2022年四川省遂宁市中考数学试卷解析.docx

2022年四川省遂宁市中考数学试卷
一、选择题〔本大题共10个小题，每题4分，总分值40分，在每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求〕
1．〔4分〕〔2022•遂宁〕计算：1﹣〔﹣〕=〔　　〕

A．

B．
﹣
C．

D．
﹣
2．〔4分〕〔2022•遂宁〕以下运算正确的选项是〔　　〕

A．
a•a3=a3
B．
2〔a﹣b〕=2a﹣b
C．
〔a3〕2=a5
D．
a2﹣2a2=﹣a2
3．〔4分〕〔2022•遂宁〕用3个完全相同的小正方体组成如下列图的几何体，那么它的俯视图是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

4．〔4分〕〔2022•遂宁〕一个不透明的布袋中，放有3个白球，5个红球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸取1个，摸到红球的概率是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

5．〔4分〕〔2022•遂宁〕直线y=2x﹣4与y轴的交点坐标是〔　　〕

A．
〔4，0〕
B．
〔0，4〕
C．
〔﹣4，0〕
D．
〔0，﹣4〕
6．〔4分〕〔2022•遂宁〕在正方形、矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形中，其中中心对称图形的个数是〔　　〕

A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
7．〔4分〕〔2022•遂宁〕如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，那么OC=〔　　〕

A．
3cm
B．
4cm
C．
5cm
D．
6cm
8．〔4分〕〔2022•遂宁〕如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，那么BC的长为〔　　〕

A．
1cm
B．
2cm
C．
3cm
D．
4cm
9．〔4分〕〔2022•遂宁〕遂宁市某生态示范园，方案种植一批核桃，原方案总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原方案的1.5倍，总产量比原方案增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，那么原方案和改良后平均每亩产量各多少万千克设原方案每亩平均产量x万千克，那么改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为〔　　〕

A．
﹣=20
B．
﹣=20

C．
﹣=20
D．
+=20
10．〔4分〕〔2022•遂宁〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下列图，以下结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是〔　　〕

A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
二、填空题〔共本大题5小题，每题4分，总分值20分〕
11．〔4分〕〔2022•遂宁〕把96000用科学记数法表示为．
12．〔4分〕〔2022•遂宁〕一个n边形的内角和为1080°，那么n=．
13．〔4分〕〔2022•遂宁〕某射击运发动在一次射击训练中，共射击了6次，所得成绩〔单位：环〕为：6、8、7、7、8、9，这组数据的中位数是．
14．〔4分〕〔2022•遂宁〕在半径为5cm的⊙O中，45°的圆心角所对的弧长为cm．
15．〔4分〕〔2022•遂宁〕以下命题：
①对角线互相垂直的四边形是菱形；
②点G是△ABC的重心，假设中线AD=6，那么AG=3；
③假设直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么k＜0，b＞0；
④定义新运算：a*b=2a﹣b2，假设〔2x〕*〔x﹣3〕=0，那么x=1或9；
⑤抛物线y=﹣2x2+4x+3的顶点坐标是〔1，1〕．
其中是真命题的有〔只填序号〕
三、解答题〔本大题共3小题，每题7分，总分值21分〕
16．〔7分〕〔2022•遂宁〕计算：﹣13﹣+6sin60°+〔π﹣3.14〕0+|﹣|
17．〔7分〕〔2022•遂宁〕解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
18．〔7分〕〔2022•遂宁〕先化简，再求值：÷﹣，其中m=﹣3．
四、解答题〔本大题共3小题，每题9分，总分值27分〕
19．〔9分〕〔2022•遂宁〕如图，▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：
〔1〕AE=CF；
〔2〕四边形AECF是平行四边形．
20．〔9分〕〔2022•遂宁〕一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．〔结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732〕
21．〔9分〕〔2022•遂宁〕阅读以下材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：〔1﹣﹣﹣〕×〔+++〕﹣〔1﹣﹣﹣﹣〕×〔++〕．
令++=t，那么
原式=〔1﹣t〕〔t+〕﹣〔1﹣t﹣〕t
=t+﹣t2﹣t﹣t+t2
=
问题：
〔1〕计算
〔1﹣﹣﹣﹣…﹣〕×〔++++…++〕﹣〔1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣〕×〔+++…+〕；
〔2〕解方程〔x2+5x+1〕〔x2+5x+7〕=7．
五、〔本大题共2小题，每题10分，总分值20分〕
22．〔10分〕〔2022•遂宁〕交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路畅通或拥堵的概念．其指数在100以内为畅通，200以上为严重拥堵，从某市交通指挥中心选取了5月1日至14日的交通状况，依据交通指数数据绘制的折线统计图如下列图，某人随机选取了5月1日至14日的某一天到达该市．
〔1〕请结合折线图分别找出交通为畅通和严重拥堵的天数；
〔2〕求此人到达当天的交通为严重拥堵的概率；
〔3〕由图判断从哪天开始连续三天的交通指数方差最大〔直接判断，不要求计算〕
23．〔10分〕〔2022•遂宁〕如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A〔1，4〕，B〔4，n〕两点．
〔1〕求反比例函数的解析式；
〔2〕求一次函数的解析式；
〔3〕点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．
六、〔本大题共2小题，第24题10分，第25题12分，总分值22分〕
24．〔10分〕〔2022•遂宁〕如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．
〔1〕求证：∠ADC=∠ABD；
〔2〕求证：AD2=AM•AB；
〔3〕假设AM=，sin∠ABD=，求线段BN的长．
25．〔12分〕〔2022•遂宁〕如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A〔﹣2，0〕，B〔4，0〕，C〔0，3〕三点．
〔1〕求该抛物线的解析式；
〔2〕在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形假设存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；假设不存在，请说明理由；
〔3〕假设点P〔t，0〕为线段AB上一动点〔不与A，B重合〕，过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．
2022年四川省遂宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题共10个小题，每题4分，总分值40分，在每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求〕
1．〔4分〕〔2022•遂宁〕计算：1﹣〔﹣〕=〔　　〕

A．

B．
﹣
C．

D．
﹣
考点：
有理数的减法．菁优网版权所有
分析：
根据有理数的减法法那么，即可解答．
解答：
解：1﹣〔﹣〕=1+=．
应选：C．
点评：
此题考查了有理数的减法，解决此题的关键是熟记有理数的减法法那么．
2．〔4分〕〔2022•遂宁〕以下运算正确的选项是〔　　〕

A．
a•a3=a3
B．
2〔a﹣b〕=2a﹣b
C．
〔a3〕2=a5
D．
a2﹣2a2=﹣a2
考点：
幂的乘方与积的乘方；合并同类项；去括号与添括号；同底数幂的乘法．菁优网版权所有
分析：
根据同底数幂的乘法、幂的乘方和同类项进行计算．
解答：
解：A、a•a3=a4，错误；
B、2〔a﹣b〕=2a﹣2b，错误；
C、〔a3〕2=a6，错误；
D、a2﹣2a2=﹣a2，正确；
应选D
点评：
此题考查同底数幂的乘法、幂的乘方和同类项，关键是根据法那么进行计算．
3．〔4分〕〔2022•遂宁〕用3个完全相同的小正方体组成如下列图的几何体，那么它的俯视图是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
简单组合体的三视图．菁优网版权所有
分析：
根据俯视图是从上边看的到的视图，可得答案．
解答：
解：从上边看左边一个小正方形，右边一个小正方形，故B符合题意；
应选：B．
点评：
此题考查了简单组合体的三视图，从上边看的到的视图是俯视图．
4．〔4分〕〔2022•遂宁〕一个不透明的布袋中，放有3个白球，5个红球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸取1个，摸到红球的概率是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
概率公式．菁优网版权所有
分析：
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解答：
解：根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，
从中随机摸出一个，那么摸到红球的概率是=．
应选A．
点评：
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P〔A〕=．
5．〔4分〕〔2022•遂宁〕直线y=2x﹣4与y轴的交点坐标是〔　　〕

A．
〔4，0〕
B．
〔0，4〕
C．
〔﹣4，0〕
D．
〔0，﹣4〕
考点：
一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
分析：
令x=0，求出y的值，即可求出与y轴的交点坐标．
解答：
解：当x=0时，y=﹣4，
那么函数与y轴的交点为〔0，﹣4〕．
应选D．
点评：
此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要知道，y轴上的点的横坐标为0．
6．〔4分〕〔2022•遂宁〕在正方形、矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形中，其中中心对称图形的个数是〔　　〕

A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
考点：
中心对称图形．菁优网版权所有
分析：
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形进行分析．
解答：
解：正方形、矩形、菱形、平行四边形是中心对称图形，共4个，
应选：C．
点评：
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
7．〔4分〕〔2022•遂宁〕如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，那么OC=〔　　〕

A．
3cm
B．
4cm
C．
5cm
D．
6cm
考点：
垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
分析：
连接OA，先利用垂径定理得出AC的长，再由勾股定理得出OC的长即可解答．
解答：
解：连接OA，
∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，
∴AC=AB=×6=3cm，
∵⊙O的半径为5cm，
∴OC===4cm，
应选B．

点评：
此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．
8．〔4分〕〔2022•遂宁〕如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，那么BC的长为〔　　〕

A．
1cm
B．
2cm
C．
3cm
D．
4cm
考点：
线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
分析：
首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN=BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN+NC=AC，求出BC的长为多少即可．
解答：
解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN+NC+BC=7〔cm〕，
∴AN+NC+BC=7〔cm〕，
∵AN+NC=AC，
∴AC+BC=7〔cm〕，
又∵AC=4cm，
∴BC=7﹣4=3〔cm〕．
应选：C．
点评：
此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
9．〔4分〕〔2022•遂宁〕遂宁市某生态示范园，方案种植一批核桃，原方案总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原方案的1.5倍，总产量比原方案增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，那么原方案和改良后平均每亩产量各多少万千克设原方案每亩平均产量x万千克，那么改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为〔　　〕

A．
﹣=20
B．
﹣=20

C．
﹣=20
D．
+=20
考点：
由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
分析：
根据题意可得等量关系：原方案种植的亩数﹣改良后种植的亩数=20亩，根据等量关系列出方程即可．
解答：
解：设原方案每亩平均产量x万千克，由题意得：
﹣=20，
应选：A．
点评：
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
10．〔4分〕〔2022•遂宁〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下列图，以下结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是〔　　〕

A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
考点：
二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
分析：
由抛物线开口向下得到a＜0，由对称轴在x=1的右侧得到﹣＞1，于是利用不等式的性质得到2a+b＞0；由a＜0，对称轴在y轴的右侧，a与b异号，得到b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，于是abc＞0；抛物线与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0；由x=1时，y＞0，可得a+b+c＞0；由x=﹣2时，y＜0，可得4a﹣2b+c＜0．
解答：
解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x=﹣＞1，
∴2a+b＞0，故①正确；
②∵a＜0，﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，故②错误；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，故③正确；
④∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，故④错误；
⑤∵x=﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故⑤正确．
应选B．
点评：
此题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象，当a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；对称轴为直线x=﹣，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方；当△=b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．
二、填空题〔共本大题5小题，每题4分，总分值20分〕
11．〔4分〕〔2022•遂宁〕把96000用科学记数法表示为　9.6×104．
考点：
科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：
解：把96000用科学记数法表示为9.6×104．
故答案为：9.6×104．
点评：
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．〔4分〕〔2022•遂宁〕一个n边形的内角和为1080°，那么n=　8　．
考点：
多边形内角与外角．菁优网版权所有
分析：
直接根据内角和公式〔n﹣2〕•180°计算即可求解．
解答：
解：〔n﹣2〕•180°=1080°，
解得n=8．
点评：
主要考查了多边形的内角和公式．多边形内角和公式：〔n﹣2〕•180°．
13．〔4分〕〔2022•遂宁〕某射击运发动在一次射击训练中，共射击了6次，所得成绩〔单位：环〕为：6、8、7、7、8、9，这组数据的中位数是　7.5　．
考点：
中位数．菁优网版权所有
分析：
根据中位数的概念求解．
解答：
解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：6、7、7、8、8、9，
那么中位数为：=7.5．
故答案为：7.5．
点评：
此题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大〔或从大到小〕的顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，那么中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
14．〔4分〕〔2022•遂宁〕在半径为5cm的⊙O中，45°的圆心角所对的弧长为π　cm．
考点：
弧长的计算．菁优网版权所有
分析：
根据弧长公式L=进行求解．
解答：
解：L=
=π．
故答案为：π．
点评：
此题考查了弧长的计算，解答此题的关键是掌握弧长公式L=．
15．〔4分〕〔2022•遂宁〕以下命题：
①对角线互相垂直的四边形是菱形；
②点G是△ABC的重心，假设中线AD=6，那么AG=3；
③假设直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么k＜0，b＞0；
④定义新运算：a*b=2a﹣b2，假设〔2x〕*〔x﹣3〕=0，那么x=1或9；
⑤抛物线y=﹣2x2+4x+3的顶点坐标是〔1，1〕．
其中是真命题的有　②③④　〔只填序号〕
考点：
命题与定理．菁优网版权所有
分析：
根据菱形的判定，三角形的重心以及一次函数的性质和抛物线的性质判断即可．
解答：
解：①对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误；
②点G是△ABC的重心，假设中线AD=6，那么AG=3，正确；
③假设直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么k＜0，b＞0，正确；
④定义新运算：a*b=2a﹣b2，假设〔2x〕*〔x﹣3〕=0，那么x=1或9，正确；
⑤抛物线y=﹣2x2+4x+3的顶点坐标是〔1，5〕，错误；
故答案为：②③④．
点评：
此题考查命题的真假性，是易错题．注意对菱形的判定，三角形的重心以及一次函数的性质和抛物线的性质的准确掌握．
三、解答题〔本大题共3小题，每题7分，总分值21分〕
16．〔7分〕〔2022•遂宁〕计算：﹣13﹣+6sin60°+〔π﹣3.14〕0+|﹣|
考点：
实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式第一项利用乘方的意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，第四项利用零指数幂法那么计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
解答：
解：原式=﹣1﹣3+6×+1+=．
点评：
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
17．〔7分〕〔2022•遂宁〕解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
考点：
解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
分析：
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．
解答：
解：，
由①得，x＞﹣3，
由②得，x≤2，
故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．
在数轴上表示为：

点评：
此题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了〞的原那么是解答此题的关键．
18．〔7分〕〔2022•遂宁〕先化简，再求值：÷﹣，其中m=﹣3．
考点：
分式的化简求值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式第一项利用除法法那么变形，约分后利用同分母分式的减法法那么计算得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
解答：
解：原式=•﹣=﹣=，
当m=﹣3时，原式=﹣1．
点评：
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
四、解答题〔本大题共3小题，每题9分，总分值27分〕
19．〔9分〕〔2022•遂宁〕如图，▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：
〔1〕AE=CF；
〔2〕四边形AECF是平行四边形．
考点：
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
〔1〕根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，然后可证明∠ABE=∠CDF，再利用SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF．
〔2〕首先根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CFD，根据等角的补角相等可得∠AEF=∠CFE，然后证明AE∥CF，从而可得四边形AECF是平行四边形．
解答：
证明：〔1〕∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF〔SAS〕．
∴AE=CF．

〔2〕∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
点评：
此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
20．〔9分〕〔2022•遂宁〕一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．〔结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732〕
考点：
解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有
分析：
先设AB=x米，根据题意分析图形：此题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，应利用其公共边BA构造等量关系，解三角形可求得CB、DB的数值，再根据CD=BD﹣BC=10，进而可求出答案．
解答：
解：∵设AB=x米，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
∵∠D=30°，∠ACB=45°，CD=10，
∴CB=x，AD=2x，BD==x，
∵CD=BD﹣BC=10，
x﹣x=10，
∴x=5〔+1〕≈13.7．
答：该树高是13.7米．
点评：
此题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21．〔9分〕〔2022•遂宁〕阅读以下材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：〔1﹣﹣﹣〕×〔+++〕﹣〔1﹣﹣﹣﹣〕×〔++〕．
令++=t，那么
原式=〔1﹣t〕〔t+〕﹣〔1﹣t﹣〕t
=t+﹣t2﹣t﹣t+t2
=
问题：
〔1〕计算
〔1﹣﹣﹣﹣…﹣〕×〔++++…++〕﹣〔1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣〕×〔+++…+〕；
〔2〕解方程〔x2+5x+1〕〔x2+5x+7〕=7．
考点：
换元法解一元二次方程；有理数的混合运算．菁优网版权所有
专题：
换元法．
分析：
〔1〕设++…+=t，那么原式=〔1﹣t〕×〔t+〕﹣〔1﹣t﹣〕×t，进行计算即可；
〔2〕设x2+5x+1=t，那么原方程化为：t〔t+6〕=7，求出t的值，再解一元二次方程即可．
解答：
解：〔1〕设++…+=t，
那么原式=〔1﹣t〕×〔t+〕﹣〔1﹣t﹣〕×t
=t+﹣t2﹣t﹣t+t2+t
=0；

〔2〕设x2+5x+1=t，
那么原方程化为：t〔t+6〕=7，
t2+6t﹣7=0，
解得：t=﹣7或1，
当t=1时，x2+5x+1=1，
x2+5x=0，
x〔x+5〕=0，
x=0，x+5=0，
x1=0，x2=﹣5；
当t=﹣7时，x2+5x+1=﹣7，
x2+5x+8=0，
b2﹣4ac=52﹣4×1×8＜0，
此时方程无解；
即原方程的解为：x1=0，x2=﹣5．
点评：
此题考查了有理数的混合运算和解高次方程的应用，能正确换元是解此题的关键，题目比较典型．
五、〔本大题共2小题，每题10分，总分值20分〕
22．〔10分〕〔2022•遂宁〕交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路畅通或拥堵的概念．其指数在100以内为畅通，200以上为严重拥堵，从某市交通指挥中心选取了5月1日至14日的交通状况，依据交通指数数据绘制的折线统计图如下列图，某人随机选取了5月1日至14日的某一天到达该市．
〔1〕请结合折线图分别找出交通为畅通和严重拥堵的天数；
〔2〕求此人到达当天的交通为严重拥堵的概率；
〔3〕由图判断从哪天开始连续三天的交通指数方差最大〔直接判断，不要求计算〕
考点：
折线统计图；方差；概率公式．菁优网版权所有
分析：
〔1〕根据指数在100以内为畅通，200以上为严重拥堵，图象的纵坐标，可得答案；
〔2〕根据严重拥堵的天数除以调查的天数，可得答案；
〔3〕根据方差的性质，可得答案．
解答：
解：〔1〕由纵坐标看出畅通的天数为7天，严重拥堵的天数为2天；
〔2〕此人到达当天的交通为严重拥堵的概率p==；
〔3〕由方差越大，数据波动越大，得
5、6、7三天数据波动大．
点评：
此题考查了折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据，如粮食产量，折线统计图表示的是事物的变化情况，如增长率，注意方差越小，波动越小，越稳定．
23．〔10分〕〔2022•遂宁〕如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A〔1，4〕，B〔4，n〕两点．
〔1〕求反比例函数的解析式；
〔2〕求一次函数的解析式；
〔3〕点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．
考点：
反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有
分析：
〔1〕把A〔1，4〕代入y=即可求出结果；
〔2〕先把B〔4，n〕代入y=得到B〔4，1〕，把A〔1，4〕，B〔4，1〕代入y=kx+b求得一次函数的解析式为；
〔3〕作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，那么AB′的长度就是PA+PB的最小值，求出直线AB′与x轴的交点即为P点的坐标．
解答：
解：〔1〕把A〔1，4〕代入y=得：m=4，
∴反比例函数的解析式为：y=；

〔2〕把B〔4，n〕代入y=得：n=1，
∴B〔4，1〕，
把A〔1，4〕，B〔4，1〕代入y=kx+b得，
∴，
∴一次函数的解析式为：y=﹣x+5；

〔3〕作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，
那么AB′的长度就是PA+PB的最小值，
由作图知，B′〔4，﹣1〕，
∴直线AB′的解析式为：y=﹣x+，
当y=0时，x=，
∴P〔，0〕．

点评：
此题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，轴对称的性质，最小距离问题，这里表达了数形结合的思想，正确的理解距离和最小问题是解题的关键．
六、〔本大题共2小题，第24题10分，第25题12分，总分值22分〕
24．〔10分〕〔2022•遂宁〕如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．
〔1〕求证：∠ADC=∠ABD；
〔2〕求证：AD2=AM•AB；
〔3〕假设AM=，sin∠ABD=，求线段BN的长．
考点：
切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：
〔1〕连接OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果；
〔2〕由条件证得△ADM∽△ABD，即可得到结论；
〔3〕根据三角函数和勾股定理代入数值即可得到结果．
解答：
〔1〕证明：连接OD，
∵直线CD切⊙O于点D，
∴∠CDO=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵OB=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠ADC=∠ABD；

〔2〕证明：∵AM⊥CD，
∴∠AMD=∠ADB=90°，
∵∠1=∠4，
∴△ADM∽△ABD，
∴，
∴AD2=AM•AB；

〔3〕解：∵sin∠ABD=，
∴sin∠1=，
∵AM=，
∴AD=6，
∴AB=10，
∴BD==8，
∵BN⊥CD，
∴∠BND=90°，
∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°，
∴∠DBN=∠1，
∴sin∠NBD=，
∴DN=，
∴BN==．

点评：
此题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
25．〔12分〕〔2022•遂宁〕如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A〔﹣2，0〕，B〔4，0〕，C〔0，3〕三点．
〔1〕求该抛物线的解析式；
〔2〕在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形假设存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；假设不存在，请说明理由；
〔3〕假设点P〔t，0〕为线段AB上一动点〔不与A，B重合〕，过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．
考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
分析：
〔1〕把A〔﹣2，0〕，B〔4，0〕，C〔0，3〕代入抛物线y=ax2+bx+c，求解即可；
〔2〕作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM1，那么△AM1C是等腰三角形，然后求出OM1得出M1的坐标，当CA=CM2时，那么△AM2C是等腰三角形，求出OM2得出M2的坐标，当CA=AM3时，那么△AM3C是等腰三角形，求出OM3得出M3的坐标，当CA=CM4时，那么△AM4C是等腰三角形，求出OM4得出M4的坐标，
〔3〕当点P在y轴或y轴右侧时，设直线与BC交与点D，先求出S△BOC，再根据△BPD∽△BOC，得出=〔〕2，=〔〕2，求出S=S△BPD；当点P在y轴左侧时，设直线与AC交与点E，根据=〔〕2，得出=〔〕2，求出S=S△ABC﹣S△APE=9﹣，再整理即可．
解答：
解：〔1〕把A〔﹣2，0〕，B〔4，0〕，C〔0，3〕代入抛物线y=ax2+bx+c得：
，
解得：，
那么抛物线的解析式是：y=﹣x2+x+3；

〔2〕如图1，作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM1，那么△AM1C是等腰三角形，
∵AC==，
∴CN=，
∵△CNM1∽△COA，
∴=，
∴=，
∴CM1=，
∴OM1=OC﹣CM1=3﹣=，
∴M1的坐标是〔0，〕，
当CA=CM2=时，那么△AM2C是等腰三角形，
那么OM2=3+，
M2的坐标是〔0，3+〕，
当CA=AM3=时，那么△AM3C是等腰三角形，
那么OM3=3，
M3的坐标是〔0，﹣3〕，
当CA=CM4=时，那么△AM4C是等腰三角形，
那么OM4=﹣3，
M4的坐标是〔0，3﹣〕，

〔3〕如图2，当点P在y轴或y轴右侧时，
设直线与BC交与点D，
∵OB=4，OC=3，
∴S△BOC=6，
∵BP=BO﹣OP=4﹣t，
∴=，
∵△BPD∽△BOC，
∴=〔〕2，
∴=〔〕2，
∴S=S△BPD=t2﹣3t+6〔0≤t＜4〕；
当点P在y轴左侧时，
设直线与AC交与点E，
∵OP=﹣t，AP=t+2，
∴=，
∵=〔〕2，
∴=〔〕2，
∴S△APE=，
∴S=S△ABC﹣S△APE=9﹣=﹣t2﹣3t+6〔﹣2＜t＜0〕．

点评：
此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线等，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，注意分类讨论，数形结合的数学思想方法．
参与本试卷答题和审题的老师有：sdwdmahongye；1987483819；2300680618；HJJ；sd2022；张其铎；放飞梦想；HLing；Linaliu；蓝月梦；caicl；sks；73zzx；lantin；zjx111；王学峰〔排名不分先后〕
菁优网
2022年7月27日