，
∵∠AGE=∠DAB，
而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，
∴∠GAE=∠ADG，
∴∠AEG=∠ADG，
∴AE=AD=15，
综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15；
〔3〕作DH⊥AB于H，如图2，那么AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，
在Rt△ADE中，DE==，
∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，
∴△EAG∽△EDA，
∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，
∴EG=，
∴DG=DE﹣EG=﹣，
∵DF∥AE，
∴△DGF∽△EGA，
∴DF：AE=DG：EG，即y：x=〔﹣〕：，
∴y=〔9＜x＜〕．
【点评】此题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质等等腰三角形的性质；常把直角梯形化为一个直角三角形和一个矩形解决问题；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
3．〔2022·四川巴中〕如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2+4mx﹣5m〔m＜0〕与x轴交于点A、B〔点A在点B的左侧〕，该抛物线的对称轴与直线y=x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线y=x上〔不与原点重合〕，连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．
〔1〕如图①所示，假设抛物线顶点的纵坐标为6，求抛物线的解析式；
〔2〕求A、B两点的坐标；
〔3〕如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线y=x上任意一点P〔不与原点重合〕，∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】〔1〕先提取公式因式将原式变形为y=m〔x2+4x﹣5〕，然后令y=0可求得函数图象与x轴的交点坐标，从而可求得点A、B的坐标，然后依据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为x=﹣2，故此可知当x=﹣2时，y=6，于是可求得m的值；
〔2〕由〔1〕的可知点A、B的坐标；
〔3〕先由一次函数的解析式得到∠PBF的度数，然后再由PD⊥PF，FO⊥OD，证明点O、D、P、F共圆，最后依据圆周角定理可证明∠PDF=60°．
【解答】解：〔1〕∵y=mx2+4mx﹣5m，
∴y=m〔x2+4x﹣5〕=m〔x+5〕〔x﹣1〕．
令y=0得：m〔x+5〕〔x﹣1〕=0，
∵m≠0，
∴x=﹣5或x=1．
∴A〔﹣5，0〕、B〔1，0〕．
∴抛物线的对称轴为x=﹣2．
∵抛物线的顶点坐标为为6，
∴﹣9m=6．
∴m=﹣．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+．
〔2〕由〔1〕可知：A〔﹣5，0〕、B〔1，0〕．
〔3〕如下列图：
∵OP的解析式为y=x，
∴∠AOP=30°．
∴∠PBF=60°
∵PD⊥PF，FO⊥OD，
∴∠DPF=∠FOD=90°．
∴∠DPF+∠FOD=180°．
∴点O、D、P、F共圆．
∴∠PDF=∠PBF．
∴∠PDF=60°．
4．〔2022·湖北十堰〕如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A〔4，﹣3〕，顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点〔0，2〕且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．
〔1〕求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；
〔2〕①当P点运动到A点处时，计算：PO=　5　，PH=　5　，由此发现，PO　=　PH〔填“＞〞、“＜〞或“=〞〕；
②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；
〔3〕如图2，设点C〔1，﹣2〕，问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】〔1〕利用待定系数法即可解决问题．
〔2〕①求出PO、PH即可解决问题．
②结论：PO=PH．设点P坐标〔m，﹣ m2+1〕，利用两点之间距离公式求出PH、PO即可解决问题．
〔3〕首先判断PH与BC，PO与AC是对应边，设点P〔m，﹣ m2+1〕，由=列出方程即可解决问题．
【解答】〔1〕解：∵抛物线y=ax2+1经过点A〔4，﹣3〕，
∴﹣3=16a+1，
∴a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+1，顶点B〔0，1〕．
〔2〕①当P点运动到A点处时，∵PO=5，PH=5，
∴PO=PH，
故答案分别为5，5，=．
②结论：PO=PH．
理由：设点P坐标〔m，﹣ m2+1〕，
∵PH=2﹣〔﹣m2+1〕=m2+1
PO==m2+1，
∴PO=PH．
〔3〕∵BC==，AC==，AB==4
∴BC=AC，
∵PO=PH，
又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，
∴PH与BC，PO与AC是对应边，
∴=，设点P〔m，﹣ m2+1〕，
∴=，
解得m=±1，
∴点P坐标〔1，〕或〔﹣1，〕．
【点评】此题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住两点之间的距离公式，学会转化的思想，用方程去解决问题，属于中考压轴题．
5．〔2022.山东省青岛市〕：如图，在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t〔s〕〔0＜t＜6〕，解答以下问题：
〔1〕当t为何值时，△AOP是等腰三角形
〔2〕设五边形OECQF的面积为S〔cm2〕，试确定S与t的函数关系式；
〔3〕在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由；
〔4〕在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【分析】〔1〕根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP=t=，②当AP=AO=t=5，于是得到结论；
〔2〕作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，根据全等三角形的性质得到CE=AP=t，根据相似三角形的性质得到EH=，根据相似三角形的性质得到QM=，FQ=，根据图形的面积即可得到结论，
〔3〕根据题意列方程得到t=，t=0，〔不合题意，舍去〕，于是得到结论；
〔4〕由角平分线的性质得到DM=DN=，根据勾股定理得到ON=OM==，由三角形的面积公式得到OP=5﹣t，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：〔1〕∵在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，
∴AC=10，
①当AP=PO=t，如图1，
过P作PM⊥AO，
∴AM=AO=，
∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ADC，
∴，
∴AP=t=，
②当AP=AO=t=5，
∴当t为或5时，△AOP是等腰三角形；
〔2〕作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，
在△APO与△CEO中，
，
∴△AOP≌△COE，
∴CE=AP=t，
∵△CEH∽△ABC，
∴，
∴EH=，
∵DN==，
∵QM∥DN，
∴△CQM∽△CDN，
∴，即，
∴QM=，
∴DG=﹣=，
∵FQ∥AC，
∴△DFQ∽△DOC，
∴，
∴FQ=，
∴S五边形OECQF=S△OEC+S四边形OCQF=×5×+〔+5〕•=﹣t2+t+12，
∴S与t的函数关系式为S=﹣t2+t+12；
〔3〕存在，
∵S△ACD=×6×8=24，
∴S五边形OECQF：S△ACD=〔﹣t2+t+12〕：24=9：16，
解得t=，t=0，〔不合题意，舍去〕，
∴t=时，S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16；
〔4〕如图3，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AC于N，
∵∠POD=∠COD，
∴DM=DN=，
∴ON=OM==，
∵OP•DM=3PD，
∴OP=5﹣t，
∴PM=﹣t，
∵PD2=PM2+DM2，
∴〔8﹣t〕2=〔﹣t〕2+〔〕2，
解得：t≈15〔不合题意，舍去〕，t≈2.88，
∴当t=2.88时，OD平分∠COP．
6．〔2022•江苏省扬州〕如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A〔﹣1，3〕，顶点B的横坐标为1．
〔1〕求这个二次函数的表达式；
〔2〕点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，假设以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
〔3〕如图3，一次函数y=kx〔k＞0〕的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上〔不与O、C重合〕，过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．假设在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】〔1〕利用待定系数法即可解决问题．
〔2〕①当AB为对角线时，根据中点坐标公式，列出方程组解决问题．②当AB为边时，根据中点坐标公式列出方程组解决问题．
〔3〕设T〔m，m2﹣2m〕，由TM⊥OC，可以设直线TM为y=﹣x+b，那么m2﹣2m=﹣m+b，b=m2﹣2m+，求出点M、N坐标，求出OM、ON，根据列出等式，即可解决问题．
【解答】解：〔1〕∵二次函数y=ax2+bx的图象过点A〔﹣1，3〕，顶点B的横坐标为1，
那么有解得
∴二次函数y=x2﹣2x，
〔2〕由〔1〕得，B〔1，﹣1〕，
∵A〔﹣1，3〕，
∴直线AB解析式为y=﹣2x+1，AB=2，
设点Q〔m，0〕，P〔n，n2﹣2n〕
∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
①当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，那么有，解得或
∴P〔1+，2〕和〔1﹣，2〕
②当AB为边时，根据中点坐标公式得解得或
∴P〔1+，4〕或〔1﹣，4〕．
〔3〕设T〔m，m2﹣2m〕，∵TM⊥OC，
∴可以设直线TM为y=﹣x+b，那么m2﹣2m=﹣m+b，b=m2﹣2m+，
由解得，
∴OM==，ON=m•，
∴=，
∴k=时， =．
∴当k=时，点T运动的过程中，为常数．