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第2课时 诱导公式(二)
诱导公式五、六
(1)诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点P(x0，y0)关于直线y＝x的对称点是P′(－y0，－x0)．( )
(2)诱导公式五、六可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．( )
答案：(1)× (2)√
2．化简：sin＝( )
A．sin x B．cos x
C．－sin x D．－cos x
解析：sin
＝sin
＝sin
＝cos x
答案：B
3．已知sin θ＝，则cos(450°＋θ)的值是( )
A. B．－
C．－ D.
解析：cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－.
答案：B
4．sin 95°＋cos 175°的值为________．
解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos 5°－cos 5°＝0.
答案：0
类型一 利用诱导公式求值
例1 (1)已知π<α<2π，cos(α－9π)＝－，则cos的值为( )
A. B．－ C．－ D.
(2)已知sin＝，则cos＝( )
A．－ B.
C. D．－
【解析】 (1)由cos(α－9π)＝－cos α＝－，所以cos α＝，因为α∈(π，2π)，所以sin α＝－＝－，cos＝－sin α＝.
(2)因为sin＝，所以cos＝cos[－]＝sin＝.
【答案】 (1)D (2)B
(1)化简已知可得cosα，化简要求的函数可知需要求出sinα.
(2)＋＝.
方法归纳
利用诱导公式五、六求值的三个关注点
(1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一．
(2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少．
(3)函数名称：对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名．
提醒：当角比较复杂时，要注意分析两个角之间是否具有互余、互补关系，或两个角的和、差为特殊角等，常见的如±α，＋α与－α的关系．
跟踪训练1 若cos(π＋α)＝－，且α∈，则tan＝__________.
解析：因为cos(π＋α)＝－，所以cos α＝，因为α∈，所以sin α＝－＝－，
所以tan＝tan＝tan＝＝＝＝＝.
答案：
由cos(π＋α)可求出cosα，进而可求sinα.tan可化为sinα，cosα的关系．
类型二 利用诱导公式证明恒等式
例2 求证：＝.
【证明】 右边＝
＝
＝
＝
＝＝＝左边，
所以原等式成立.
等式右边复杂，应从右边入手，利用诱导公式化简证明．
方法归纳
证明三角恒等式的常用方法
(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则．
(2)证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的A起着桥梁的作用．
(3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或＝1.
跟踪训练2 求证：·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin2α.
证明：左边＝·[－sin(2π－α)]cos α＝[－(－sin α)]cos α＝·sin α·cos α＝sin2α＝右边，故原式成立．
等式左边复杂、应从左边入手利用诱导公式化简证明．
类型三 诱导公式的综合应用
例3 已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
【解析】 (1)f(α)＝＝＝－cos α.
(2)因为cos＝，又cos＝cos ＝－sin α，即sin α＝－，而α是第三象限角，
所以cos α＝－＝－＝－，所以f(α)＝－cos α＝.
(3)α＝－π时，f(α)＝－cos α＝－cos＝－cos＝－cos＝－.
首先利用诱导公式对函数式化简变形，再利用平方关系等三角函数知识解题．
方法归纳
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．
跟踪训练3 已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值．
解析：因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P，
所以a2＋＝1(a<0)，所以a＝－，所以sin α＝，cos α＝－，
所以原式＝＝－·＝×＝2.
首先注意α的范围．求出α的范围与值再利用诱导公式求值．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：由于sin＝cos θ<0，cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
答案：B
2．如果cos(π＋A)＝－，那么sin等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：cos(π＋A)＝－cos A＝－，
∴cos A＝，
∴sin＝cos A＝.
答案：B
3．下列式子与sin相等的是( )
A．sin B．cos
C．cos D．sin
解析：因为sin＝－sin＝－cos θ，
对于A，sin＝cos θ；
对于B，cos＝－sin θ；
对于C，cos＝cos
＝－cos＝－sin θ；
对于D，sin＝sin
＝－sin＝－cos θ.
答案：D
4．已知tan θ＝2，则等于( )
A．2 B．－2
C．0 D.
解析：＝＝＝＝－2.
答案：B
5．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos＝sin B D．sin＝cos
解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C，
故A，B错；
∵A＋C＝π－B，∴＝，
∴cos＝cos＝sin，故C错；
∵B＋C＝π－A，∴sin＝sin＝cos，故D对．
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若cos α＝－，且α是第三象限角，则cos＝________.
解析：因为cos α＝－，且α是第三象限角，所以sin α＝－，cos＝cos＝－sin α＝.
答案：
7．求＝________.
解析：原式＝
＝＝－tan α.
答案：－tan α
8．已知cos α＝，则sin·costan(π－α)＝________.
解析：sincostan(π－α)
＝－cos αsin α(－tan α)＝sin2α＝1－cos2α
＝1－2＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知cos＝，求下列各式的值：
(1)sin；(2)sin
解析：(1)sin＝sin
＝cos＝.
(2)sin＝sin
＝－sin
＝－cos＝－.
10．化简：
(1)·sincos；
(2)sin(－α－5π)cos－sincos(α－2π)．
解析：
(1)原式＝·sin(－sin α)
＝·(－sin α)
＝·(－cos α)(－sin α)
＝－cos2α.
(2)原式＝sin(－α－π)cos＋cos αcos[－(2π－α)]
＝sin[－(α＋π)]cos＋cos αcos(2π－α)
＝－sin(α＋π)sin α＋cos αcos α
＝sin2α＋cos2α
＝1.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知cos＝，则sin的值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：sin＝sin＝cos＝.
答案：A
12．已知sin＝，且α∈(－π，0)，则tan(α－π)＝________.
解析：由sin＝，得cos α＝.又α∈(－π，0)，所以α∈(－，0)．
所以sin α＝－＝－＝－，
tan(α－π)＝tan α＝＝＝－2.
答案：－2
13．求证：对任意的整数k，＝－1.
证明：左边＝.
①当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则左边＝＝＝－1.
②当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，同理可得左边＝＝＝－1，综上可得，对任意的整数k原等式成立．
14．在△ABC中，已知sin＝sin，试判断△ABC的形状．
解析：∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
又sin＝sin，∴sin＝sin，
∴sin＝sin，∴cos C＝cos B，
又B，C为△ABC的内角，∴C＝B，
故△ABC为等腰三角形．
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