资源描述
1.3 量词、逻辑联结词
考点一 含有逻辑联结词命题的真假判断
1.假设命题“p∨q〞是真命题,“p为真命题〞,那么 ( )
A.p真,q真 B.p假,q真
C.p真,q假 D.p假,q假
【解析】选B.因为p为真命题,所以p为假命题,又因为p∨q为真命题,所以q为真命题.
2.命题p:假设x>y,那么-x<-y;命题q:假设x>y,那么x2>y2.在命题①p且q;②p或q;③p且(q);④(p)或q中,真命题是 ( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【解析】选C.当x>y时,-x<-y,故命题p为真命题,从而p为假命题.当x>y时,x2>y2不一定成立,故命题q为假命题,从而q为真命题.由真值表知,①p且q为假命题;②p或q为真命题;③p且(q)为真命题;④(p)或q为假命题.
3.“p或q〞为真命题是“p且q〞为真命题的 条件.(填“充分不必要〞“必要不充分〞或“充要〞)
【解析】p或q为真命题p且q为真命题;p且q为真命题⇒p或q为真命题.
答案:必要不充分
1.判断含有逻辑联结词“或〞“且〞“非〞的命题的真假
(1)弄清构成它的命题p,q的真假;
(2)弄清结构形式;
(3)根据真值表来判断新命题的真假.
2.判断复合命题的真假
关键是准确判断p,q的真假,本局部内容可和其他知识建立广泛的联系,因此,要注意相关知识的熟练掌握.
考点二 全称命题与特称命题
【典例】1.(2023·西安模拟)以下命题中,真命题是 ( )
A.∃x∈R,sin2+cos2=
B.∀x∈(0,π),sin x>cos x
C.∃x∈R,x2+x=-2
D.∀x∈(0,+∞),ex>x+1
2.命题“∀x>0,>0〞的否认是 ( )
A.∃x≥0,≤0
B.∃x>0,0≤x≤1
C.∀x>0,≤0
D.∀x<0,0≤x≤1
3.(2023·武汉模拟)命题“∃x∈(0,+∞),ln x=x-1〞的否认是 ( )
A.∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1
B.∀x∉(0,+∞),ln x=x-1
C.∃x∈(0,+∞),ln x≠x-1
D.∃x∉(0,+∞),ln x=x-1
【解题导思】
序号
联想解题
1
由全称命题正确,想到对所有实数都成立,由特称命题正确,想到只要存在一个实数让命题成立即可
2
由全称命题的否认,想到换量词,否结论
3
由特称命题的否认,想到换量词,否结论
【解析】1.选D.∀x∈R,均有sin2+cos2=1,故A是假命题;
当x∈时,sin x≤cos x,故B是假命题;
因为方程x2+x+2=0对应的判别式Δ=1-8<0,
所以x2+x+2=0无解,
所以∃x∈R,x2+x=-2是假命题,故C是假命题;
令f(x)=ex-x-1,那么f′(x)=ex-1,
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0恒成立,
那么f(x)为增函数,故f(x)>f(0)=0,
即∀x∈(0,+∞),ex>x+1.
2.选B.因为>0,所以x<0或x>1,
所以>0的否认是0≤x≤1,
所以命题的否认是“∃x>0,0≤x≤1〞.
3.选A.改变原命题中的两个地方即可得其否认,∃改为∀,否认结论,即ln x≠x-1.
1.全称命题、特称命题的真假判断方法
(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x,使得p(x)不成立即可.
(2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x,使p(x)成立即可,否那么,这一特称命题就是假命题.
(3)不管是全称命题,还是特称命题,其真假不容易正面判断时,可先判断其命题的否认的真假.
2.对全称(特称)命题进行否认的两步操作
(1)转换量词:找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再改变量词.
(2)否认结论:对原命题的结论进行否认.
1.命题“∃x>0,使2x(x-a)>1〞,那么这个命题的否认是 ( )
A.∀x>0,使2x(x-a)>1
B.∀x>0,使2x(x-a)≤1
C.∀x≤0,使2x(x-a)≤1
D.∀x≤0,使2x(x-a)>1
2.以下命题中,真命题是 ( )
A.∀x∈R,x2-x-1>0
B.∀α,β∈R,sin(α+β)<sin α+sin β
C.∃x∈R,x2-x+1=0
D.∃α,β∈R,sin(α+β)=cos α+cos β
【解析】1.选B.命题的否认为∀x>0,使2x(x-a)≤1.
2.选D.因为x2-x-1=-≥-,所以A是假命题.当α=β=0时,有sin(α+β)=sin α+sin β,所以B是假命题.x2-x+1=+≥,所以C是假命题.当α=β=时,有sin(α+β)=cos α+cos β,所以D是真命题.
考点三 根据命题的真假求参数的取值范围
命题
精解
读
1.考什么:(1)根据命题的真假,求参数的取值(取值范围)
(2)考查学生的数学运算、逻辑推理的核心素养
2.怎么考:与方程、不等式结合,根据命题的真假,求参数的取值范围
学霸
好方
法
1.求参数问题的解题思路:
(1)不等式类问题,根据集合之间的关系求解
(2)恒成立、存在性问题,求最值
2.交汇问题: 与方程、不等式、函数等问题结合,注意恒成立、存在性问题的解决方法
复合命题真假的应用
【典例】命题p:存在实数m,使方程x2+mx+1=0有两个不等的负根;命题q:存在实数m,使方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.假设“p∧q〞为假命题,“p∨q〞为真命题,那么m的取值范围为 ( )
A.[3,+∞) B.(1,2]
C.(1,2]∪[3,+∞) D.[1,2)∪(3,+∞)
【解析】选C.因为方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根,所以解得m>2,
因为方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,所以Δ<0,解得1<m<3.
因为“p∧q〞为假命题,“p∨q〞为真命题,
所以p与q一真一假.
所以或
所以m的取值范围{m|m≥3或1<m≤2}.
假设“p∧q〞为假命题,“p∨q〞为真命题能得到什么结论?
提示:能得到p,q一真一假.
根据特称命题、全称命题求参数取值范围
【典例】1.(2023·太原模拟)命题p:∃x∈R,ex-mx=0,q:∀x∈R,x2+mx+1≥0,假设p∨(q)为假命题,那么实数m的取值范围是 ( )
A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.[0,2]
C.R D.∅
2.p:∃x∈R,mx2+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+1>0,假设p和q都是假命题,那么实数m的取值范围为 ( )
A.m≥2 B.m≤-2
C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2
【解析】1.选B.假设p∨(q)为假命题,那么p假q真.由ex-mx=0,得m=,设f(x)=,那么f′(x)=,当x>1时,f′(x)>0,f(x)为增函数,当0<x<1时,f′(x)<0,f(x)为减函数,当x<0时,f′(x)<0,f(x)为减函数,所以当x=1时,f(x)取极小值f(1)=e.所以f(x)∈(-∞,0)∪[e,+∞).所以命题p为假命题时,有0≤m<e;命题q为真命题时,有Δ=m2-4≤0,即-2≤m≤2.所以当p∨(q)为假命题时,m的取值范围是[0,2].
2.选A.依题意知,p,q均为假命题.当p是假命题时,∀x∈R,mx2+1>0恒成立,那么有m≥0;当q是假命题时,那么有Δ=m2-4≥0,m≤-2或m≥2.综上m≥2.
假设全称命题是假命题,那么能得到哪个命题是真命题?同样,假设特称命题是假命题,那么能得到哪个命题是真命题?
提示:假设全称命题是假命题,那么其否认——特称命题是真命题,假设特称命题是假命题,那么其否认——全称命题是真命题.
1.命题“任意x∈R,>0〞的否认是 ( )
A.存在x∈R,<0 B.任意x∈R,≤0
C.任意x∈R,<0 D.存在x∈R,≤0
【解析】选D.全称命题的否认是特称命题,“>〞的否认是“≤〞.
2.设命题p:∃n∈N,n2>2n,那么p为 ( )
A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n
C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n
【解析】选C.因为“∃x∈M,p(x)〞的否认是“∀x∈M,p(x)〞,所以命题“∃n∈N,n2>2n〞的否认是“∀n∈N,n2≤2n〞.
3.命题“∃x∈R,x2+ax-4a<0〞为假命题,那么实数a的取值范围为 ( )
A.[-16,0] B.(-16,0)
C.[-4,0] D.(-4,0)
【解析】选A.由题意可知“∀x∈R,x2+ax-4a≥0〞为真命题,所以Δ=a2+16a≤0,解得-16≤a≤0.
(2023·全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9;命题q:∀(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题
①p∨q;②p∨q;③p∧q;④p∧q.
这四个命题中,所有真命题的编号是 ( )
A.①③ B.①② C.②③ D.③④
【解析】选A.分别取区域D内的点A(6,0),B(6,3),对于命题p,因为2×6+0=12≥9,故是真命题;对于命题q,因为2×6+3=15>12,故是假命题.所以p为假命题,q为真命题.故p∨q,p∧q为真命题.
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