资源描述
9.2 空间图形的根本关系与公理
核心考点·精准研析
考点一 平面的根本性质
1. 以下说法正确的选项是 ( )
A.三点可以确定一个平面
B.一条直线和一个点可以确定一个平面
C.四边形是平面图形
D.两条相交直线可以确定一个平面
2.α,β,γ是平面,a,b,c是直线,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,假设a∩b=P,那么 ( )
A.P∈c B.P∉c
C.c∩a=∅ D.c∩β=∅
3.在三棱锥A-BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF∩HG=P,那么点P ( )
A.一定在直线BD上
B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上
D.不在直线AC上,也不在直线BD上
4.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点共面的图形是 ( )
A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③
【解析】1.选D.A错误,不共线的三点可以确定一个平面.B错误,一条直线和直线外一个点可以确定一个平面.C错误,四边形不一定是平面图形.D正确,两条相交直线可以确定一个平面.
2.选A.如图,因为a∩b=P,所以P∈a,P∈b,
因为α∩β=a,β∩γ=b,所以P∈α,P∈γ,而γ∩α=c,
所以P∈c.
3.选B.如下图,
因为EF 平面ABC,HG 平面ACD,
EF∩HG=P,所以P∈平面ABC,P∈平面ACD.
又因为平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC.
4.选D.在图①中分别连接PS,QR,易证PS∥QR,所以P,Q,R,S四点共面;在图中③分别连接PQ,RS,易证PQ∥RS,所以P,Q,R,S共面.在②图中过点P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;在图④中PS与QR为异面直线,所以四点不共面.
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法:①先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;②证两平面重合.
(2)证明共线的方法:①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.
【秒杀绝招】
排除法解T4,在图④中PS与QR为异面直线,所以四点不共面,可排除A,B,C,直接选D.
考点二 异面直线所成的角
【典例】
1.(2023·全国卷II)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,那么异面直线AE与CD所成角的正切值为 ( )
A. B. C. D.
2.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,那么异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
【解题导思】
序号
联想解题
1
画出图形,由AB∥CD,联想到AE与CD所成角为∠EAB,解直角三角形.
2
画出图形,图中没有与AB1,BC1平行的直线,联想到作辅助线.
【解析】1.选C.因为CD∥AB,所以∠EAB即为异面直线AE与CD所成角,连接BE,在直角三角形ABE中,设AB=a,那么BE=a,所以tan∠EAB==.
2.选C.如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM,
可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角.
由题意可知BC1=,AB1=,
那么MN=AB1=,NP=BC1=.
取BC的中点Q,连接PQ,QM,那么可知△PQM为直角三角形.
在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=4+1-2×2×1×=7,即AC=.
又CC1=1,所以PQ=1,MQ=AC=.
在△MQP中,可知MP==.
在△PMN中,cos∠PNM
==
=-,
又异面直线所成角的范围为,
故所求角的余弦值为.
【一题多解】选C.把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图,
连接C1D,BD,那么AB1与BC1所成的角为∠BC1D(或其补角).
由题意可知BC1=,
BD==,C1D=AB1=.可知B+BD2=C1D2,
所以cos∠BC1D==.
求异面直线所成的角的三个步骤
(1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角.
(2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角.
(3)三求:解三角形,求出所作的角.
1.直三棱柱ABC-A1B1C1中,假设∠BAC=90°,AB=AC=AA1,那么异面直线BA1与AC1所成的角等于 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选C.如图,可补成一个正方体,
所以AC1∥BD1.
所以BA1与AC1所成的角为∠A1BD1.
又易知△A1BD1为正三角形,
所以∠A1BD1=60°.即BA1与AC1成60°的角.
2.如图,圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为 .
【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,
因为C是圆柱下底面弧AB的中点,
所以AD∥BC,所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D垂直于圆柱下底面,所以C1D⊥AD.
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,
所以C1D=AD,
所以直线AC1与AD所成角的正切值为,
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.
答案:
考点三 空间两条直线的位置关系
命
题
精
解
读
1.考什么:(1)考查异面直线的判断,直线平行、垂直的判断等问题.(2)考查直观想象的核心素养.
2.怎么考:以柱、锥、台、球及组合体为载体,考查直线位置关系的判断.
3.新趋势:以异面直线、平行直线为载体考查点的不共面与共面问题.
学
霸
好
方
法
1.直线位置关系的判断方法:
异面直线可采用直接法或反证法;平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理;垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.
2.交汇问题:与线面、面面平行与垂直相结合命题.
两条异面直线的判定
【典例】在图中,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,那么表示直线GH、MN是异面直线的图形有 .(填上所有正确答案的序号)
【解析】图①中,直线GH∥MN;
图②中,G,H,N三点共面,但M∉面GHN,
因此直线GH与MN异面;
图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;
图④中,G,M,N三点共面,但H∉面GMN,
因此GH与MN异面,所以图②④中GH与MN异面.
答案:②④
两直线平行或相交的判定
【典例】空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点.
求证:EG与FH相交.
【证明】如图,连接AC,BD,那么EF∥AC,HG∥AC,
因此EF∥HG;同理EH∥FG,那么EFGH为平行四边形.又EG,FH是▱EFGH的对角线,所以EG与HF相交.
1.假设两条直线是异面直线,那么称为一对异面直线,那么从正方体的12条棱中任取两条,共有 对异面直线 ( )
A.48 B.36 C.24 D.12
【解析】选C.每一条棱所在的直线与其余的棱所在的直线成异面直线的有4对,所以共有4×12=48对,但是这48对中每一种都重复了一对,所以所求的异面直线共有24对.
2.如下图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为 .(注:把你认为正确的结论序号都填上)
【解析】因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故①错;取DD1中点E,连接AE,那么BN∥AE,但AE与AM相交,故②错;因为点B1与BN都在平面BCC1B1内,点M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故③正确;同理④正确,故填③④.
答案:③④
1.假设直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,那么以下说法正确的选项是 ( )
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
【解析】选D.由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.
2.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,那么以下表达正确的选项是 ( )
A.CC1与B1E是异面直线
B.C1C与AE共面
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE与B1C1所成的角为60°
【解析】选C.由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.
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