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课时作业12 等比数列的性质及应用
[根底稳固](25分钟，60分)
一、选择题(每题5分，共25分)
1．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5的值为( )
A．16 B．27
C．36 D．81
解析：由a3＋a4＝q2(a1＋a2)＝9，所以q2＝9，又an>0，所以q＝3.a4＋a5＝q(a3＋a4)＝3×9＝27.
答案：B
2．等比数列{an}中，a2＝4，a7＝，那么a3a6＋a4a5的值是( )
A．1 B．2
C. D.
解析：a3a6＝a4a5＝a2a7＝4×＝，
∴a3a6＋a4a5＝.
答案：C
3．在等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，那么a8的值为( )
A．35 B．63
C．21 D．±21
解析：∵{an}是等比数列，∴a4，a6，a8是等比数列，∴a＝a4·a8，即a8＝＝63.
答案：B
4．{an}是等比数列，a4·a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，那么公比q为( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
解析：a4·a7＝a3·a8＝－512，又a3＋a8＝124，所以或
因为公比为整数，所以所以q5＝＝－32，所以q＝－2.
答案：B
5．数列{an}满足1＋log3an＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，那么log (a5＋a7＋a9)的值是( )
A. B．－
C．5 D．－5
解析：由1＋log3an＝log3an＋1(n∈N*)，得an＋1＝3an，
即{an}是公比为3的等比数列．
设等比数列{an}的公比为q，
又a2＋a4＋a6＝9，
那么log (a5＋a7＋a9)
＝log [q3(a2＋a4＋a6)]
＝log (33×9)＝－5.
应选D.
答案：D
二、填空题(每题5分，共15分)
6．{an}为等比数列，a2＝2，a6＝162，那么a10＝________.
解析：方法一：因为
所以q4＝81，
所以a10＝a1q9＝a1q·q8＝2×812＝13 122.
方法二：因为q4＝＝＝81，
所以a10＝a6q4＝162×81＝13 122.
方法三：因为{an}为等比数列，所以a2·a10＝a，a10＝＝＝13 122.
答案：13 122
7．三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9就成为等比数列，那么此三个数分别为________．
解析：设所求三个数为a－d，a，a＋d.
由题意得
解得或
又因为a－d，a，a＋d为正数，
所以a＝5，d＝2，
故所求三个数分别为3,5,7.
答案：3,5,7
8．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，那么第10个正方形的面积等于________平方厘米．
解析：依题意这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，那么第10个正方形的面积S＝a＝[2×()9]2＝4×29＝2 048(平方厘米)．
答案：2 048
三、解答题(每题10分，共20分)
9．数列{an}成等比数列．
(1)假设a2＝4，a5＝－，求数列{an}的通项公式；
(2)假设a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
解析：(1)由a5＝a2q3，得－＝4×q3，
所以q＝－，an＝a2qn－2＝4×n－2＝n－4.
(2)由a3a5＝a，得a3a4a5＝a＝8.
解得a4＝2.
又因为a2a6＝a3a5＝a，
所以a2a3a4a5a6＝a＝25＝32.
10．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝4an＋2n＋1(n∈N*)．
(1)令bn＝＋1，求证：数列{bn}为等比数列．
(2)求数列{an}的通项公式．
(3)求满足an≥240的最小正整数n.
解析：(1)证明：因为an＋1＝4an＋2n＋1，
所以＝2＋1，
所以＋1＝2＋1，
即bn＋1＝2bn，又b1＝＋1＝2.
所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，
(2)由(1)可得bn＝2n，an＝4n－2n.
(3)由4n－2n≥240，即4n－2n－240≥0，
解得2n≥16(2n≤－15舍去)，
解得n≥4，
所以满足an≥240的最小正整数n为4.
[能力提升](20分钟，40分)
11．数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，假设b10·b11＝2，那么a21＝( )
A．20 B．512
C．1 013 D．1 024
解析：∵bn＝，且b10·b11＝2，
又{bn}是等比数列，
∴b1·b20＝b2·b19＝…＝b10·b11＝2，
那么··…＝b1b2b3…b20＝210，
即＝1 024，
从而a21＝1 024a1＝1 024.
答案：D
12．数列1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，那么的值为________．
解析：因为a1＋a2＝1＋4＝5，b2＝2，所以＝.
答案：
13．各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3.
(2)求{an}的通项公式．
解析：(1)由，(2an＋1－an)(an＋1)＝0，
所以2an＋1＝an或an＝－1(舍)，
所以＝，
所以a2＝，a3＝.
(2)由(1)知，＝，又a1＝1，
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，
所以an＝，n∈N*.
14．4个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－，求这4个数．
解析：设这4个数分别为a、aq、aq2、aq3.
那么
由①，得a2q3＝±1， ③
由②，得a2q2(1＋q)2＝， ④
把a2q2＝代入④，得q2－q＋1＝0，此方程无解．
把a2q2＝－代入④，得q2＋q＋1＝0，
解得q＝－4或－.
①当q＝－4时，a＝－；
②当q＝－时，a＝8.
∴这4个数分别是：8，－2，，－或－，，－2,8.
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