2022年福建省莆田市中考数学试卷.docx

2022年福建省莆田市中考数学试卷
2022年福建省莆田市中考数学试卷
一、选择题〔共8小题，每题4分，总分值32分〕
1．〔4分〕〔2022•莆田〕以下各数中，最小的数是〔　　〕

A．
﹣l
B．
O
C．
1
D．

2．〔4分〕〔2022•莆田〕以下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

3．〔4分〕〔2022•莆田〕以下运算正确的选项是〔　　〕

A．
3a﹣a=3
B．
a3÷a3=a
C．
a2•a3=a5
D．
〔a+b〕2=a2+b2
4．〔4分〕〔2022•莆田〕在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙、丙、丁四队女演员的人数相同，身高的平均数均为166cm，且方差分别为=1.5，=2.5，=2.9，=3.3，那么这四队女演员的身高最整齐的是〔　　〕

A．
甲队
B．
乙队
C．
丙队
D．
丁队
5．〔4分〕〔2022•莆田〕方程〔x﹣1〕〔x+2〕=0的两根分别为〔　　〕

A．
x1=﹣1，x2=2
B．
x1=1，x2=2
C．
x1=﹣1，x2=﹣2
D．
x1=1，x2=﹣2
6．〔4分〕〔2022•莆田〕某几何组合体的主视图和左视图为同一个视图，如下列图，那么该几何组合体的俯视图不可能是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

7．〔4分〕〔2022•莆田〕甲、乙两班学生参加植树造林．甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．假设设甲班每天植树x棵，那么根据题意列出方程正确的选项是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

8．〔4分〕〔2022•莆田〕如图，在平面直角坐标系中，A〔1，1〕，B〔﹣1，1〕，C〔﹣1，﹣2〕，D〔1，﹣2〕．把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线〔线的粗细忽略不计〕的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，那么细线另一端所在位置的点的坐标是〔　　〕

A．
〔1，﹣1〕
B．
〔﹣1，1〕
C．
〔﹣1，﹣2〕
D．
〔1，﹣2〕
二、填空题〔共8小题，每题4分，总分值32分〕
9．〔4分〕〔2022•莆田〕如图，△A′B′C′是由△ABC沿射线AC方向平移2cm得到，假设AC=3cm，那么A′C=　_________　cm．
10．〔4分〕〔2022•莆田〕2012年6月15日，中国“蛟龙号〞载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟区域进行下潜试验中，成功突破6500米深度，创中国载人深潜新纪录．将6500用科学记数法表示为　_________　．
11．〔4分〕〔2022•莆田〕将一副三角尺按如下列图放置，那么∠1=　_________　度．
12．〔4分〕〔2022•莆田〕如果单项式xa+1y3与2x3yb是同类项，那么ab=　_________　．
13．〔4分〕〔2022•莆田〕某学校为了做好道路交通平安教育工作，随机抽取本校100名学生就上学的交通方式进行调查，根据调查结果绘制扇形图如下列图．假设该校共有1000名学生，请你估计全校步行上学的学生人数约有　_________　人．
14．〔4分〕〔2022•莆田〕假设扇形的圆心角为60°，弧长为2π，那么扇形的半径为　_________　．
15．〔4分〕〔2022•莆田〕当时，代数式的值为　_________　．
16．〔4分〕〔2022•莆田〕点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如下列图．假设P是x轴上使得|PA﹣PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，那么OP•OQ=　_________　．
三、解答题〔共9小题，总分值86分〕
17．〔8分〕〔2022•莆田〕计算：．
18．〔8分〕〔2022•莆田〕三个一元一次不等式：2x＞6，2x≥x+1，x﹣4＜0，请从中选择你喜欢的两个不等式，组成一个不等式组，求出这个不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来．
19．〔8分〕〔2022•莆田〕如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC．
〔1〕请根据以下语句画图，并标上相应的字母〔用黑色字迹的钢笔或签字笔画〕．
①过点A画AE⊥BC于点E；
②过点C画CF∥AE，交AD于点F；
〔2〕在完成〔1〕后的图形中〔不再添加其它线段和字母〕，请你找出一对全等三角形，并予以证明．
20．〔8分〕〔2022•莆田〕甲、乙两个班级各有50名学生．为了了解甲、乙两个班级学生解答选择题的能力状况，黄老师对某次考试中8道选择题的答题情况进行统计分析，得到统计表如下：

0
1
2
3
4
5
6
7
8
甲班
0
1
1
3
4
11
16
12
2
乙班
0
1
0
2
5
12
15
13
2
〔1〕甲班学生答对的题数的众数是　_________　；
〔2〕假设答对的题数大于或等于7道的为优秀，那么乙班该次考试中选择题答题的优秀率=　_________　〔优秀率=×100%〕．
〔3〕从甲、乙两班答题全对的学生中，随机抽取2人作选择题解题方法交流，那么抽到的2人在同一个班级的概率等于　_________　．
21．〔8分〕〔2022•莆田〕如图，某种新型导弹从地面发射点L处发射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上升的高度y〔km〕与飞行时间x〔s〕之间的关系式为 〔0≤x≤10〕．发射3s后，导弹到达A点，此时位于与L同一水平面的R处雷达站测得AR的距离是2km，再过3s后，导弹到达B点．
〔1〕求发射点L与雷达站R之间的距离；
〔2〕当导弹到达B点时，求雷达站测得的仰角〔即∠BRL〕的正切值．
22．〔10分〕〔2022•莆田〕如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CD=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，点G为DF的中点，连接CG、OF、FB．
〔1〕求证：CG是⊙O的切线；
〔2〕假设△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，求证：OF∥BC．
23．〔10分〕〔2022•莆田〕如图，一次函数y=k1x+b的图象过点A〔0，3〕，且与反比例函数〔x＞O〕的图象相交于B、C两点．
〔1〕假设B〔1，2〕，求k1•k2的值；
〔2〕假设AB=BC，那么k1•k2的值是否为定值假设是，请求出该定值；假设不是，请说明理由．
24．〔12分〕〔2022•莆田〕〔1〕如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2=AD•AC；
〔2〕如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．，求的值；
〔3〕在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点〔点D不与B、C重合〕，直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．假设，请探究并直接写出的所有可能的值〔用含n的式子表示〕，不必证明．
25．〔14分〕〔2022•莆田〕如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O〔0，0〕，A〔0，3〕，B〔6，3〕，C〔6，0〕，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕过点A．
〔1〕求c的值；
〔2〕假设a=﹣1，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，求△ADE的面积S的最大值；
〔3〕假设抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N，线段MN的垂直平分线l过点0，交线段BC于点F．当BF=1时，求抛物线的解析式．
2022年福建省莆田市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔共8小题，每题4分，总分值32分〕
1．〔4分〕〔2022•莆田〕以下各数中，最小的数是〔　　〕

A．
﹣l
B．
O
C．
1
D．

考点：
实数大小比较。710466
专题：
推理填空题。
分析：
根据实数的大小比较法那么〔负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小〕，比较即可
解答：
解：∵﹣1＜0＜1＜，
∴最小的数是﹣1，
应选A．
点评：
此题考查了对实数的大小比较的应用，主要考查了学生的判断能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
2．〔4分〕〔2022•莆田〕以下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
中心对称图形；轴对称图形。710466
分析：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：
解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误．
应选B．
点评：
此题考查了轴对称图形与中心对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．〔4分〕〔2022•莆田〕以下运算正确的选项是〔　　〕

A．
3a﹣a=3
B．
a3÷a3=a
C．
a2•a3=a5
D．
〔a+b〕2=a2+b2
考点：
完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法。710466
专题：
计算题。
分析：
根据合并同类项法那么，求出3a﹣a=2a，即可判断A；根据同底数幂的除法求出结果即可判断B；根据同底数幂的乘法求出结果即可判断C；根据完全平方公式展开后求出结果，即可判断D．
解答：
解：A、3a﹣a=2a，故本选项错误；
B、a3÷a3=1，故本选项错误；
C、a2•a3=a5，故本选项正确；
D、〔a+b〕2=a2+b2+2ab，故本选项错误．
应选C．
点评：
此题考查了学生运用合并同类项法那么，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，完全平方公式进行计算和化简的能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
4．〔4分〕〔2022•莆田〕在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙、丙、丁四队女演员的人数相同，身高的平均数均为166cm，且方差分别为=1.5，=2.5，=2.9，=3.3，那么这四队女演员的身高最整齐的是〔　　〕

A．
甲队
B．
乙队
C．
丙队
D．
丁队
考点：
方差。710466
分析：
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，说明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
解答：
解：∵＜＜＜，
∴这四队女演员的身高最整齐的是甲队，
应选：A．
点评：
此题考查方差的意义，关键是掌握方差所表示的意义．
5．〔4分〕〔2022•莆田〕方程〔x﹣1〕〔x+2〕=0的两根分别为〔　　〕

A．
x1=﹣1，x2=2
B．
x1=1，x2=2
C．
x1=﹣1，x2=﹣2
D．
x1=1，x2=﹣2
考点：
解一元二次方程-因式分解法。710466
专题：
计算题。
分析：
由两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0，将原方程转化为两个一元一次方程，分别求出一次方程的解即可得到原方程的解．
解答：
解：〔x﹣1〕〔x+2〕=0，
可化为：x﹣1=0或x+2=0，
解得：x1=1，x2=﹣2．
应选D
点评：
此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，方程左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式至少有一个为0转化为一元一次方程来求解．
6．〔4分〕〔2022•莆田〕某几何组合体的主视图和左视图为同一个视图，如下列图，那么该几何组合体的俯视图不可能是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
简单组合体的三视图。710466
分析：
根据俯视图的定义得出，从物体的上面观察得出的图形，进而分析得出答案．
解答：
解：∵某几何组合体的主视图和左视图为同一个视图，可以得出此图形是一个球体与立方体组合图形，球在上面，
∴俯视图中一定有圆，
只有C中没有圆，故C错误，
应选：C．
点评：
此题考查了由三视图判断几何体和简单组合体的三视图，关键是掌握几何体的三视图及空间想象能力．
7．〔4分〕〔2022•莆田〕甲、乙两班学生参加植树造林．甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．假设设甲班每天植树x棵，那么根据题意列出方程正确的选项是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
由实际问题抽象出分式方程。710466
分析：
此题需重点理解：甲班植60棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，等量关系为：甲班植60棵树所用的天数=乙班植70棵树所用的天数，根据等量关系列式．
解答：
解：设甲班每天植树x棵，那么甲班植60棵树所用的天数为，乙班植70棵树所用的天数为，
所以可列方程：=．
应选：A．
点评：
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，熟练地运用数量之间的各种关系找出等量关系，然后再利用等量关系列出方程是解题关键．
8．〔4分〕〔2022•莆田〕如图，在平面直角坐标系中，A〔1，1〕，B〔﹣1，1〕，C〔﹣1，﹣2〕，D〔1，﹣2〕．把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线〔线的粗细忽略不计〕的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，那么细线另一端所在位置的点的坐标是〔　　〕

A．
〔1，﹣1〕
B．
〔﹣1，1〕
C．
〔﹣1，﹣2〕
D．
〔1，﹣2〕
考点：
点的坐标。710466
专题：
规律型。
分析：
根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
解答：
解：∵A〔1，1〕，B〔﹣1，1〕，C〔﹣1，﹣2〕，D〔1，﹣2〕，
∴AB=1﹣〔﹣1〕=2，BC=1﹣〔﹣2〕=3，CD=1﹣〔﹣1〕=2，DA=1﹣〔﹣2〕=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
2022÷10=201…2，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置，
即点B的位置，点的坐标为〔﹣1，1〕．
应选B．
点评：
此题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2022个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
二、填空题〔共8小题，每题4分，总分值32分〕
9．〔4分〕〔2022•莆田〕如图，△A′B′C′是由△ABC沿射线AC方向平移2cm得到，假设AC=3cm，那么A′C=1　cm．
考点：
平移的性质。710466
分析：
先根据平移的性质得出AA′=2cm，再利用AC=3cm，即可求出A′C的长．
解答：
解：∵将△ABC沿射线AC方向平移2cm得到△A′B′C′，
∴AA′=2cm，
又∵AC=3cm，
∴A′C=AC﹣AA′=1cm．
故答案为：1．
点评：
此题主要考查对平移的性质的理解和掌握，能熟练地运用平移的性质进行推理是解此题的关键．
10．〔4分〕〔2022•莆田〕2012年6月15日，中国“蛟龙号〞载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟区域进行下潜试验中，成功突破6500米深度，创中国载人深潜新纪录．将6500用科学记数法表示为　6.5×103．
考点：
科学记数法—表示较大的数。710466
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于6500有4位，所以可以确定n=4﹣1=3．
解答：
解：6500=6.5×103．
故答案为：6.5×103．
点评：
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．
11．〔4分〕〔2022•莆田〕将一副三角尺按如下列图放置，那么∠1=　105　度．
考点：
三角形的外角性质。710466
专题：
探究型。
分析：
先根据直角三角板的性质得出∠BAE与∠DAB的度数，进而得出∠EAD的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
解答：
解：∵这是一副三角尺，
∴∠BAE=30°，∠DAB=45°，
∴∠EAD=∠DAB﹣∠BAE=45°﹣30°=15°，
∵∠1是△ADE的外角，
∴∠1=∠D+∠EAD=90°+15°=105°．
故答案为：105．

点评：
此题考查的是三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
12．〔4分〕〔2022•莆田〕如果单项式xa+1y3与2x3yb是同类项，那么ab=　8　．
考点：
同类项。710466
专题：
计算题。
分析：
根据同类项的定义可知，相同字母的次数相同，据此列出方程即可求出a、b的值．
解答：
解：∵单项式xa+1y3与2x3yb是同类项，
∴，
解得，
那么ab=23=8．
故答案为：8．
点评：
此题考查了同类项的定义，要注意定义中的两个“相同〞：
〔1〕所含字母相同；
〔2〕相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．解题时注意运用二元一次方程组求字母的值．
13．〔4分〕〔2022•莆田〕某学校为了做好道路交通平安教育工作，随机抽取本校100名学生就上学的交通方式进行调查，根据调查结果绘制扇形图如下列图．假设该校共有1000名学生，请你估计全校步行上学的学生人数约有　400　人．
考点：
扇形统计图。710466
分析：
用学生总数乘以步行学生所占的百分比即可估计全校步行上学的学生人数．
解答：
解：∵步行上学在扇形图中所占比例为40%，
∴全校步行上学的学生人数为：1000×40%=400〔人〕，
故答案为：400．
点评：
此题考查了扇形统计图及用样本估计总数的知识，解题的关键是从统计图中得出步行上学学生所占的百分比．
14．〔4分〕〔2022•莆田〕假设扇形的圆心角为60°，弧长为2π，那么扇形的半径为　6　．
考点：
弧长的计算。710466
专题：
计算题。
分析：
利用扇形的弧长公式表示出扇形的弧长，将的圆心角及弧长代入，即可求出扇形的半径．
解答：
解：∵扇形的圆心角为60°，弧长为2π，
∴l=，即2π=，
那么扇形的半径R=6．
故答案为：6
点评：
此题考查了弧长的计算公式，扇形的弧长公式为l=〔n为扇形的圆心角度数，R为扇形的半径〕，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．
15．〔4分〕〔2022•莆田〕当时，代数式的值为　1　．
考点：
分式的化简求值。710466
专题：
计算题。
分析：
将所求式子第一项分子提取2，并利用平方差公式分解因式，约分后去括号，合并后得到最简结果，然后将a的值代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值．
解答：
解：﹣2
=﹣2
=2〔a+1〕﹣2
=2a，
当a=时，原式=2×=1．
故答案为：1．
点评：
此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．
16．〔4分〕〔2022•莆田〕点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如下列图．假设P是x轴上使得|PA﹣PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，那么OP•OQ=　5　．
考点：
轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质。710466
专题：
探究型。
分析：
连接AB并延长交x轴于点P，作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，求出点Q与y轴的交点坐标即可得出结论．
解答：
解：连接AB并延长交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA﹣PB|的值最大的点，
∵点B是正方形的中点，
∴点P即为AB延长线上的点，此时P〔3，0〕即OP=3；
作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，那么A′B即为QA+QB的最小值，
∵A′〔﹣1，2〕，B〔2，1〕，
设过A′B的直线为：y=kx+b，那么，
解得，
∴Q〔0，〕，即OQ=，
∴OP•OQ=3×=5．
故答案为：5．

点评：
此题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意得出P、Q两点的坐标是解答此题的关键．
三、解答题〔共9小题，总分值86分〕
17．〔8分〕〔2022•莆田〕计算：．
考点：
实数的运算。710466
专题：
计算题。
分析：
此题涉及绝对值、乘方、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法那么求得计算结果．
解答：
解：原式=2+2﹣1
=3．
点评：
此题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值、乘方、二次根式化简等考点的运算．
18．〔8分〕〔2022•莆田〕三个一元一次不等式：2x＞6，2x≥x+1，x﹣4＜0，请从中选择你喜欢的两个不等式，组成一个不等式组，求出这个不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来．
考点：
解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集。710466
专题：
开放型。
分析：
任意选取两个不等式组成不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来．
解答：
解：由题意可得不等式组：，由①得，x＞3；由②得，x＜4，
故此不等式组的解集为：3＜x＜4，
在数轴上表示为：

点评：
此题考查的是解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，每个不等式的解集在数轴上表示出来〔＞，≥向右画；＜，≤向左画〕，数轴上的点把数轴分成假设干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥〞，“≤〞要用实心圆点表示；“＜〞，“＞〞要用空心圆点表示．
19．〔8分〕〔2022•莆田〕如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC．
〔1〕请根据以下语句画图，并标上相应的字母〔用黑色字迹的钢笔或签字笔画〕．
①过点A画AE⊥BC于点E；
②过点C画CF∥AE，交AD于点F；
〔2〕在完成〔1〕后的图形中〔不再添加其它线段和字母〕，请你找出一对全等三角形，并予以证明．
考点：
作图—复杂作图；全等三角形的判定；平行四边形的性质。710466
专题：
开放型。
分析：
〔1〕根据语句要求画图即可；
〔2〕首先根据平行四边形的性质可得∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，再加上条件AE∥CF，可证出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形对角相等可得∠AEC=∠CFA，再根据等角的补角相等可得∠AEB=∠CFD，即可利用AAS证明△ABE≌△CDF．
解答：
解：〔1〕如下列图：

〔2〕△ABE≌△CDF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴∠AEC=∠CFA，
∴∠AEB=∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF〔AAS〕．

点评：
此题主要考查了画图，平行四边形的性质与判定，以及全等三角形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定方法：SSS、AAS、SAS、ASA．
20．〔8分〕〔2022•莆田〕甲、乙两个班级各有50名学生．为了了解甲、乙两个班级学生解答选择题的能力状况，黄老师对某次考试中8道选择题的答题情况进行统计分析，得到统计表如下：

0
1
2
3
4
5
6
7
8
甲班
0
1
1
3
4
11
16
12
2
乙班
0
1
0
2
5
12
15
13
2
〔1〕甲班学生答对的题数的众数是　6　；
〔2〕假设答对的题数大于或等于7道的为优秀，那么乙班该次考试中选择题答题的优秀率=　30%　〔优秀率=×100%〕．
〔3〕从甲、乙两班答题全对的学生中，随机抽取2人作选择题解题方法交流，那么抽到的2人在同一个班级的概率等于．
考点：
众数；统计表；列表法与树状图法。710466
专题：
图表型。
分析：
〔1〕根据众数的定义，结合表格信息即可得出答案；
〔2〕先求出大于或等于7道的人数，继而根据优秀率=优秀人数÷总数即可得出答案；
〔3〕列出这两个人所在的班级情况，从而计算即可．
解答：
解：〔1〕由表格可得，甲班答对6道题的人数最多，即甲班学生答对的题数的众数是6；
〔2〕乙班答对的题数大于或等于7道的人数有：13+2=15，
故优秀率为：=30%；
〔3〕
故可得抽到的2人在同一个班级的概率==．
故答案为：6，30%，．
点评：
此题考查了众数、统计表及树状图求概率的知识，解答此题的关键是能准确读图，从表格中得到解题需要的信息，难度一般．
21．〔8分〕〔2022•莆田〕如图，某种新型导弹从地面发射点L处发射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上升的高度y〔km〕与飞行时间x〔s〕之间的关系式为 〔0≤x≤10〕．发射3s后，导弹到达A点，此时位于与L同一水平面的R处雷达站测得AR的距离是2km，再过3s后，导弹到达B点．
〔1〕求发射点L与雷达站R之间的距离；
〔2〕当导弹到达B点时，求雷达站测得的仰角〔即∠BRL〕的正切值．
考点：
二次函数的应用；解直角三角形的应用-仰角俯角问题。710466
分析：
〔1〕在解析式中，把x=3代入函数解析式，即可求得AL的长，在直角△ALR中，利用勾股定理即可求得LR的长；
〔2〕在解析式中，把x=6代入函数解析式，即可求得AL的长，在直角△BLR中，根据正切函数的定义即可求解．
解答：
解：〔1〕当x=3时，y=×9+×3=1〔km〕，
在直角△ALR中，LR===〔km〕．

〔2〕当x=3+3=6时，BL=×36+×6=3，
在直角△BLR中，tan∠BRL===．
点评：
此题是二次函数与三角函数的综合应用，正确求得函数值，理解三角函数的定义是关键．
22．〔10分〕〔2022•莆田〕如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CD=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，点G为DF的中点，连接CG、OF、FB．
〔1〕求证：CG是⊙O的切线；
〔2〕假设△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，求证：OF∥BC．
考点：
切线的判定；圆周角定理。710466
专题：
几何综合题。
分析：
〔1〕连接OC．欲证CG是⊙O的切线，只需证明∠CGO=90°，即CG⊥OC；
〔2〕根据直角三角形ABC、直角三角形DCF的面积公式，以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得AC=2AF；然后根据三角形中位线的判定与定理证得该结论．
解答：
证明：〔1〕在△ABC中，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°〔直径所对的圆周角是直角〕；
又∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO〔等边对等角〕；
在Rt△DCF中，∵点G为DF的中点，∴CG=GF〔直角三角形斜边上的中线是斜边的一半〕，
∴∠GCF=∠CFG〔等边对等角〕；
∵DE⊥AB〔〕，∠CFG=∠AFE〔对顶角相等〕；
∴在Rt△AEF中，∠A+∠AEF=90°；
∴∠ACO+∠GCF=90°，即∠CGO=90°，
∴CG⊥OC，
∴CG是⊙O的切线；

〔2〕∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°〔直径所对的圆周角是直角〕，即AC⊥BD；
又∵CD=BC，点G为DF的中点，
∴S△AFB=S△ABC﹣S△BCF=〔AC•BC﹣CF•BC〕，S△DCG=S△FCD=×DC•CF=BC•CF；
∵△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，
∴〔AC•BC﹣CF•BC〕=2×BC•CF，
∴AC=2CF，即点F是AC的中点；
∵O点是AB的中点，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF∥BC．

点评：
此题考查了切线的判定、圆周角定理．要证某线是圆的切线，此线过圆上某点，连接圆心与这点〔即为半径〕，再证垂直即可．
23．〔10分〕〔2022•莆田〕如图，一次函数y=k1x+b的图象过点A〔0，3〕，且与反比例函数〔x＞O〕的图象相交于B、C两点．
〔1〕假设B〔1，2〕，求k1•k2的值；
〔2〕假设AB=BC，那么k1•k2的值是否为定值假设是，请求出该定值；假设不是，请说明理由．
考点：
反比例函数综合题。710466
专题：
综合题。
分析：
〔1〕分别利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式与反比例函数解析式，然后代入k1•k2进行计算即可得解；
〔2〕设出两函数解析式，联立方程组并整理成关于x的一元二次方程，根据AB=BC可知点C的横坐标是点B的纵坐标的2倍，再利用根与系数的关系整理得到关于k1、k2的关系式，整理即可得解．
解答：
解：〔1〕∵A〔0，3〕，B〔1，2〕在一次函数y=k1x+b的图象图象上，
∴，
解得；
∵B〔1，2〕在反比例函数图象上，
∴=2，
解得k2=2，
所以，k1•k2=〔﹣1〕×2=﹣2；

〔2〕k1•k2=﹣2，是定值．
理由如下：
∵一次函数的图象过点A〔0，3〕，
∴设一次函数解析式为y=k1x+3，反比例函数解析式为y=，
∴k1x+3=，
整理得k1x2+3x﹣k2=0，
∴x1+x2=﹣，x1•x2=﹣
∵AB=BC，
∴点C的横坐标是点B的纵坐标的2倍，不防设x2=2x1，
∴x1+x2=3x1=﹣，x1•x2=2x12=﹣，
∴﹣=〔﹣〕2，
整理得，k1•k2=﹣2，是定值．
点评：
此题是对反比例函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，根与系数的关系，〔2〕中根据AB=BC，得到点B、C的坐标的关系从而转化为一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
24．〔12分〕〔2022•莆田〕〔1〕如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2=AD•AC；
〔2〕如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．，求的值；
〔3〕在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点〔点D不与B、C重合〕，直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．假设，请探究并直接写出的所有可能的值〔用含n的式子表示〕，不必证明．
考点：
相似形综合题。710466
分析：
〔1〕本问是射影定理的证明．首先证明一对相似三角形△ADB∽△ABC，然后利用相似三角形比例线段的关系得到AB2=AD•AC；
〔2〕构造平行线，得到线段之间的比例关系，并充分利用〔1〕中的结论；
〔3〕本问是将〔2〕中的结论推广到一般情形，解题方法与〔2〕相同．注意有三种情形，如图④、⑤、⑥所示，不要遗漏．
解答：
〔1〕证明：如图①，∵BD⊥AC，∠ABC=90°，
∴∠ADB=∠ABC，
又∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∴，
∴AB2=AD•AC．

〔2〕解：方法一：
如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点C，
∵BE⊥AD，
∴∠CGD=∠BDE=90°，CG∥BF．
∵，
∴AB=BC=2BD=2DC，BD=DC，
又∵∠BDE=∠CDG，
∴△BDE≌△CDG，
∴ED=GD=EG．
由〔1〕可得：AB2=AE•AD，BD2=DE•AD，
∴=4，
∴AE=4DE，
∴=2．
∵CG∥BF，
∴=2．
方法二：
如图③，过点D作DG∥BF，交AC于点G，
∵，
∴BD=DC=BC，AB=BC．
∵DG∥BF，
∴=2，FC=2FG．
由〔1〕可得：AB2=AE•AD，BD2=DE•AD，
∴=4，
∵DG∥BF，
∴=4，
∴=2．

〔3〕解：点D为直线BC上的动点〔点D不与B、C重合〕，有三种情况：
〔I〕当点D在线段BC上时，如图④所示：
过点D作DG∥BF，交AC边于点G．
∵，
∴BD=nDC，BC=〔n+1〕DC，AB=n〔n+1〕DC．
∵DG∥BF，
∴=n，
∴FG=nGC，FG=FC．
由〔1〕可得：AB2=AE•AD，BD2=DE•AD，
∴=〔n+1〕2；
∵DG∥BF，
∴=〔n+1〕2，
即=〔n+1〕2，化简得：=n2+n；
〔II〕当点D在线段BC的延长线上时，如图⑤所示：
过点D作DG∥BE，交AC边的延长线于点G．
同理可求得：=n2﹣n；
〔III〕当点D在线段CB的延长线上时，如图⑥所示：
过点D作DG∥BF，交CA边的延长线于点G．
同理可求得：=n2﹣n．

点评：
此题考查了射影定理的证明及应用．第〔2〕问中，利用了第〔1〕问中所证明的射影定理；在第〔3〕问中，将第〔2〕问的结论推广到一般情形，表达了从特殊到一般的数学思想．题中涉及线段较多，比例关系比较复杂，注意认真计算不要出错．第〔2〕问中提供了两种解题方法，可以开拓思路；第〔3〕问中采用了第〔2〕问中的解法二，有兴趣的同学可以探究应用方法一解决．
25．〔14分〕〔2022•莆田〕如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O〔0，0〕，A〔0，3〕，B〔6，3〕，C〔6，0〕，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕过点A．
〔1〕求c的值；
〔2〕假设a=﹣1，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，求△ADE的面积S的最大值；
〔3〕假设抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N，线段MN的垂直平分线l过点0，交线段BC于点F．当BF=1时，求抛物线的解析式．
考点：
二次函数综合题。710466
分析：
〔1〕把〔0，3〕代入函数解析式y=ax2+bx+c中，易求c；
〔2〕当a=﹣1时，函数解析式是y=﹣x2+bx+3，设D点坐标是〔e，3〕，E点坐标是〔6，f〕，分别把D、E的坐标代入y=﹣x2+bx+3中，易求e=b以及f=﹣33+6b，结合三角形面积公式，易得S=﹣3b2+18b，求关于b的二次函数的最大值即可；
〔3〕设M的坐标是〔g，3〕，N的坐标是〔6，h〕，根据图乙知直线OF与BC的交点坐标〔6，2〕，进而求直线OF的解析式是y=x，而OF又是MN的中垂线，那么MN的中点就在直线OF上，于是可得g=3h+3①，g2+9=36+h2②，解关于g、h的二元二次方程组，易求g、h〔负数舍去〕，进而可得M、N的坐标，再把M、N的坐标代入y=ax2+bx+3中，得到关于a、b的二元一次方程组，解可求a、b，进而可得二次函数解析式．
解答：
解：〔1〕把〔0，3〕代入函数解析式y=ax2+bx+c中，得
c=3；

〔2〕如右图，
当a=﹣1时，函数解析式是y=﹣x2+bx+3，
设D点坐标是〔e，3〕，E点坐标是〔6，f〕，
把〔e，3〕代入y=﹣x2+bx+3中，得
﹣e2+be+3=3，
解得e=b或e=0〔不合题意，舍去〕，
即e=b，
把〔6，f〕代入y=﹣x2+bx+3中