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第十一章 第5讲
[A级 根底达标]
1．一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字，假设连续两次抛掷这个玩具，那么两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
2．(2023年郑州模拟)现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子里不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，那么活动恰好在第4人抽完时结束的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
3．从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，那么这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
4．(2023年兰州期末)某商场对某一商品搞活动，该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天售出的第20个及之后的商品以半价出售．该商场统计了近10天这种商品的销量，如下图，设x(个)为该商品每天的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润．从日利润不少于96元的几天里任选2天，那么选出的这2天日利润都是97元的概率是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
5．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，甲、乙相邻，那么甲、丙相邻的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】五人排队，甲、乙相邻的排法有AA＝48(种)，假设甲、丙相邻，此时甲在乙、丙中间，排法有AA＝12(种)，故甲、丙相邻的概率为＝.
6．假设将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，那么在1,2号盒子中各有一个球的概率是________．
【答案】
【解析】将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限的不同方法有32＝9种；在1,2号盒子中各有一个球的不同方法有A＝2种．所以在1,2号盒子中各有一个球的概率p＝.
7．假设从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，那么所取3个数之和为偶数的概率为________．
【答案】
【解析】依题意，从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，共有C＝10种不同的取法，其中所取3个数之和为偶数的取法共有1＋3＝4种(包含两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数，有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个是奇数，另一个是偶数，有3种取法)，因此所求的概率p＝＝.
8．(2023年江苏)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，那么点数和为5的概率是________．
【答案】
【解析】一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得根本领件的总数为6×6＝36种，而点数和为5的事件为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，那么点数和为5的概率为p＝＝.
9．为了整顿道路交通秩序，某地考虑对行人闯红灯进行处分，为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：
处分金额x/元
0
5
10
15
20
会闯红灯的人数y/人
80
50
40
20
10
(1)假设用表中数据所得频率代替概率，那么处分10元时与处分20元时，求行人会闯红灯的概率的差；
(2)假设从这5种处分金额中随机抽取2种不同的金额进行处分，在两个路口进行试验，求这两种金额之和不低于20元的概率．
解：(1)处分10元会闯红灯的概率与处分20元会闯红灯的概率的差是－＝.
(2)设“两种金额之和不低于20元〞的事件为A，
从5种金额中随机抽取2种，总的抽选方法共有C＝10种，其中满足金额之和不低于20元的有(0,20)，(5,15)，(5,20)，(10,15)，(10,20)，(15,20)，共6种，所以所求概率为P(A)＝＝.
10．(2023年西安模拟)进入11月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟〞统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了局部学生的成绩，得到如下图的成绩频率分布直方图：
(1)估计五校学生综合素质成绩的平均值；
(2)某校决定从本校综合素质成绩排名前6名同学中，推荐3人参加自主招生考试，假设6名同学中有4名理科生、2名文科生，试求这3人中含文科生的概率．
解：(1)依题意可知55×0.12＋65×0.18＋75×0.40＋85×0.22＋95×0.08＝74.6，
故综合素质成绩的平均值为74.6.
(2)6名同学中推荐的3人中含有文科生共有两种情况：2名理科生和1名文科生、1名理科生和2名文科生．
所以所求概率为p＝＝.
[B组 能力提升]
11．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共4种，所以所求概率p＝＝.
12．(多项选择)(2023年烟台期末)甲罐中有四个相同的小球，标号1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,5,6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，那么( )
A．事件A发生的概率为
B．事件A∪B发生的概率为
C．事件A∩B发生的概率为
D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为
【答案】BC
【解析】甲罐中在四个相同的小球，标号1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,5,6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，对于A，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，根本领件总数n＝4×5＝20，事件A包含的根本领件有：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共11个，所以P(A)＝，故A错误；对于B，事件A∪B包含的根本领件有：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共11个，所以P(A∪B)＝，故B正确；对于C，事件A∩B包含的根本领件有(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共8个，所以P(A∩B)＝＝，故C正确；对于D，从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为p＝＝，故D错误．
13．(2023年南京模拟)有三张卡片，分别写有1,2,3这三个数字．现将这三张卡片随机排序组成一个三位数，那么该三位数是偶数的概率是________．
【答案】
【解析】依题意，这三张卡片随机排序包含的所有根本领件的个数为A＝6个，而该三位数是偶数包含A＝2个根本领件，所以该三位数是偶数的概率是p＝＝.
14．(2023年广元模拟)先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6.记骰子的点数分别为x，y，假设向量a＝(x－1,1)，b＝(10－2y,2)，那么两向量平行的概率是________．
【答案】
【解析】先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6，记骰子的点数分别为x，y，向量a＝(x－1,1)，b＝(10－2y,2)，因为满足条件的根本领件总数(x，y)个数为n＝6×6＝36，又a∥b，所以10－2y－2(x－1)＝0，解得x＋y＝6，所以满足两向量平行的根本领件(x，y)有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5个，所以两向量平行的概率是p＝.
15．(一题两空)(2023年西城区校级模拟)把三位学生分配到四间教室，每位学生被分配到每一间教室的可能性相同，那么三位学生都被分配到同一间教室的概率为________；至少有两位学生被分配到同一间教室的概率为________．
【答案】
【解析】把三位学生分配到四间教室，每位学生被分配到每一间教室的可能性相同，根本领件总数n＝43，三位学生都被分配到同一间教室包含的根本领件个数m＝C＝4，那么三位学生都被分配到同一间教室的概率为P1＝＝.三位同学恰好被分到三间教室的概率P2＝＝.所以至少有两位学生被分配到同一间教室的概率为p＝1－P2＝.
16．(2023年海南模拟)甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋．开始时甲每盘棋赢的概率为，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为.假设比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢．
(1)求第四盘棋甲赢的概率；
(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．
解：(1)第四盘棋甲赢分两种情况：
①第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，
那么P1＝×＝；
②第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，
那么P2＝×＝.
设事件A为“第四盘棋甲赢〞，那么第四盘棋甲赢的概率P(A)＝P1＋P2＝＋＝.
(2)假设甲恰好赢三盘棋，那么他在后三盘棋中只赢一盘，分三种情况：
①甲第三盘赢，P3＝××＝；
②甲第四盘赢，P4＝××＝；
③甲第五盘赢，P5＝××＝.
设事件B为“比赛结束时，甲恰好赢三盘棋〞，那么比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为P(B)＝P3＋P4＋P5＝＋＋＝.
[C级 创新突破]
17．(2023年临沂期末)某学校就学生对端午节文化习俗的了解情况，进行了一次20道题的问卷调查，每位同学都是独立答题，在回收的试卷中发现甲同学答对了12个，乙同学答对了16个．假设答对每道题都是等可能的，试求：
(1)任选一道题目，甲、乙都没有答对的概率；
(2)任选一道题目，恰有一人答对的概率．
解：(1)设A＝“任选一道题目，甲答对〞，B＝“任选一道题目，乙答对〞，
根据古典概型概率计算公式，得：
P(A)＝＝，P(B)＝＝，
所以P()＝，P()＝，
所以任选一道题目，甲乙都没有答对的概率为
P()＝P()P()＝×＝.
(2)任选一道题目，恰有一人答对的概率为
P(B∪A)＝P(B)＋P(A )
＝P()P(B)＋P(A)P()
＝×＋×＝.
18．f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)＜f(x)g′(x)，f(x)＝ax·g(x)，＋＝，在有穷数列(n＝1，2，…，10)中，任意取前k项相加，那么前k项和大于的概率是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设h(x)＝，那么h′(x)＝＜0，故h(x)＝ax单调递减，所以0＜a＜1.又＋＝a＋＝，解得a＝，那么数列＝n，其前k项和Sk＝1－k，因为1－k＞，所以k＞6，故p＝＝.
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