2022-2022学年高中数学课时跟踪检测十一空间几何体的体积苏教版必修.doc

课时跟踪检测〔十一〕 空间几何体的体积
层级一　学业水平达标
1．一圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为，那么该圆锥的体积为(　　)
A.π　　　　　　　　 B.π
C.π D.π
解析：选C　设圆锥侧面展开图的弧长为l，
那么l＝＝.
设圆锥的底面半径为r，那么＝2πr，r＝.
V＝·2·＝·＝π.
2．一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，那么正方体与圆柱的体积之比为(　　)
A．π∶4 B．4∶π
C．1∶1 D．π2∶4
解析：选A　设正方体棱长为1，那么S正方体侧＝S圆柱侧＝4，
设圆柱的底面半径为r，那么2πr×1＝4，r＝，
V正方体＝1，V圆柱＝π2·1＝.
∴V正方体∶V圆柱＝π∶4.
3．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为(　　)
A．4∶9 B．9∶4
C．4∶27 D．27∶4
解析：选C　设球的半径为r，那么圆锥的底面半径是3r，设圆锥的高为h，那么πr3＝π(3r)2h，解得h＝r，所以圆锥的高与底面半径之比为.
4．底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，那么该球的体积为(　　)
A. B．4π
C．2π D.
解析：选D　因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝＝1，所以V球＝×13＝.应选D.
5.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D为棱AA1的中点，假设截面△BC1D是面积为6的直角三角形，那么此三棱柱的体积为(　　)
A．16 B．8
C．4 D.
解析：选B　设AB＝a，AA1＝b，
由×2＝a2＋b2，
得b2＝2a2，又×a2＝6.
解得a2＝8.
可得a＝2，b＝4，
∴V＝×8×4＝8.
6．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，假设使△ABC绕直线BC旋转一周，那么所形成的几何体的体积是________．
解析：V＝V大圆锥－V小圆锥＝π()2(1＋1.5－1)＝π.
答案：π
7．一个长方体的三个面的面积分别是，，，那么这个长方体的体积为________．
解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，那么三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝.
答案：
8．正方体的棱长为2，那么与正方体的各棱都相切的球的体积是________．
解析：过正方体的对角面作截面如图．
故球的半径r＝，
∴其体积V＝π·()3＝.
答案：
9.如图，四棱锥P­ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．
(1)证明平面PAC⊥平面PBD；
(2)假设AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P­ABCD的体积．
解：(1)证明：因为PH是四棱锥P­ABCD的高，
所以AC⊥PH.又AC⊥BD，PH，BD都在平面PBD内，且PH∩BD＝H，
所以AC⊥平面PBD，又AC⊂平面PAC，故平面PAC⊥平面PBD.
(2)因为底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝，所以HA＝HB＝.
因为∠APB＝∠ADB＝60°，
所以PA＝PB＝，HD＝HC＝1，
可得PH＝.
等腰梯形ABCD的面积为S＝AC×BD＝2＋.
所以四棱锥的体积为V＝×(2＋)×＝.
10．正四棱台两底面面积分别为80 cm2和245 cm2，截得这个正四棱台的原棱锥的高是35 cm，求正四棱台的体积．
解：如图，SO＝35，A′O′＝2， AO＝，
由＝，得SO′＝＝20.
∴OO′＝15.
∴V正四棱台＝×15×(80＋＋245)＝2 325.
即正四棱台的体积为2 325 cm3.
层级二　应试能力达标
1.正三棱锥S­ABC，D，E分别为底面边AB，AC的中点，那么四棱锥S­BCED与三棱锥S­ABC的体积之比为(　　)
A．1∶2　　　　　　　　 B．2∶3
C．3∶4 D．1∶4
解析：选C　两锥体高相等，因此VS­BCED∶VS­ABC＝SBCED∶SABC＝3∶4.
2.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，如果AB＝AC＝，BB1＝BC＝6，E，F为侧棱AA1上的两点，且EF＝3，那么多面体EF­BB1C1C的体积为(　　)
A．30 B．18
C．15 D．12
解析：选A　△ABC中，BC边上的高h＝＝2，
V柱＝BC·h·BB1＝×6×2×6＝36，
∴VE­ABC＋VF­A1B1C1＝V柱＝6，
故VEF­BB1C1C＝36－6＝30.
3.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，假设不计容器厚度，那么球的体积为(　　)
A. cm3　　　 B. cm3
C. cm3 D. cm3
解析：选A　如图，作出球的一个截面，那么MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为R cm，那么R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5.∴V球＝π×53＝π(cm3)．
4．等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C．2π D．4π
解析：选B　绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如下图．每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V＝2××π×2×＝.
5．正方体的体对角线长等于2 cm，它的顶点中有4个在半球O的底面上，另外4个在半球O的外表上，那么半球O的体积为________cm3.
解析：过正方体的对角面作截面如图．
设半球O的半径为R.∴A1C＝2 cm，
又∵AB2＋AC2＋AA＝A1C2，∴3AA＝12.
A1A＝2 cm，AC＝2 cm.
∴A1O＝R＝＝＝(cm)．
∴V＝×πR3＝×π×()3＝4π(cm3)．
答案：4π
6．(2022·江苏高考)如下图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
解析：由题意知所给的几何体是棱长均为的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V正四棱锥＝2××()2×1＝.
答案：
7．四面体ABCD中，AB＝CD＝，BC＝AD＝2，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．
解：以四面体的各棱为对角线复原为长方体．如图．
设长方体的长、宽、高分别为x，y，z.
∴
∴
∵VD­ABE＝DE·S△ABE＝V长方体．
同理VC­ABF＝VD­ACG＝VD­BCH＝V长方体．
∴V四面体ABCD＝V长方体－4×V长方体＝V长方体．
而V长方体＝2×3×4＝24.
∴V四面体ABCD＝8.
8.如下图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两局部，求这两局部的体积之比．
解：截面EB1C1F将三棱柱分成两局部，一局部是三棱台AEF­A1B1C1，另一局部是一个不规那么几何体，故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．
设棱柱的底面积为S，高为h，那么△AEF的面积为S，
令V1＝VAEF­A1B1C1＝·h·＝hS，剩余的不规那么几何体的体积为
V2＝V－V1＝hS－hS＝hS，所以两局部的体积之比为V1∶V2＝7∶5.
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