2018年八年级数学上册暑期同步提高课程第八讲等腰三角形初步讲义新人教版.doc

第八讲 等腰三角形初步

1. 了解等腰三角形、等边三角形的概念；理解等腰三角形、等边三角形的性质和判定

2. 熟悉等腰直角三角形的性质及含 30°角的直角三角形的性质

3. 能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题

1. “三线合一”性质的转化。

2. 利用等腰三角形轴对称的特性解题。

1. 等腰三角形

（1） 性质：①两底角相等。②顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（2） 判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）；②有两个角相等的三角形是等腰三角形。

2. 等边三角形

（1） 性质：①等边三角形各边都相等；②等边三角形各角都相等，并且都等于 60°。

（2） 判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。②三个角都相等的三角形是等边三角形。③有一个角是

60°的等腰三角形是等边三角形。

3. 特殊直角三角形

（1） 含 30°的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边一半，且三边长度比为 1： ：2；

（2） 等腰直角三角形各边长比为 1：1： 。

考点/易错点 1
等腰三角形的边分腰和底边；角分顶角和底角；因此在已知等腰三角形的边或角在未指明腰和底边或顶角和底角的情况下，求其余未知量时，均须分两种情况进行讨论。
（1） 已知等腰三角形的两边，在未指明底边和腰时，求其周长须分两种情况进行讨论；最后务必检验每种 情况是否满足三角形的三边关系。
（2） 已知等腰三角形的一内角,在未指明顶角和底角时，求其余两角；须分两种情况进行讨论，最后务必检验是否满足三角形的内角和定理。

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（3） 已知等腰三角形的一个外角（未指明顶角还是底角的情况下），应分两种情况进行讨论。

（4） 已知等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角，求其内角时；应分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角 形两种情况进行讨论。
（5） 已知等腰三角形一腰上垂直平分线与另一腰的夹角，求底角时，应分等腰三角形为锐角三角形和钝角 三角形两种情况进行讨论。
（6） 以已知线段为腰作等腰三角形，常要分以该腰不同顶点为顶角顶点两种情况进行讨论。

（7） 在等腰三角形中，若三边的长度中含有字母要分三种情况讨论。

【例 1】若等腰三角形有两条边的长度为 3 和 1，则此等腰三角形的周长为（ ）

A．
5
B．
7
C．
5 或 7
D．
6
【答案】 B．
【解析】①当 3 为底时，其它两边都为 1，∵1+1＜3，∴不能构成三角形，舍去，当 3 为腰时，其它两边为 3 和 1，3、3、1 可以构成三角形，周长为 7．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

【例 2】如图，在△ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 BC 上，BD=BE，∠
BAD=∠BCE，AD 与 CE 相交于点 F，试判断△AFC 的形状，并说明理由．
【答案】△ AFC 是等腰三角形．理由如下：在△ BAD 与△ BCE 中，
∵∠B=∠B（公共角），∠BAD=∠BCE，BD=BE，∴△BAD≌△BCE（AAS），

∴BA=BC，∠BAD=∠BCE，∴∠BAC=∠BCA，∴∠BAC﹣∠BAD=∠BCA

﹣∠BCE，即∠FAC=∠FCA．∴AF=CF，∴△AFC 是等腰三角形。

【解析】要判断△AFC 的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC 和∠FCA 的关系．因为
∠BAD=∠BCE，因此我们只比较∠BAC 和∠BCA 的关系即可．根据题中的条件：BD=BE，∠BAD=∠BCE，

△BDA 和△BEC 又有一个公共角，因此两三角形全等，那么 AB=AC，于是∠BAC=∠BCA，由此便可推导出∠
FAC=∠FCA，那么△AFC 是等腰三角形．

【例 3】△NKM 与△ABC 是两块完全相同的 45°的三角尺，将△NKM 的直角顶点 M 放在△ABC 的斜边 AB 的中点处，且 MK 经过点 C，设 AC=a．则两个三角尺的重叠部分△ACM 的周长是 ．
【答案】∵∠CAM=45°，∠AMC=90°，∴△ACM 是等腰直角三角形，∵AC=a，
∴AM=CM= 2 AC= 2 a，∴重叠部分△ACM 周长=a+ 2 a+ 2 a=（1+ ）a．
2 2 2 2
【解析】等腰直角三角形直角边等于斜边的 2 倍，判断出阴影部分三角形是等腰直角三角形是解题的关键．
2

【例 4】如图，△ABD 与△AEC 都是等边三角形，AB≠AC．下列结论：①BE=CD；
②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO，正确的是 ．

【答案】①②
【解析】∵△ABD 与△ AEC 都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，

∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，

ì AD = AB
í
在△ DAC 和△ BAE 中，ïÐDAC = ÐBAE ，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，∵∠BOD=180°
î
ï AC = AE

﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE=180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC
=120°﹣（∠ODB+∠ADC）=120°﹣60°=60°，∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；
∵△ABD 与△ AEC 都是等边三角形，∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，∴说
∠BDO=∠CEO 错误，∴③错误；

【例 5】如图，在等边△ABC 的边 BC 上任取一点 D，作∠ADE=60°，DE 交∠C 的外角平分线于 E，则△ADE
是 三角形．

【答案】等边．

【解析】过 D 作 AC 的平行线交 AB 于 P，∴△BDP 为等边三角形，BD=BP，
∴AP=CD，∵∠BPD 为△ ADP 的外角，∴∠ADP+∠DAP=∠BPD=60°。
而∠ADP+∠EDC=180°﹣∠BDP﹣∠ADE=60°，∴∠ADP+∠DAP=∠ADP+∠EDC=60°

ìÐDAP = ÐEDC
í
∴∠DAP=∠EDC，在△ ADP 和△ DEC 中， ï AP = DC ，∴△ADP≌△DEC（ASA），
î
ïÐAPD = ÐDCE

∴AD=DE，∵∠ADE=60°，∴△ADE 是等边三角形．

【例 6】等边三角形 ABC 的边长是 6cm，BD 是中线，延长 BC 至 E，使 CE=CD，连接 DE，则 DE 的长

是 cm．
【答案】3 3 ． A
【解析】∵△ABC 是等边三角形，BD 是中线，

∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°．又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED， B C E
∴∠CDE=∠CED= 1 ∠BCD=30°．∴∠DBC=∠CED．∴DB=DE．
2

∵等边三角形 ABC 的边长是 6cm，∴DE=BD= 3 ．

1. 已知等腰三角形的一个内角为 40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）

A．
40°
B．
100°
C．
40°或 100°
D．
70°或 50°
A．
BD 平分∠ABC
B．
D 是 AC 的中点
C．
AD=BD=BC
D．
△ BDC 的周长等于 AB+BC

2. 如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠A=36°，AB 的中垂线 DE 交 AC 与 D，交 AB 于 E，下列论述错误的是（ ）
3. 已知实数 x，y 满足 x - 4 + = 0 ，求以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长（ ）

A．
20 或 16
B．
20
C．
16
D．
以上答案均不对

A．
点 F 在 BC 边的垂直平分线上
B．
点 F 在∠BAC 的平分线上
C．
△ BCF 是等腰三角形
D．
△ BCF 是直角三角形

4. 如图，△ ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F，则下列结论正确的是（ ）
5. 如图，四边形 ABCD 中，BD＞AC，∠ACB=∠DBC，∠BAC+∠BDC=180°，E 为 BD 上一点，BE=AC，判断△ EDC 的形状，并证明你的结论．

1. 如图，设在一个宽度为 w 的小巷内，一个梯子长为 a，梯子的脚位于 A 点，将梯子的顶端放在一堵墙上 Q 点时，Q 离开地面的高度为 k，梯子的倾斜角为 45°；将该梯子的顶端放在另一堵墙上 R 点时，R 点离开地面的高度为 h，且此时梯子倾斜角为 75°， 则小巷宽度 w=（ ）

A．
h
B．
k
C．
a
D．
h + k
2

2. 如图，轴对称图形 ABCDEFG 的面积为 56，∠A=90°，则点 D 的坐标是
（ ）

A．
（0，6）
B．
（0，6.5）
C．
（0，7）
D．
（0，7.5）

3. 已知 Rt△ ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点 D 是斜边的中点，经过点 C 引一
条直线 l（不与 AC、BC 重合并且不经过点 D）操作：经过点 A 作 AE⊥l，经过点 B 作 BF⊥l，连接 DE、DF， 猜想△ DEF 的形状并证明．

4. 如图，在长方形 ABCD 中，AB=12cm，BC=8cm，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以 2cm/s 的速度向终点 B 匀速运动；动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 以 1cm/s 的速度向终点 C 匀速运动；两点同时出发多少秒时，△ PBQ 是等腰三角形？
5. 如图，过等边△ ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于 E，Q 为 BC 延长线上一点，且 PA=CQ，连 PQ 交
AC 边于 D．（1）求证：PD=DQ；（2）若△ ABC 的边长为 1，求 DE 的长．

6. 如图，正三角形 ABC 的三边表示三面镜子，BP= 1
3

AB=1，一束光线从点 P 发射至

BC 上 R 点，且∠BPR=60°．光线依次经 BC 反射，AC 反射，AB 反射„„一直继续下去．当光线第一次回到点 P 时，这束光线所经过的路线的总长为（ ）

A．
6
B．
9
C．
9 3
D．
27

7. 在四边形 ABCD 中，∠DAB=∠CBA，∠CDA=90°，∠BCD=78°，AB=2AD，则∠CAD 的度数为（ ）

A．
60°
B．
66°
C．
72°
D．
80°

8. 在△ ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D 是线段 BC 上的一个动点（不与点 B 重合）．DE⊥BE 于 E，∠EBA=
1 ∠ACB，DE 与 AB 相交于点 F．
2
（1） 当点 D 与点 C 重合时（如图 1），探究线段 BE 与 FD 的数量关系，并加以证明；

（2） 当点 D 与点 C 不重合时（如图 2），试判断（1）中的猜想是否仍然成立，请说明理由．