资源描述
12.3 随机事件的概率
核心考点·精准研析
考点一 互斥事件、对立事件的判断
1.从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数,那么以下各对事件是互斥而不是对立事件的是 ( )
A.恰有1个是奇数和全是奇数
B.恰有1个是偶数和至少有1个是偶数
C.至少有1个是奇数和全是奇数
D.至少有1个是偶数和全是奇数
2.100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设E表示事件“3件产品全不是次品〞,F表示事件“3件产品全是次品〞,G表示事件“3件产品中至少有1件是次品〞,那么以下结论正确的选项是 ( )
A.F与G互斥
B.E与G互斥但不对立
C.E,F,G任意两个事件均互斥
D.E与G对立
3.在以下六个事件中,随机事件的个数为 ( )
①如果a,b都是实数,那么a+b=b+a;
②从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张,得到4号签;
③没有水分,种子发芽;
④某 总机在60秒内接到至少10次呼叫;
⑤在标准大气压下,水的温度到达50 ℃时沸腾;
⑥同性电荷,相互排斥.
A.2 B.3 C.4 D.5
4.在5张 卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,假设事件“2张全是移动卡〞的概率是,那么概率是的事件是 ( )
A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡
【解析】1.选A.从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数,共有三种情况:A={两个奇数},B={一个奇数一个偶数},C={两个偶数},且A,B,C两两互斥,所以A:是互斥事件,但不是对立事件;B:不互斥;C:不互斥;D:是互斥事件,也是对立事件.
2.选D.由题意得事件E与事件F不可能同时发生,是互斥事件;事件E与事件G不可能同时发生,是互斥事件;当事件F发生时,事件G一定发生,所以事件F与事件G不是互斥事件,故A、C错.事件E与事件G中必有一个发生,所以事件E与事件G对立,所以B错误,D正确.
3.选A.①⑥是必然事件;③⑤是不可能事件;②④是随机事件.
4.选A.至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡〞“两张全是联通卡〞两个事件,它是“2张全是移动卡〞的对立事件.
定
义
法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,假设有且仅有一个发生,那么这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件
集
合
法
①假设A,B满足A∩B=,那么A,B是互斥事件
②假设A,B满足,那么A,B是对立事件
考点二 随机事件的频率与概率
【典例】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如表所示.这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
一次购物量
1至
4件
5至
8件
9至
12件
13至
16件
17件及以上
顾客数/人
x
30
25
y
10
结算时间/
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值.
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率) 【解题导思】
序号
联想解题
(1)由“超过8件〞占55%联想到
“不超过8件〞 占45%.
(2)拆分为三个事件的和事件
【解析】(1)由得25+y+10=55,x+30=45,
所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为=1.9分钟.
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟〞,A1,A2,A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟〞“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟〞“该顾客一次购物的结算时间为2分钟〞,将频率视为概率得
P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==.
因为A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件,
所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
1.求复杂互斥事件概率的2种方法
(1)直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和.
(2)间接法:先求该事件的对立事件的概率,再由P(A)=1-P()求解.当题目涉及“至多〞“至少〞型问题时,多考虑间接法.
2.求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点
求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表,计算出所求随机事件出现的频数.
某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.
据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.近20年X的值为
140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,
220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表:
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.
【解析】(1)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有7个,为200毫米的有3个,故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)由可得Y=+425,
故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时〞)=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)
=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)
=++=.
考点三 互斥事件、对立事件的概率计算
命
题
精
解
读
1.考什么:(1)考查随机事件的频率与概率的关系
(2)考查互斥事件、对立事件的概念与概率计算问题
2.怎么考:重点考查互斥事件、对立事件的概率计算,多数是以选择题、填空题或解答题的一个小题的形式考查
3.新趋势:结合新背景,考查互斥事件、对立事件的概率计算,或者与统计知识交汇考查随机事件的概率计算
学
霸
好
方
法
1.互斥事件、对立事件的概率问题的解决步骤:
(1)明确区分互斥事件、对立事件.
(2)应用概率加法公式,或概率的一般加法公式求概率.
2.交汇问题:
解决与统计知识交汇考查随机事件的概率计算问题时,先用统计知识求频数,频率,再求概率.
互斥事件的概率
【典例】(2023·天津模拟)经统计,在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如表:
排队人数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
那么该营业窗口上午9点钟时,至少有1人排队的概率是.
【解析】由表格可得至少有1人排队的概率P=0.16+0.3+0.3+0.1+0.04=0.9.
答案:0.9
对立事件的概率
【典例】某商店试销某种商品20天,获得如下数据:
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
6
8
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,假设发现存货少于2件,那么当天进货补充至3件,否那么不进货,将频率视为概率.
(1)设每销售一件该商品获利1 000元,某天销售该商品获利情况如表,完成下表,并求试销期间日平均获利钱数;
日获利(元)
0
1 000
2 000
3 000
频率
(2)求第二天开始营业时该商品的件数为3件的概率.【解析】(1)日获利分别为0元,1 000元,2 000元,3 000元的频率分别为,,,;试销期间日平均获利数为0×+1 000×+2 000×+3 000×=1 850元.
(2)由题意事件“第一天的销售量为1件〞是对立事件,所以P(“第二天开始营业时该商品的件数为3件〞)=1-P(“第一天的销售量为1件〞)=1-=.
互斥事件、对立事件的概率计算问题与统计等交汇
【典例】A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下:
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1
的人数
6
12
18
12
12
选择L2
的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. 【解析】(1)由共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人,
所以用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,
故由调查结果得频率为:
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;
B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.
由(2)知P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6,
P(A2)=0.1+0.4=0.5,
P(A1)>P(A2),所以甲应选择L1,
P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,
P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
P(B2)>P(B1),所以乙应选择L2.
1.我国古代有着辉煌的数学研究成果.?周髀算经??九章算术??海岛算经??孙子算经??缉古算经?等10部专著,有着十分丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化〞校本课程学习内容,那么所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A,那么所选2部专著中没有一部是魏晋南北朝时期专著为事件,
所以P()==,因此P(A)=1-P()=1-=.
2.(2023·景德镇模拟)空气质量指数(AQI)是衡量空气质量好坏的标准,下表是我国南方某市气象环保部门从去年的每天空气质量检测数据中,随机抽取的40天的统计结果:
空气质量指数
(AQI)
国家环保标准
频数(天)
频率
[0,50]
一级(优)
4
(50,100]
二级(良)
20
(100,150]
三级(轻度污染)
8
(150,200]
四级(中度污染)
4
(200,300]
五级(重度污染)
3
(300,+∞)
六级(严重污染)
1
(1)假设以这40天的统计数据来估计,一年中(365天)该市有多少天的空气质量到达优良?
(2)假设将频率视为概率,某中学拟在今年五月份某连续的三天召开运动会,以上表的数据为依据,问:
①这三天空气质量都达标(空气质量属一、二、三级内)的概率;
②这三天恰好有一天空气质量不达标(指四、五、六级)的概率.
【解析】设pi(i=1、2、3、4、5、6)表示空气质量到达第i级的概率,那么p1=0.1,p2=0.5,p3=0.2,p4=0.1,p5=,p6=.
(1)依题意得365×(p1+p2)=365×0.6=219(天).
(2)①p1+p2+p3=0.8,p==0.83=0.512.
②p4+p5+p6=++=0.2,
P=0.2×0.8×0.8+0.8×0.2×0.8+0.8×0.8×0.2=3×0.2×0.82=0.384.
1.根据以往30年的统计数据,中秋节晚上甲地阴天的频率为0.4,乙地阴天的频率为0.3,甲乙两地都阴天的频率为0.18,那么用频率估计概率,今年中秋节晚上甲乙两地都能赏月(即都不阴天)的概率为 ( )
【解析】选D.设事件A=“甲地阴天〞,事件B=“乙地阴天〞,所以P=0.4,P=0.3,P=0.18,那么甲乙两地至少有一地阴天的概率为P=P+P-P=0.52,所以两地都能赏月的概率为1-P=0.48.
2.事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),那么P()=
.
【解析】因为事件A,B都不发生的概率为,
所以P=1-=,又因为事件A,B互斥,
所以P=P+P=,
因为P(A)=2P(B),所以P(A)=,所以P()=1-=.
答案:
3.某人在一次射击中,命中9环的概率为0.28,命中8环的概率为0.19,不够8环的概率为0.29,那么这人在一次射击中命中9环或10环的概率为 .
【解析】因为命中的情形可以分为:命中10环,9环,8环,不够8环,可以看成4个两两互斥的事件,它们的概率之和为1,所以命中9环或10环的概率为1-0.19-0.29=0.52.
答案:0.52
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