高考数学艺体生好题突围系列强化训练07理.doc

高考数学 艺体生精选好题突围系列 强化训练07 理
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，，因此，选D．
2．已知，命题“若，则”的否命题是
A.若
B.若
C.若
D.若
【答案】A
【解析】命题的否命题是既否定条件又否定结论，注意与命题否定的区别，所以答案为A
3．设（是虚数单位），则复数对应的点位于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
【答案】A
【解析】且对应于复平面中的点，位于第一象限
4．设，满足约束条件，则目标函数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出可行域，如图所示，表示可行域内的点与点的连线的斜率. 其中最大值为最小值为即目标函数的取值范围为，故选

5．已知是等比数列，，则公比=（ ）
A、 B、 C、2 D、
【答案】D
【解析】由题意，得，即，解得.
6．在中，内角,,所对应的边分别为,,,若，且，则的值为（ ）
A. B. C.2 D.4
【答案】
7．已知函数（）的一条对称轴是，则函数的最小正周期不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数（）的一条对称轴是，所以，，即，所以，故选D.
8．如图所示，若输入的为，那么输出的结果是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，；当时，；当时，；……；当时，；当时，终止循环，输出，故选
9．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.3
【答案】D.
【解析】设，，,则，解得，，
直线的方程为，令，得，联立方程组，解得，∴，，∴，故选D.
10．已知函数是偶函数，且，则 （ ）．
A．－3 B．－1 C．1 D．2
【答案】A
二、填空题：每题5分，满分10分，将答案填在答题纸上
11．若在不是单调函数，则的范围是 .
【答案】
【解析】，由于函数在不是单调函数，因此
，解得或.
12．已知四棱锥，它的底面是边长为的正方形，其俯视图如图所示，侧视图为直角三角形，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数有 个，该四棱锥的体积为 ．

【答案】，
【解析】
根据题意还原出四棱锥模型，为中点，且面，由俯视图知，显然面，面，所以为直角三角形，又侧视图为直角三角形，故必为直角三角形，所以，所以
三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13．（本题满分14分）在中，分别为的对边,已知．
（I）求；
（II）当，时，求的面积．
【答案】（I）；（II）．
【解析】（I），则；又因为在中，
,；
（II），,，
；根据余弦定理，得，
，则三角形的面积．
14．（本小题满分14分）
如图，四边形是正方形，△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.

（I）求证：；
（II）求二面角的平面角的正弦值.
【答案】（I）证明见解析；（II）.
【解析】（I）证明：∵是的中点，且，
∴ . 1分
∵ △与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ ，.
∵ ，平面，平面，
∴ 平面.
∵ 平面，
∴ . 2分
∵ 四边形是正方形，
∴ . 3分
∵ ，平面，平面，
∴ 平面.
∵ 平面，
∴ . 4分
∵ ，平面，平面，
∴ 平面. 5分
∵ 平面，
∴ . 6分

（II）解法1：作于，连接，
∵ ⊥平面，平面
∴ . 7分
∵ ，平面，平面，
∴ ⊥平面. 8分
∵ 平面，
∴ . 9分
∴∠为二面角的平面角. 10分
设正方形的边长为，则，，
在Rt△中，， 11分
在Rt△中，，， 12分
在Rt△中， . 13分
∴ 二面角的平面角的正弦值为. 14分

解法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴 ，
建立空间直角坐标系，设，
则，，,. 7分
∴，.
设平面的法向量为，
由 得 8分
令 ，得，
∴ 为平面的一个法向量. 9分
∵ 平面，平面，
∴ 平面平面.
连接，则.
∵ 平面平面，平面，
∴ 平面. 10分
∴ 平面的一个法向量为. 11分
设二面角的平面角为，
则. 12分
∴. 13分
∴ 二面角的平面角的正弦值为. 14分
15．（本小题满分12分）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．
（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战．根据活动规定，现记为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求的分布列和均值（数学期望）．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）的分布列为

0
1
2
3
4
5
6

数学期望为3．
【解析】解法一：（Ⅰ）此题可看做古典概率模型，列举法出3个人参与该项活动的可能结果和至少有2个人接受挑战的可能结果，即可求出（Ⅱ）每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为，故的可能取值为1,2,3,4,5，6，求出、
、、、、、、，进而列出分布列，根据可得均值．
解法二：（Ⅰ）排列组合的方法，至少有2个人接受挑战分为两种情况，恰有两人接收挑战和恰有三人接收挑战，因而得到（Ⅱ）由题意分析可知， ，在次独立重复试验中，事件发生次的概率为（=6，=1,2,3,4,5,6）可得、
、、、、、、，进而列出分布列，求均值见解法一．
试题解析：解法一：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为、、，则分别表示这3个人不接受挑战．这3个人参与该项活动的可能结果为：，，，，，，，．共有8种； 2分
其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：，，，，共有4种． 3分
根据古典概型的概率公式，所求的概率为． 4分
（说明：若学生先设“用中的依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成,,，,,,,，不扣分．）
（Ⅱ）因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，
所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为． 5分
所以，，
，，
，，
9分
故的分布列为：

0
1
2
3
4
5
6

所以．
故所求的期望为． 12分
解法二：因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，
所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为． 1分
（Ⅰ）设事件M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，
则． 4分
（Ⅱ）因为为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以． 5分
所以，，
，，
，，
9分
故的分布列为： 10分

0
1
2
3
4
5
6

所以．故所求的期望为． 12分
11