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课时作业14 数列求和习题课
[根底稳固](25分钟，60分)
一、选择题(每题5分，共25分)
1．数列{an}，a1＝2，an＋1－2an＝0，bn＝log2an，那么数列{bn}的前10项和等于( )
A．130 B．120
C．55 D．50
解析：在数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0，即＝2，
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．
所以an＝2×2n－1＝2n.
所以bn＝log22n＝n.
那么数列{bn}的前10项和为1＋2＋…＋10＝55.
答案：C
2．an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，那么S9与S10的值分别是( )
A．1,1 B．－1，－1
C．1,0 D．－1,0
解析：S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，
S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.
答案：D
3．数列{an}的通项公式是an＝，假设前n项和为10，那么项数为( )
A．11 B．99
C．120 D．121
解析：因为an＝＝－，
所以Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(－1)＋(－)＋…＋(－)
＝－1，
令－1＝10，得n＝120.
答案：C
4．在等比数列{an}中，对任意的n∈N*，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，那么a＋a＋…＋a＝( )
A.(4n－1) B.(2n－1)
C．(2n－1)2 D．4n－1
解析：令n＝1，n＝2，得a1＝1， a2＝2，
∴q＝2，∴an＝2n－1.
∴{a}构成首项为1，公比为4的等比数列，∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
答案：A
5．数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，那么|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝( )
A．9 B．15
C．18 D．30
解析：由题意知{an}是以2为公差的等差数列，又a1＝－5，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
答案：C
二、填空题(每题5分，共15分)
6．函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，那么a1＋a2＋a3＋…＋a100等于________．
解析：由题意，a1＋a2＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.
答案：100
7．假设数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝3an＋2(n∈N*)；令bn＝log3(an＋1)，那么b1＋b2＋b3＋…＋b100＝________.
解析：∵an＋1＝3an＋2(n∈N*)，
所以an＋1＋1＝3(an＋1)，a1＋1＝3，
所以{an＋1}是首项为3，公比为3的等比数列，所以an＋1＝3n，
所以bn＝log3(an＋1)＝log33n＝n，
所以b1＋b2＋b3＋…＋b100＝1＋2＋3＋…＋100＝＝5 050.
答案：5 050
8．1＋11＋111＋…＋＝________.
解析：因为＝1＋10＋102＋…＋10n－1＝(10n－1)，
所以Sn＝(101－1＋102－1＋103－1＋…＋10n－1)
＝[(101＋102＋…＋10n)－n]
＝
＝.
答案：
三、解答题(每题10分，共20分)
9．数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝2an＋1(n∈N*)．
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式．
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
解析：(1)证明：因为an＋1＝2an＋1(n∈N*)，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)，
所以数列{an＋1}是等比数列，首项为2，公比为2，
所以an＋1＝2n，解得an＝2n－1.
(2)bn＝＝，
数列{bn}的前n项和Sn＝＋＋＋…＋，
所以Sn＝＋＋…＋＋，
相减可得Sn＝＋＋…＋－
＝－，
可得Sn＝2－.
10．假设{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)均在函数y＝x2－x的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m.
解析：(1)由题意知，Sn＝n2－n，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当n＝1时，a1＝1，适合上式．
所以an＝3n－2.
(2)bn＝＝＝－，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－＝1－.
数列{Tn}在n∈N*上是增函数，所以Tn<1，那么≥1，m≥20，
要使Tn<对所有n∈N*都成立，最小正整数m为20.
[能力提升](20分钟，40分)
11．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos(n＋1)π，记Sn为数列{an}的前n项和，那么S2 017＝( )
A．1 007 B．1 008
C．－1 007 D．－1 008
解析：∵an＋1＋(－1)nan＝cos(n＋1)π＝(－1)n＋1，∴当n＝2k，k∈N*时，a2k＋1＋a2k＝－1，
∴S2 017＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2 016＋a2 017)
＝1＋(－1)×1 008＝－1 007.
答案：C
12．Sn为数列{an}的前n项和，an＝2·3n－1(n∈N*)，假设bn＝，那么b1＋b2＋…＋bn＝________.
解析：因为＝＝3，且a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以Sn＝＝3n－1，
又bn＝＝＝－，那么
b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝－.
答案：－
13．在等比数列{an}中，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1＝a1＝3，b4＝a2，b13＝a3.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前2n项和S2n.
解析：(1)设等差数列{bn}的公差为d.
那么有解得或(舍去)，
所以an＝3n，bn＝2n＋1.
(2)由(1)知cn＝(－1)n(2n＋1)＋3n，
那么S2n＝(3＋32＋33＋…＋32n)＋{(－3)＋5＋(－7)＋9＋…＋[－(4n－1)]＋(4n＋1)}
＝＋[(5－3)＋(9－7)＋…＋(4n＋1－4n＋1)]
＝＋2n.
14．数列{an}满足a1＝3，an＋1－3an＝3n(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝.
(1)证明数列{bn}是等差数列并求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解析：(1)由bn＝，得bn＋1＝，
所以bn＋1－bn＝－＝，
所以数列{bn}是等差数列，首项b1＝1，公差为.
所以bn＝1＋(n－1)＝.
(2)an＝3nbn＝(n＋2)×3n－1，
所以Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝3×1＋4×3＋…＋(n＋2)×3n－1①
所以3Sn＝3×3＋4×32＋…＋(n＋2)×3n②
①－②得
－2Sn＝3×1＋3＋32＋…＋3n－1－(n＋2)×3n
＝2＋1＋3＋32＋…＋3n－1－(n＋2)×3n
＝－(n＋2)×3n
所以Sn＝－＋
＝－.
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