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专题五-阅读理解问题-五年中考荟萃

专题五 阅读理解问题

A组　2015年全国中考题组
一、填空题
1．(2015·湖南株洲，16，4分)“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为S＝a＋－1，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上(含顶点)的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a还是b表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形(如图1)进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是_____，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是_____．

解析　如题图1，∵三角形内由1个格点，边上有8个格点，面积为4，即4＝1＋－1；
矩形内由2个格点，边上有10个格点，面积为6，即6＝2＋－1；
∴公式中表示多边形内部整点个数的字母是a；
题图2中，a＝15，b＝7，故S＝15＋－1＝17.5.
答案　a　17.5
2．(2015·四川资阳，16，4分)已知抛物线p：y＝ax2＋bx＋c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧)，点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y＝x2＋2x＋1和y＝2x＋2，则这条抛物线的解析式为________．
解析　∵y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，
∴A点坐标为(－1，0)，
解方程组得或
∴点C′的坐标为(1，4)，
∵点C和点C′关于x轴对称，
∴C(1，－4)，
设原抛物线解析式为y＝a(x－1)2－4，
把A(－1，0)代入得4a－4＝0，解得a＝1，
∴原抛物线解析式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.
答案　 y＝x2－2x－3
二、解答题
3．(2015·浙江绍兴，21，10分)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线．
(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式，小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4.请你写出一个不同于小敏的答案．
(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．
解　(1)不唯一，如y＝x2－2x＋2.
(2)∵定点抛物线的顶点坐标为(b，c＋b2＋1)，且－1＋2b＋c＋1＝1，∴c＝1－2b，
∵顶点纵坐标c＋b2＋1＝2－2b＋b2＝(b－1)2＋1，
∴当b＝1时，c＋b2＋1最小，
抛物线顶点纵坐标的值最小；
此时c＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x.

4．(2015·浙江温州，20，8分)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形，如何计算它的面积？奥地利数学家皮克(G.Pick，1859～1942年)证明了格点多边形的面积公式：S＝a＋b－1，其中a表示多边表内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图，a＝4，b＝6，S＝4＋×6－1＝6.
(1)请在图甲中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积；

(2)请在图乙画一个格点三角形，使它的面积为，且每条边上除顶点外无其它格点．
解　(1)画法不唯一，如图①或图②，面积分别为9，5.
(2)画法不唯一，如图③，图④等．

5．(2015·浙江宁波，24，10分)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S＝ma＋nb－1，其中m，n为常数．
(1)在下面的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形；

(2)利用(1)中的格点多边形确定m，n的值．

解　(1)答案不唯一

(2)三角形：a＝4，b＝6，S＝6；
平行四边形：a＝3，b＝8，S＝6；菱形：a＝5，b＝4，S＝6；
任选两组数据代入S＝ma＋nb－1，解得m＝1，n＝.
6．(2015·浙江杭州，19，8分)如图1，⊙O的半径为r(r＞0)，若点P′在射线OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．

解　因为OA′·OA＝16，且OA＝8，所以OA′＝2，
同理可知，OB′＝4，即B点的反演点B′与B重合．
设OA交⊙O于点M，连结B′M.
因为∠BOA＝60°，OM＝OB′，所以△OB′M为正三角形，
又因为点A′为OM的中点，
所以A′B′⊥OM.
根据勾股定理，得：OB′2＝OA′2＋A′B′2，即16＝4＋A′B′2，解得：A′B′＝2.
B组　2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．(2012·浙江嘉兴，9，4分)定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”．如“947”就是一个“V数”．若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析　从1，3，4，5中任选两数共有12种可能情况，其中属于“V数”的有6种可能情况，
百位数字
个位数字
1
3
4
5
1

1，3
1，4
1，5
3
3，1

3，4
3，5
4
4，1
4，3

4，5
5
5，1
5，3
5，4

所以从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是，故选C.
答案　C
2．(2013·山东潍坊，12，3分)对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[－2.5]＝－3，若[]＝5，则x的取值可以是(　　)
A．40 B．45 C．51 D．56
解析　法一　∵将x＝40代入[]得[]＝4，选项A错误；将x＝45代入[]得[]＝4，选项B错误；将x＝51代入[]得[]＝5，选项C正确；将x＝56代入[]得[]＝6，选项D错误．故选C.
法二　由[]＝5得解得46≤x＜56，故选C.
答案　C

二、填空题
3．(2014·山东德州，17，4分)如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1，A2，A3，…An，….将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3，…An，…，则顶点M2 014的坐标为(________________)．

解析　∵抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y＝x上，∴设平移后的抛物线为y＝(x－m)2＋m，由题意可知抛物线y＝(x－m)2＋m经过点A2 014(2014，2 0142)，∴2 0142＝(2014－m)2＋m，解得m＝4 027或m＝0(不合题意舍去)，∴M2 014(4 027，4 027)，故答案为：(4 027，4 027)．
答案　(4 027，4 027)
4．(2014·北京，22，5分)阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长．

图1　　　　　　　　　图2
小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2)．
请回答：∠ACE的度数为________，AC的长为________．

图3
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC与BD交于点E，AE＝2，BE＝2ED，BC的长为________．
解析　∵CE∥AB，∴∠BAC＋∠ACE＝180°.
∵∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，
∴∠ACE＝180°－∠BAC＝180°－75°－30°＝75°，∠E＝∠BAD＝75°，
∴∠E＝∠ACE，
∴AC＝AE.
∵CE∥AB，∴△ABD∽△ECD，∴＝.
∵BD＝2DC，∴AD＝2ED.
∵AD＝2，∴ED＝1，∴AC＝AE＝AD＋ED＝
2＋1＝3.
过点D作DF⊥AC于点F，
∵∠BAC＝90°，∴AB∥DF，
∴△ABE∽△FDE.
∴＝＝＝2，
∴EF＝1，AF＝AE＋EF＝3.
∵∠CAD＝30°，∴DF＝AF·tan 30°＝，AD＝2DF＝2.
∵∠ADC＝75°，∴∠ACD＝180°－∠ADC－∠CAD＝75°.
∴AD＝AC，∴AC＝2.
∵＝2，∴AB＝2.
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝＝2.
答案　75°　2　2
5．★(2013·山东菏泽，12，3分)我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”(例如圆的直径就是它的“面径”)．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是________(写出1个即可)．
解析　如图，(1)等边三角形的高AD是它的一条面径，AD＝×2＝；
(2)当EF∥BC时，EF为它的一条面径，此时，＝，解得EF＝.
所以，它的面径长可以是，.
答案　或
三、解答题
6．(2014·安徽，22，12分)若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
(2)已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1，和y2＝ax2＋bx＋5，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的最大值．
解　(1)答案不唯一，如顶点是原点，开口向上的二次函数，y＝x2和y＝2x2；
(2)把点A(1，1)坐标代入到y1＝2x2－4mx＋2m2＋1中，
得2×12－4m×1＋2m2＋1＝1，
解得m＝1.
∴y1＝2x2－4x＋3，
∵y1＋y2＝2x2－4x＋3＋ax2＋bx＋5＝(a＋2)x2＋(b－4)x＋8，
又∵y1＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1，其顶点为(1，1)，且y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，
∴
解得
∴y2＝5x2－10x＋5＝5(x－1)2，
当x≥1时，y随x的增大而增大，当x＝3时，y＝5×(3－1)2＝20，
当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＝0时，y＝5×(0－1)2＝5，
故当0≤x≤3时，y2的最大值是20.
7．(2012·浙江绍兴，21，10分)联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图1，若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心．
应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数．
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．

解　应用：若PB＝PC，则∠PCB＝∠PBC.
∵CD为等边三角形的高，∴AD＝BD，∠PCB＝30°，
∴∠PBD＝∠PBC＝30°，∴PD＝DB＝AB.
与已知PD＝AB矛盾，∴PB≠PC.
若PA＝PC，同理可得PA≠PC.
若PA＝PB，由PD＝AB，得PD＝BD＝AD，因此点A，P，B在以AB为直径的圆上，∴∠APB＝90°，
故∠APB＝90°.
探究：若PB＝PC，设PA＝x，
则x2＋32＝(4－x)2，∴x＝，即PA＝.
若PA＝PC，则PA＝2.
若PA＝PB，在Rt△PAB中，不可能．
故PA＝2或.
8．(2012·浙江台州，24，14分)定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．
已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m＋4，n)是平面直角坐标系中四点．
(1)根据上述定义，当m＝2，n＝2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是______；
当m＝5，n＝2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______．

(2)如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．
(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M.
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；
②点D的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)2　

(2)如图甲，过点A作直线EF⊥x轴，当点B落在圆A上，且位于EF的右侧(或EF上)时，线段BC与线段OA的距离即圆A的半径，此时4≤m≤6，且d＝2.
如图乙，当点B落在圆A上，且位于EF的左侧时，过点B作BN⊥x轴于点N，垂线段BN的长即为线段BC与线段OA的距离，此时2≤m＜4.

图甲

图乙
在Rt△ABN中，∠ANB＝90°，AN＝4－m，AB＝2，
由勾股定理可得：
d＝BN＝＝
＝.
∴d关于m的函数解析式为：
d＝
(3)①如图丙，由题意可知：当线段BC的端点B或端点C沿环形跑道运动时，方可使得动线段BC与线段OA的距离始终为2，由线段PI，，线段GK，所围成的封闭图形就是点M随线段BC运动所围成的．
∴点M随BC运动所围成的封闭图形的周长为：
2×π×2＋2×2×4＝16＋4π.

图丙
②∵m≥0，n≥0，
∴点M随线段BC运动所形成的图形是M0E，，如图丁所示．

图丁
∵Rt△AOD中，OD∶OA＝1∶2，
∴若△AMH与△AOD相似，则必有MH∶HA＝1∶2或MH︰HA＝2∶1.
∵当2≤m＋2＜4时，显然M1H1＞H1A，
∴M1H1∶H1A＝2∶1.
∵M1H1＝2，∴H1A＝1，
∴OH1＝3.
∴m1＝3－2＝1.
当4≤m＋2≤6时，即点M2在线段TE上时，同理可求：m2＝5－2＝3.
当6＜m＋2≤8时，即点M3在上时，
∵AH3≥2≥M3H3，
∴M3H3∶AH3＝1∶2.
设M3H3＝x，则AH3＝2x，
∴RH3＝2x－2.
∵RM3＝2，∴(2x－2)2＋x2＝22，解方程可得：
x1＝，x2＝0(不合题意，舍去)．
∴此时，OH3＝4＋2x＝.
∴m3＝－2＝.
综上所述，在平移过程中存在△AHM与△AOD相似，相应m的值为1，3，.

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