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一元二次方程的应用
知识网络
重难突破
知识点一 一元二次方程的解题步骤
列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
Ø “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
Ø “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
Ø “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
Ø “解”就是求出说列方程的解；
Ø “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。
知识点二 传播问题
【解题关键】明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数
典例1 一次会议上，每两个参加会议的人互相握了一次手，有人统计一共握了45次手，如果这次会议到会的人数为x人，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x+1）=45 B．x（x-1）=45 C．2x（x+1）=45 D．
【答案】D
【详解】设这次会议到会的人数为x人，则每人将与（x-1）人握手，依题意，得：
x（x-1）=45，
即x（x-1）=45×2．
故选：D．
典例2 在元且庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡90张，则参加活动的有（ ）人．
A．9 B．10 C．12 D．15
【答案】B
【详解】解：设参加此次活动的人数有x人，
由题意得：x（x﹣1）＝90，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
即参加此次活动的人数是10人．
故选：B．
典例3 某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验；若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为( )
A．x+(x+1)x＝36 B．1+x+(1+x)x＝36
C．1+x+x2＝36 D．x+(x+1)2＝36
【答案】B
【详解】设1人每次都能教会x名同学，
根据题意得：1+x+(x+1)x＝36．
故选：B．
知识点三 增长率问题
【解题关键】用含未知数的数据将题干中每年情况的数据表示出来，列出等量关系。
典例1 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同．设二、三月份利润的月增长率x，那么x满足的方程为（ ）
A．10（1+x）2＝42
B．10+10（1+x）2＝42
C．10+10（1+x）+10（1+2x）＝42
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝42
【答案】D
【详解】设二、三月份利润的月增长率x，则二月份获得利润10（1+x）万元，三月份获得利润10（1+x）2万元，
依题意，得：10+10（1+x）+10（1+x）2＝42．
故选D．
典例2 某县从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业。据统计，该县2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元预计2019年“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该县2018年，2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：设该市2018年、2019年旅游收入的年平均增长率为x，
依题意，得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
故选B．
典例3 为防治雾霾，保护环境，某市掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，设这两年的绿地面积的平均增长率是，则列出关于的一元二次方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设绿地面积为a，这两年平均每年绿地面积的增长率是x，根据题意列方程得：
a（1+x）2=（1+21%）a，即（1+x）2=1+21%．
故选D．
知识点四 几何问题
【解题关键】根据已知所学内容，将其用含未知数的形式表现出来。
典例1 （2019·河南初三期中）如图，某小区有一长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为（ ）米．
A．2 B．1 C．8或1 D．8
【答案】B
【详解】解：设人行道的宽度为x米，则两块矩形绿地可合成长为（18-3x）米、宽为（6-2x）米的矩形，
根据题意得：（18-3x）（6-2x）=60，
整理得：x2-9x+8=0，
解得：x1=1，x2=8．
∵8＞6，
∴x2=8舍去．
故选：B．
典例2 在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设金色纸边的宽为，则矩形挂图的长为（80+2x）cm,宽为（50+2x）cm,
依题意得（80+2x）（50+2x）=5400，
化简为
故选C.
典例3 芳芳有一个无盖的收纳箱，该收纳箱展开后的图形（实线部分）如图，将该图形补充四个边长为的小正方形后，得到一个矩形，已知矩形的面积为，根据图中信息，可得的值为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．30
【答案】B
【详解】依题意得到补全后的矩形长为x+30，宽为x+20,
故(x+30)( x+20)=2000,
解得x1=20,x2=-70(舍去)
故选B.
巩固训练
一、单选题（共10小题）
1．（2017春 卫辉市期中）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【答案】B
【解析】试题解析：设这个QQ群共有x人，
依题意有x（x-1）=90，
解得：x=-9（舍去）或x=10，
∴这个QQ群共有10人．
故选B.
2．（2018春 季店乡期末）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【答案】C
【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为：C.
3．（2018春 永登县期末）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件182万个．若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）2＝182
C．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
【答案】D
【详解】依题意得五、六月份的产量为50(1+x)、50(1+x)2，
∴50+50(1+x)+50(1+x)2=182.
故答案选D.
4．（2018春 富顺县期中）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）.
A．8% B．9% C．10% D．11%
【答案】C
【解析】分析：设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000（1-x）2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可．
详解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1-x）2=4860，
解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选：C．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．
5．（2019春 贵阳市期末）祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A．x(x-1)2 =930 B．x(x+1)2=930 C．x（x+1）=930 D．x（x﹣1）=930
【答案】D
【解析】分析：可设全班有x名同学,则每人写(x-1)份留言,共写x(x-1)份留言,进而可列出方程即可.
详解：设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，
根据题意得：x（x﹣1）=930，
故选：D．
【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,其中x(x-1)不能和握手问题那样除以2,另外这类问题转化为一元二次方程求解时应注意考虑解的合理性,即考虑解的取舍.
6．（2019春 浦东新区期中）微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在2016年“元旦节”收到微信红包为300元，2018年为675元，若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x，根据题意可列方程为( )
A．300(1+2x)＝675 B．300(1+x2)＝675
C．300(1+x)2＝675 D．300+x2＝675
【答案】C
【详解】这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x，由题意得：
300(1+x)2＝675，
故选C．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，正确理解题意，表示出2017、2018年微信收到的红包是解题的关键.
7．（2019春 河东区期中）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32
C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32
【答案】B
【解析】分析：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
详解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，
根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32．
故选：B．
【名师点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2018春 天山师中考）从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48㎡，则原来这块木板的面积是（ ）
A．100㎡ B．64㎡ C．121㎡ D．144㎡
【答案】B
【解析】设原来正方形木板的边长为xm，从一块正方形木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的仍然是一个长方形，此时这个长方形的长等于原来正方形木板的边长，宽等于正方形木板的边长减去2m，根据剩下的长方形的面积是48m2，列出方程：
x（x﹣2）=48，解得x1=8，x2=﹣6（不合题意，舍去）。
∴原来这块木板的面积是8×8=64（m2）。
故选B。
9．（2018春 驻马店期末）某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2017年起到2019年累计投入4250万元，已知2017年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）
A．1500（1+x）2＝4250
B．1500（1+2x）＝4250
C．1500+1500x+1500x2＝4250
D．1500（1+x）+1500（1+x）2＝4250﹣1500
【答案】D
【解析】解：设2017﹣2019年投入经费的年平均增长率为x，则2018年投入1500（1+x）万元，2019年投入1500（1+x）2万元，根据题意得1500（1+x）+1500（1+x）2=4250﹣1500．故选D．
名师点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
10．（2018春 滁州市期末）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )
A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0
C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0
【答案】C
【解析】【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣2x）=60，
化简整理得，x2﹣9x+8=0．
故选C．
二、填空题（共5小题）
11．（2019春 莱西市期中）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.
【答案】16
【解析】分析：首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．
详解：解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是3+6+7=16．
故答案为：16．
【名师点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
12．（2019春 嘉定区）某商品的原价为120元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是_____元（结果用含m的代数式表示）．
【答案】100（1﹣m）2
【解析】分析：现在的价格=第一次降价后的价格×（1-降价的百分率）．
详解：第一次降价后价格为100（1-m）元，第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为100（1-m）（1-m）元，
即100（1-m）2元．
故答案为：100（1-m）2．
【名师点睛】本题难度中等，考查根据实际问题情景列代数式．根据降低率问题的一般公式可得：某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是100（1-m）2．
13．（2019春 宁河县期末）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为________.
【答案】11
【详解】解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：x（x-1）=55，
整理，得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（不合题意，舍去）．
答：参加酒会的人数为11人．
故答案为：11.
【名师点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2018春 富顺县期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给__________个人.
【答案】7
【解析】试题分析：设每轮传染中平均一个人传染给x个人，则根据题意可知：，解得：x=7或x=-9(舍去)，故每轮传染中平均一个人传染给7个人．
15．（2018春 莱西市期末）为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为_____．
【答案】x（x+40）=1200．
【详解】由题意可得，
x（x+40）=1200，
故答案是：x（x+40）=1200．
【名师点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
三、解答题（共2小题）
16．（2018春 邵阳县期末）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【答案】（1）x=5；（2）t=4.8或1.6．
【解析】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，
根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6=33，
解之得x=5，
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE=AD=6，PQ=10，
∵PA=3t，CQ=BE=2t，
∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，
解得t1=4.8，t2=1.6．
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【名师点睛】（1）根据梯形的面积公式可列方程：1216-3x-2x×6=33 求解；
（2）作QE⊥AB，垂足为E，在RtPEQ中，用勾股定理列方程求解．
17．（2018春 宁河县期中）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
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