2022年四川省广元市中考数学试卷.docx

2022年四川省广元市中考数学试卷
一、选择题〔每题3分，共30分〕每题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的。
1．〔3分〕﹣的相反数是〔　　〕
A．﹣5B．5C．﹣D．
2．〔3分〕根据央视报道，去年我国汽车尾气排放总量大约为47 000 000吨．将47 000 000用科学记数法表示为〔　　〕
A．0.47×108B．4.7×107C．47×107D．4.7×106
3．〔3分〕以下运算正确的选项是〔　　〕
A．a2•a3=a6B．2a2+a2=3a4C．a6÷a3=a2D．〔ab2〕3=a3b6
4．〔3分〕数据21、12、18、16、20、21的众数和中位数分别是〔　　〕
A．21和19B．21和17C．20和19D．20和18
5．〔3分〕把一块直尺与一块三角板如图放置，假设∠1=45°，那么∠2的度数为〔　　〕

6．〔3分〕将五个相同的小正方体堆成如下列图的物体，它的俯视图是〔　　〕
A．B．C．D．
7．〔3分〕方程2x2﹣5x+3=0的根的情况是〔　　〕
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．两根异号
8．〔3分〕一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的选项是〔　　〕
A．B．C．D．
9．〔3分〕为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市出台了新的居民用电收费标准：〔1〕假设每户居民每月用电量不超过100度，那么按0.60元/度计算；〔2〕假设每户居民每月用电量超过100度，那么超过局部按0.8元/度计算〔未超过局部仍按每度电0.60元/度计算〕，现假设某户居民某月用电量是x〔单位：度〕，电费为y〔单位：元〕，那么y与x的函数关系用图象表示正确的选项是〔　　〕
A．B．C．D．
10．〔3分〕如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，以下四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD=；③DF=DC；④CF=2AF，正确的选项是〔　　〕
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
二、填空题〔每题3分，共15分〕把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上方。
11．〔3分〕因式分解2x2﹣4x+2=．
12．〔3分〕在平面直角坐标系中，将P〔﹣3，2〕向右平移2个单位，再向下平移2个单位得点P′，那么P′的坐标为．
13．〔3分〕在函数y=中，自变量x的取值范围是．
14．〔3分〕⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，那么AB和CD的距离为．
15．〔3分〕二次函数y=ax2+bx+c的图象如下列图，有以下结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m〔am+b〕〔其中m≠1〕，其中正确的结论有．
三、解答题〔共75分〕要求写出必要的解答步骤或证明过程。
16．〔6分〕计算|﹣2|﹣〔〕﹣1+〔2022﹣π〕0﹣•tan45°．
17．〔7分〕先化简，再求值：÷〔﹣a+1〕，其中，a=﹣1．
18．〔7分〕如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE的延长线与CB的延长线交于点F．
求证：BC=BF．
19．〔8分〕为了解某校落实新课改精神的情况，现以该校九年级二班的同学参加课外活动的情况为样本，对其参加“球类〞、“绘画类〞、“舞蹈类〞、“音乐类〞、“棋类〞活动的情况进行调查统计，并绘制了如下列图的统计图．
〔1〕参加音乐类活动的学生人数为人，参加球类活动的人数的百分比为；
〔2〕请把图2〔条形统计图〕补充完整；
〔3〕该校学生共600人，那么参加棋类活动的人数约为；
〔4〕该班参加舞蹈类活动的4位同学中，有1位男生〔用E表示〕和3位女生〔分别用F，G，H表示〕，先准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．
20．〔8分〕如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度〔结果保存根号〕．
21．〔8分〕某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫〞，为某镇建中、小型两种图书室共30个．方案养殖类图书不超过2000本，种植类图书不超过1600本．组建一个中型图书室需养殖类图书80本，种植类图书50本；组建一个小型图书室需养殖类图书30本，种植类图书60本．
〔1〕符合题意的组建方案有几种请写出具体的组建方案；
〔2〕假设组建一个中型图书室的费用是2000元，组建一个小型图书室的费用是1500元，哪种方案费用最低，最低费用是多少元
22．〔9分〕如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，且tan∠ABO=，OB=4，OE=2．
〔1〕求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；
〔2〕求△OCD的面积；
〔3〕根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围．
23．〔10分〕如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D的直线于F，∠1=∠2，连结BD与CG交于点N．
〔1〕求证：DF是⊙O的切线；
〔2〕假设点M是OD的中点，⊙O的半径为3，tan∠BOD=2，求BN的长．
24．〔12分〕如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A〔﹣3，0〕，B〔﹣2，3〕，C〔0，3〕，其顶点为D．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕设点M〔1，m〕，当MB+MD的值最小时，求m的值；
〔3〕假设P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；
〔4〕假设抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形假设能，求点E的坐标；假设不能，请说明理由．
2022年四川省广元市中考数学试卷
一、选择题〔每题3分，共30分〕每题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的。
1．〔3分〕﹣的相反数是〔　　〕
A．﹣5B．5C．﹣D．
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：﹣的相反数是．
应选：D．
【点评】此题主要考查的是相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．〔3分〕根据央视报道，去年我国汽车尾气排放总量大约为47 000 000吨．将47 000 000用科学记数法表示为〔　　〕
A．0.47×108B．4.7×107C．47×107D．4.7×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：47 000 000用科学记数法表示为4.7×107，
应选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．〔3分〕以下运算正确的选项是〔　　〕
A．a2•a3=a6B．2a2+a2=3a4C．a6÷a3=a2D．〔ab2〕3=a3b6
【分析】根据同底数幂的乘除法法那么、合并同类项以及积的乘方法那么计算，判断即可．
【解答】解：a2•a3=a5，A错误；
2a2+a2=3a2，B错误；
a6÷a3=a3，C错误；
〔ab2〕3=a3b6，D正确，
应选：D．
【点评】此题考查的是同底数幂的乘除法、合并同类项以及积的乘方，掌握相关的计算法那么是解题的关键．
4．〔3分〕数据21、12、18、16、20、21的众数和中位数分别是〔　　〕
A．21和19B．21和17C．20和19D．20和18
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：在这一组数据中21是出现次数最多的，故众数是21；
数据按从小到大排列：12、16、18、20、21、21，中位数是〔18+20〕÷2=19，故中位数为19．
应选A．
【点评】此题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，那么正中间的数字即为所求；如果是偶数个，那么找中间两个数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
5．〔3分〕把一块直尺与一块三角板如图放置，假设∠1=45°，那么∠2的度数为〔　　〕

【分析】由三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角定义，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A=90°，
∵∠1=45°〔〕，
∴∠3=90°﹣∠1=45°〔三角形的内角和定理〕，

∵EF∥MN〔〕，

应选D．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．
6．〔3分〕将五个相同的小正方体堆成如下列图的物体，它的俯视图是〔　　〕
A．B．C．D．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定那么可．
【解答】解：从上面可看到第一横行右下角有一个正方形，
第二横行有3个正方形．
应选B．
【点评】此题主要考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
7．〔3分〕方程2x2﹣5x+3=0的根的情况是〔　　〕
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．两根异号
【分析】由方程的系数结合根的判别式可得出△=1＞0，由此即可得出原方程有两个不相等的实数根，此题得解．
【解答】解：∵△=〔﹣5〕2﹣4×2×3=1＞0，
∴方程2x2﹣5x+3=0有两个不相等的实数根．
应选B．
【点评】此题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根〞是解题的关键．
8．〔3分〕一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的选项是〔　　〕
A．B．C．D．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共局部确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：，
由①得：x≤2；
由②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
表示在数轴上，如下列图：
，
应选B．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来〔＞，≥向右画；＜，≤向左画〕，数轴上的点把数轴分成假设干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥〞，“≤〞要用实心圆点表示；“＜〞，“＞〞要用空心圆点表示．
9．〔3分〕为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市出台了新的居民用电收费标准：〔1〕假设每户居民每月用电量不超过100度，那么按0.60元/度计算；〔2〕假设每户居民每月用电量超过100度，那么超过局部按0.8元/度计算〔未超过局部仍按每度电0.60元/度计算〕，现假设某户居民某月用电量是x〔单位：度〕，电费为y〔单位：元〕，那么y与x的函数关系用图象表示正确的选项是〔　　〕
A．B．C．D．
【分析】根据题意求出电费与用电量的分段函数，然后根据各分段内的函数图象即可得解．
【解答】解：根据题意，当0≤x≤100时，y=0.6x，
当x＞100时，y=100×0.6+0.8〔x﹣100〕，
=60+0.8x﹣80，
=0.8x﹣20，
所以，y与x的函数关系为y=，
纵观各选项，只有C选项图形符合．
应选C．
【点评】此题考查了分段函数以及函数图象，根据题意求出各用电量段内的函数解析式是解题的关键．
10．〔3分〕如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，以下四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD=；③DF=DC；④CF=2AF，正确的选项是〔　　〕
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【分析】只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可判断①正误；由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出AE和CF的关系即可判断④正误；只要证明DM垂直平分CF，即可证明③；设AE=a，AB=b，那么AD=2a，由△BAE∽△ADC，求出a和b的关系，可得tan∠CAD的值即可判断④的正误，于是得到四个结论中正确结论．
【解答】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴=，
∵AE=AD=BC，
∴=，
∴CF=2AF，故④正确；
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；
设AE=a，AB=b，那么AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有 =，即b=a，
∴tan∠CAD===．故②不正确；
正确的有①③④，
应选C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
二、填空题〔每题3分，共15分〕把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上方。
11．〔3分〕因式分解2x2﹣4x+2=　2〔x﹣1〕2．
【分析】先提取2，然后用完全平方公式分解即可．
【解答】解：2x2﹣4x+2=2〔x2﹣2x+1〕=2〔x﹣1〕2
故答案为2〔x﹣1〕2．
【点评】此题主要考查了提取公因式和公式法分解因式，解此题的关键是提取公因式2．
12．〔3分〕在平面直角坐标系中，将P〔﹣3，2〕向右平移2个单位，再向下平移2个单位得点P′，那么P′的坐标为　〔﹣1，0〕　．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：平面直角坐标系中点P〔﹣3，2〕，假设将点P先向右平移2个单位，再将它向下平移2个单位，得到的坐标为〔﹣3+2，2﹣2〕；即P′〔﹣1，0〕．
故答案是：〔﹣1，0〕．
【点评】此题考查点坐标的平移变换．关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移中，对应点的对应坐标的差相等．
13．〔3分〕在函数y=中，自变量x的取值范围是　x＞1　．
【分析】根据函数关系即可求出x的取值范围．
【解答】解：由题意可知：
解得：x＞1
故答案为：x＞1
【点评】此题考查自变量的取值范围，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，此题属于根底题型．
14．〔3分〕⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，那么AB和CD的距离为　14或2　．
【分析】分两种情况：①当AB、CD在圆心O的两侧时，如图1，作辅助线，构建两个直角三角形，先由垂径定理得出BF和ED的长，再利用勾股定理计算出OE和OF的长，相加即可求出距离EF的长；
②当AB、CD在圆心O的同侧时，如图2，同理求得距离EF的长．
【解答】解：分两种情况：
①当AB、CD在圆心O的两侧时，如图1，
过O作OE⊥CD于E，延长EO将AB于F，连接OD、OB，
∵AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∴ED=CD，BF=AB，
∵AB=12，CD=16，
∴ED=×16=8，BF=×12=6，
由勾股定理得：OE===6，
OF===8，
∴EF=OE+OF=6+8=14；
②当AB、CD在圆心O的同侧时，如图2，
同理得：EF=OF﹣OE=8﹣6=2，
综上所述，AB和CD的距离为14或2．
【点评】此题考查了垂径定理和两平行线的距离，熟练掌握垂径定理，应用了垂直弦的直径平分这条弦，恰当地作辅助线构建半径和弦心距，这是圆中常作的辅助线，要熟练掌握；此题还考查了分类讨论的思想，分别求出弦心距作和与差得出两平行线的距离．
15．〔3分〕二次函数y=ax2+bx+c的图象如下列图，有以下结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m〔am+b〕〔其中m≠1〕，其中正确的结论有①③④．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故此选项正确；
②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，故a+c＞b，错误；
③当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，
即b=﹣2a，代入得9a﹣6a+c＜0，得3a+c＜0，故此选项正确；
④当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m〔am+b〕，故此选项正确．
故①③④正确．
故答案为：①③④．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象为一条抛物线，当a＜0，抛物线的开口向下，当x=﹣时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为〔0，c〕．
三、解答题〔共75分〕要求写出必要的解答步骤或证明过程。
16．〔6分〕计算|﹣2|﹣〔〕﹣1+〔2022﹣π〕0﹣•tan45°．
【分析】首先计算乘方、开方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：|﹣2|﹣〔〕﹣1+〔2022﹣π〕0﹣•tan45°
=2﹣2+1﹣2×
=2﹣1﹣2
=2﹣3
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
17．〔7分〕先化简，再求值：÷〔﹣a+1〕，其中，a=﹣1．
【分析】首先化简÷〔﹣a+1〕，然后把a=﹣1代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：÷〔﹣a+1〕
=÷
=
当a=﹣1时，
原式==
【点评】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
18．〔7分〕如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE的延长线与CB的延长线交于点F．
求证：BC=BF．
【分析】首先由平行四边形的性质可得AD=BC，再由全等三角形的判定定理AAS可证明△ADE≌△BFE由此可得AD=BF，进而可证明BC=BF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵点F在CB的延长线上，
∴AD∥CF，
∴∠1=∠2．
∵点E是AB边的中点，
∴AE=BE．
∵在△ADE与△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE〔AAS〕，
∴AD=BF，
∴BC=BF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、对顶角以及公共角．
19．〔8分〕为了解某校落实新课改精神的情况，现以该校九年级二班的同学参加课外活动的情况为样本，对其参加“球类〞、“绘画类〞、“舞蹈类〞、“音乐类〞、“棋类〞活动的情况进行调查统计，并绘制了如下列图的统计图．
〔1〕参加音乐类活动的学生人数为　7　人，参加球类活动的人数的百分比为　30%　；
〔2〕请把图2〔条形统计图〕补充完整；
〔3〕该校学生共600人，那么参加棋类活动的人数约为　105　；
〔4〕该班参加舞蹈类活动的4位同学中，有1位男生〔用E表示〕和3位女生〔分别用F，G，H表示〕，先准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．
【分析】〔1〕先根据绘画类人数及其百分比求得总人数，继而可得答案；
〔2〕根据〔1〕中所求数据即可补全条形图；
〔3〕总人数乘以棋类活动的百分比可得；
〔4〕利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：〔1〕本次调查的总人数为10÷25%=40〔人〕，
∴参加音乐类活动的学生人数为40×17.5%=7人，参加球类活动的人数的百分比为×100%=30%，
故答案为：7、30%；
〔2〕补全条形图如下：
〔3〕该校学生共600人，那么参加棋类活动的人数约为600×=105，
故答案为：105；
〔4〕画树状图如下：
共有12种情况，选中一男一女的有6种，
那么P〔选中一男一女〕==．
【点评】此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据；扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．
20．〔8分〕如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度〔结果保存根号〕．
【分析】根据题意作出适宜的辅助线，然后根据特殊角的三角函数值，即可求得生命所在点C的深度．
【解答】解：作CD⊥AB交AB的延长线于点D，如右图所示，
由可得，
AB=8米，∠CBD=45°，∠CAD=30°，
∴AD=，BD=，
∴AB=AD﹣AB=，
即8=，
解得，CD=米，
即生命所在点C的深度是米．
【点评】此题考查解直角三角形的应用，解答此题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值解答．
21．〔8分〕某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫〞，为某镇建中、小型两种图书室共30个．方案养殖类图书不超过2000本，种植类图书不超过1600本．组建一个中型图书室需养殖类图书80本，种植类图书50本；组建一个小型图书室需养殖类图书30本，种植类图书60本．
〔1〕符合题意的组建方案有几种请写出具体的组建方案；
〔2〕假设组建一个中型图书室的费用是2000元，组建一个小型图书室的费用是1500元，哪种方案费用最低，最低费用是多少元
【分析】〔1〕设组建中型两类图书室x个、小型两类图书室〔30﹣x〕个，由于组建中、小型两类图书室共30个，组建一个中型图书室需养殖类图书80本，种植类图书50本；组建一个小型图书室需养殖类图书30本，种植类图书60本，因此可以列出不等式组，解不等式组然后去整数即可求解．
〔2〕根据〔1〕求出的数，分别计算出每种方案的费用即可．
【解答】解：〔1〕设组建中型两类图书室x个、小型两类图书室〔30﹣x〕个．
由题意，得，
化简得 ，
解这个不等式组，得20≤x≤22．
由于x只能取整数，∴x的取值是20，21，22．
当x=20时，30﹣x=10；
当x=21时，30﹣x=9；
当x=22时，30﹣x=8．
故有三种组建方案：
方案一，中型图书室20个，小型图书室10个；
方案二，中型图书室21个，小型图书室9个；
方案三，中型图书室22个，小型图书室8个．
〔2〕方案一的费用是：2000×20+1500×10=55000〔元〕；
方案二的费用是：2000×21+1500×9=55500〔元〕；
方案三的费用是：2000×22+1500×8=56000〔元〕；
故方案一费用最低，最低费用是55000元
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组在实际生活中的应用，解题的关键是首先正确理解题意，然后根据题目的数量关系列出不等式组解决问题．
22．〔9分〕如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，且tan∠ABO=，OB=4，OE=2．
〔1〕求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；
〔2〕求△OCD的面积；
〔3〕根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围．
【分析】〔1〕根据条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例函数的解析式；
〔2〕联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解；
〔3〕根据函数的图象和交点坐标即可求解．
【解答】解：〔1〕∵OB=4，OE=2，
∴BE=2+4=6．
∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO===，
∴OA=2，CE=3．
∴点A的坐标为〔0，2〕、点B的坐标为C〔4，0〕、点C的坐标为〔﹣2，3〕．
∵一次函数y=ax+b的图象与x，y轴交于B，A两点，
∴，
解得．
故直线AB的解析式为y=﹣x+2．
∵反比例函数y=的图象过C，
∴3=，
∴k=﹣6．
∴该反比例函数的解析式为y=﹣；
〔2〕联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得，
可得交点D的坐标为〔6，﹣1〕，
那么△BOD的面积=4×1÷2=2，
△BOC的面积=4×3÷2=6，
故△OCD的面积为2+6=8；
〔3〕由图象得，一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围：x＜﹣2或0＜x＜6．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，假设方程组有解那么两者有交点，方程组无解，那么两者无交点．
23．〔10分〕如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D的直线于F，∠1=∠2，连结BD与CG交于点N．
〔1〕求证：DF是⊙O的切线；
〔2〕假设点M是OD的中点，⊙O的半径为3，tan∠BOD=2，求BN的长．
【分析】〔1〕根据切线的判定定理得出∠1+∠BDO=90°，即可得出答案；
〔2〕利用得出∠3=∠2，∠4=∠C，再利用相似三角形的判定方法得出即可；根据得出OE的长，进而利用勾股定理得出ED，AD，BD的长，即可得出CD，利用相似三角形的性质得出NB的长即可．
【解答】〔1〕证明：∵直径AB经过弦CD的中点E，
∴AB⊥CD，=，
∴∠BOD=2∠2．
∵∠1=∠2，∠BOD+∠ODE=90°，
∴∠ODE+∠1+∠2=90°，
∴∠ODF=90°，
∴DF是⊙O的切线；
〔2〕解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=∠FDO=90°，
∴∠ADB﹣∠BDO=∠FDO﹣∠BDO，
即∠3=∠1，
∴∠3=∠2，
∵∠4=∠C，
∴△ADM∽△CDN；
∵⊙O的半径为3，即AO=DO=BO=3，
在Rt△DOE中，tan∠BOD=2，cos∠BOD=，
∴OE=DO•cos∠BOD=3×=1，
由此可得：BE=2，AE=4，由勾股定理可得：
DE==2，
AD==2，
BD==2，
∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，
∴由垂径定理得：CD=2DE=4，
∵△ACM∽△DCN，
∴=，
∵点M是DO的中点，DM=AO=×3=，
∴DN===，
∴BN=BD﹣DN=2﹣=．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和勾股定理的应用等知识，根据得出△ADM∽△CDN是解题关键．
24．〔12分〕如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A〔﹣3，0〕，B〔﹣2，3〕，C〔0，3〕，其顶点为D．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕设点M〔1，m〕，当MB+MD的值最小时，求m的值；
〔3〕假设P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；
〔4〕假设抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形假设能，求点E的坐标；假设不能，请说明理由．
【分析】〔1〕根据待定系数法，可得答案；
〔2〕利用轴对称求最短路径的知识，找到B点关于直线x=1的对称点B′，连接B'D，B'D与直线x=1的交点即是点M的位置，继而求出m的值．
〔3〕根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得PE的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
〔4〕设出点E的，分情况讨论，①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，②当点E在线段AC〔或CA〕延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质，可得关于x的方程，继而求出点E的坐标．
【解答】解：〔1〕将A，B，C点的坐标代入解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3
〔2〕配方，得y=﹣〔x+1〕2+4，顶点D的坐标为〔﹣1，4〕
作B点关于直线x=1的对称点B′，如图1，
那么B′〔4，3〕，由〔1〕得D〔﹣1，4〕，
可求出直线DB′的函数关系式为y=﹣x+，
当M〔1，m〕在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
那么m=﹣×1+=．
〔3〕作PE⊥x轴交AC于E点，如图2，
AC的解析式为y=x+3，设P〔m，﹣m2﹣2m+3〕，E〔m，m+3〕，
PE=﹣m2﹣2m+3﹣〔m+3〕=﹣m2﹣3m
S△APC=PE•|xA|=〔﹣m2﹣3m〕×3=﹣〔m+〕2+，
当m=﹣时，△APC的面积的最大值是；
〔4〕由〔1〕、〔2〕得D〔﹣1，4〕，N〔﹣1，2〕
点E在直线AC上，设E〔x，x+3〕，
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，那么F〔x，﹣x2﹣2x+3〕，
∵EF=DN
∴﹣x2﹣2x+3﹣〔x+3〕=4﹣2=2，
解得，x=﹣2或x=﹣1〔舍去〕，
那么点E的坐标为：〔﹣2，1〕．
②当点E在线段AC〔或CA〕延长线上时，点F在点E下方，那么F〔x，﹣x2﹣2x+3〕，
∵EF=DN，
∴〔x+3〕﹣〔﹣x2﹣2x+3〕=2，
解得x=或x=，
即点E的坐标为：〔，〕或〔，〕
综上可得满足条件的点E为E〔﹣2，1〕或：〔，〕或〔，〕．
【点评】此题考查了二次函数的综合题，解〔1〕的关键是待定系数法，解〔2〕利用轴对称求最短路径；解〔3〕的关键是利用三角形的面积得出二次函数；解〔4〕的关键是平行四边形的性质得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏．