2022年成都市中考数学试卷(a卷).docx

2022年四川省成都市中考数学试卷〔A卷〕
一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕
1．〔3分〕 九章算术 中注有“今两算得失相反，要令正负以名之〞，意思是：今有两数假设其意义相反，那么分别叫做正数与负数，假设气温为零上10℃记作+10℃，那么﹣3℃表示气温为〔　　〕
A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃
2．〔3分〕如下列图的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是〔　　〕
A． B． C． D．
3．〔3分〕总投资647亿元的西成高铁预计2022年11月竣工，届时成都到西安只需3小时，上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实，用科学记数法表示647亿元为〔　　〕

4．〔3分〕二次根式中，x的取值范围是〔　　〕
A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜1
5．〔3分〕以下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是〔　　〕
A． B． C． D．
6．〔3分〕以下计算正确的选项是〔　　〕
A．a5+a5=a10 B．a7÷a=a6 C．a3•a2=a6 D．〔﹣a3〕2=﹣a6
7．〔3分〕学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等〞的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：
得分〔分〕
60
70
80
90
100
人数〔人〕
7
12
10
8
3
那么得分的众数和中位数分别为〔　　〕
A．70分，70分 B．80分，80分 C．70分，80分 D．80分，70分
8．〔3分〕如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，假设OA：OA′=2：3，那么四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为〔　　〕
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
9．〔3分〕x=3是分式方程﹣=2的解，那么实数k的值为〔　　〕
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
10．〔3分〕在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如下列图，以下说法正确的选项是〔　　〕
A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0
C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜0
二、填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分〕
11．〔4分〕〔﹣1〕0=．
12．〔4分〕在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，那么∠A的度数为．
13．〔4分〕如图，正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A〔2，1〕，当x＜2时，y1y2．〔填“＞〞或“＜〞〕．
14．〔4分〕如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，假设DQ=2QC，BC=3，那么平行四边形ABCD周长为．
三、解答题〔本大题共6小题，共54分〕
15．〔12分〕〔1〕计算：|﹣1|﹣+2sin45°+〔〕﹣2；
〔2〕解不等式组：．
16．〔6分〕化简求值：÷〔1﹣〕，其中x=﹣1．
17．〔8分〕随着经济的快速开展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了局部学生，调查结果分为“非常了解〞“了解〞“了解较少〞“不了解〞四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．
〔1〕本次调查的学生共有人，估计该校1200名学生中“不了解〞的人数是人；
〔2〕“非常了解〞的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，假设从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
18．〔8分〕科技改变生活， 导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．
19．〔10分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A〔a，﹣2〕，B两点．
〔1〕求反比例函数的表达式和点B的坐标；
〔2〕P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，假设△POC的面积为3，求点P的坐标．
20．〔12分〕如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
〔1〕求证：DH是圆O的切线；
〔2〕假设A为EH的中点，求的值；
〔3〕假设EA=EF=1，求圆O的半径．
四、填空题〔本大题共5小题，每题4分，共20分〕
21．〔4分〕如图，数轴上点A表示的实数是．
22．〔4分〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根，且x12﹣x22=10，那么a=．
23．〔4分〕⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如下列图的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，那么=．
24．〔4分〕在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P〔x，y〕，我们把点P′〔，〕称为点P的“倒影点〞，直线y=﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y=的图象上．假设AB=2，那么k=．
25．〔4分〕如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，假设原正方形纸片的边长为6cm，那么FG=cm．
五、解答题〔本大题共3小题，共30分〕
26．〔8分〕随着地铁和共享单车的开展，“地铁+单车〞已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x〔单位：千米〕，乘坐地铁的时间y1〔单位：分钟〕是关于x的一次函数，其关系如下表：
地铁站
A
B
C
D
E
x〔千米〕
8
9
10
11.5
13
y1〔分钟〕
18
20
22
25
28
〔1〕求y1关于x的函数表达式；
〔2〕李华骑单车的时间〔单位：分钟〕也受x的影响，其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短并求出最短时间．
27．〔10分〕问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，那么D为BC的中点，∠BAD=∠BAC=60°，于是==；
迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．
①求证：△ADB≌△AEC；
②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．
①证明△CEF是等边三角形；
②假设AE=5，CE=2，求BF的长．
28．〔10分〕如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D〔0，4〕，AB=4，设点F〔m，0〕是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．
〔1〕求抛物线C的函数表达式；
〔2〕假设抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．
〔3〕如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形假设能，求出m的值；假设不能，请说明理由．
2022年四川省成都市中考数学试卷〔A卷〕
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕
1．〔3分〕〔2022•成都〕 九章算术 中注有“今两算得失相反，要令正负以名之〞，意思是：今有两数假设其意义相反，那么分别叫做正数与负数，假设气温为零上10℃记作+10℃，那么﹣3℃表示气温为〔　　〕
A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：假设零上记为正，那么零下就记为负，直接得出结论即可．
【解答】解：假设气温为零上10℃记作+10℃，那么﹣3℃表示气温为零下3℃．
应选：B．
【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，那么和它意义相反的就为负．
2．〔3分〕〔2022•成都〕如下列图的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看一层三个小正方形，
应选：C．
【点评】此题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
3．〔3分〕〔2022•成都〕总投资647亿元的西成高铁预计2022年11月竣工，届时成都到西安只需3小时，上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实，用科学记数法表示647亿元为〔　　〕

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

应选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．〔3分〕〔2022•成都〕二次根式中，x的取值范围是〔　　〕
A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜1
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x﹣1≥0，
∴x≥1，
应选〔A〕
【点评】此题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，此题属于根底题型．
5．〔3分〕〔2022•成都〕以下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．
应选D．
【点评】此题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两局部重合．
6．〔3分〕〔2022•成都〕以下计算正确的选项是〔　　〕
A．a5+a5=a10 B．a7÷a=a6 C．a3•a2=a6 D．〔﹣a3〕2=﹣a6
【分析】利用同底数幂的乘法和除法法那么以及合并同类项的法那么运算即可．
【解答】解：A．a5+a5=2a5，所以此选项错误；
B．a7÷a=a6，所以此选项正确；
C．a3•a2=a5，所以此选项错误；
D．〔﹣a3〕2=a6，所以此选项错误；
应选B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法、除法、幂的乘方及合并同类项等，关键是熟记，同底数幂的除法法那么：底数不变，指数相减；合并同类项的法那么：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法那么：底数不变，指数相乘．
7．〔3分〕〔2022•成都〕学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等〞的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：
得分〔分〕
60
70
80
90
100
人数〔人〕
7
12
10
8
3
那么得分的众数和中位数分别为〔　　〕
A．70分，70分 B．80分，80分 C．70分，80分 D．80分，70分
【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．
【解答】解：70分的有12人，人数最多，故众数为70分；
处于中间位置的数为第20、21两个数，都为80分，中位数为80分．
应选：C．
【点评】此题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大〔或从大到小〕重新排列后，最中间的那个数〔最中间两个数的平均数〕，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
8．〔3分〕〔2022•成都〕如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，假设OA：OA′=2：3，那么四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为〔　　〕
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′=2：3，
∴DA：D′A′=OA：OA′=2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：〔〕2=，
应选：A．
【点评】此题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．
9．〔3分〕〔2022•成都〕x=3是分式方程﹣=2的解，那么实数k的值为〔　　〕
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】将x=3代入原方程即可求出k的值．
【解答】解：将x=3代入﹣=2，
∴
解得：k=2，
应选〔D〕
【点评】此题考查一元一次方程的解，解题的关键是将x=3代入原方程中，此题属于根底题型．
10．〔3分〕〔2022•成都〕在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如下列图，以下说法正确的选项是〔　　〕
A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0
C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜0
【分析】首先根据图象中抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点的位置来判断出a、b、c的位置，进而判断各结论是否正确．
【解答】解：根据二次函数的图象知：
抛物线开口向上，那么a＞0；
抛物线的对称轴在y轴右侧，那么x=﹣＞0，即b＜0；
抛物线交y轴于负半轴，那么c＜0；
∴abc＞0，
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
应选B．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，由图象找出有关a，b，c的相关信息以及抛物线与x轴交点情况，是解题的关键．
二、填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分〕
11．〔4分〕〔2022•成都〕〔﹣1〕0=　1　．
【分析】直接利用零指数幂的性质求出答案．
【解答】解：〔﹣1〕0=1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质，正确把握定义是解题关键．
12．〔4分〕〔2022•成都〕在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，那么∠A的度数为　40°　．
【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，
∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2x+3x+4x=180°，
解得：x=20°，
∴∠A的度数为：40°．
故答案为：40°．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确表示出各角度数是解题关键．
13．〔4分〕〔2022•成都〕如图，正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A〔2，1〕，当x＜2时，y1＜y2．〔填“＞〞或“＜〞〕．
【分析】由图象可以知道，当x=2时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性即可得到结论．
【解答】解：由图象知，当x＜2时，y2的图象在y1上右，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】此题考查了两条直线相交与平行，正确的识别图象是解题的关键．
14．〔4分〕〔2022•成都〕如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，假设DQ=2QC，BC=3，那么平行四边形ABCD周长为　15　．
【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ=∠BAQ，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出DQ=AD，进而可得出结论．
【解答】解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，
∴∠DAQ=∠BAQ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，
∴∠DAQ=∠DQA，
∴△AQD是等腰三角形，
∴DQ=AD=3．
∵DQ=2QC，
∴QC=DQ=，
∴CD=DQ+CQ=3+=，
∴平行四边形ABCD周长=2〔DC+AD〕=2×〔+3〕=15．
故答案为：15．
【点评】此题考查的是作图﹣根本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
三、解答题〔本大题共6小题，共54分〕
15．〔12分〕〔2022•成都〕〔1〕计算：|﹣1|﹣+2sin45°+〔〕﹣2；
〔2〕解不等式组：．
【分析】〔1〕原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂法那么计算即可得到结果．
〔2〕分别求得两个不等式的解集，然后取其公共局部即可．
【解答】解：〔1〕原式=﹣1﹣2+2×+4
=﹣1﹣2++4
=3；
〔2〕，
①可化简为2x﹣7＜3x﹣3，
﹣x＜4，
x＞﹣4，
②可化简为2x≤1﹣3，那么x≤﹣1．
不等式的解集是﹣4＜x≤﹣1．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值．熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
16．〔6分〕〔2022•成都〕化简求值：÷〔1﹣〕，其中x=﹣1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法那么计算，同时利用除法法那么变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值．
【解答】解：÷〔1﹣〕=•=，
∵x=﹣1，
∴原式==．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
17．〔8分〕〔2022•成都〕随着经济的快速开展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了局部学生，调查结果分为“非常了解〞“了解〞“了解较少〞“不了解〞四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．
〔1〕本次调查的学生共有　50　人，估计该校1200名学生中“不了解〞的人数是　360　人；
〔2〕“非常了解〞的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，假设从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【分析】〔1〕用“非常了解〞人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
〔2〕用总人数乘以“不了解〞人数所占的百分比即可得出答案；
〔3〕先画树状图展示所有12个等可能的结果数，再找出恰好是一位男同学和一位女同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：〔1〕4÷8%=50〔人〕，
1200×〔1﹣40%﹣22%﹣8%〕=360〔人〕；
故答案为：50，360；
〔2〕画树状图，共有12根可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8个，
∴P〔恰好抽到一男一女的〕==．
【点评】此题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
18．〔8分〕〔2022•成都〕科技改变生活， 导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．
【分析】过B作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长．
【解答】解：过B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，AD=AB•cos∠BAD=4cos60°=4×=2〔千米〕，
BD=AB•sin∠BAD=4×=2〔千米〕，
∵△BCD中，∠CBD=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD=BD=2〔千米〕，
∴BC=BD=2〔千米〕．
答：B，C两地的距离是2千米．
【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
19．〔10分〕〔2022•成都〕如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A〔a，﹣2〕，B两点．
〔1〕求反比例函数的表达式和点B的坐标；
〔2〕P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，假设△POC的面积为3，求点P的坐标．
【分析】〔1〕把A〔a，﹣2〕代入y=x，可得A〔﹣4，﹣2〕，把A〔﹣4，﹣2〕代入y=，可得反比例函数的表达式为y=，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；
〔2〕过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，先设P〔m，〕，那么C〔m，m〕，根据△POC的面积为3，可得方程m×|m﹣|=3，求得m的值，即可得到点P的坐标．
【解答】解：〔1〕把A〔a，﹣2〕代入y=x，可得a=﹣4，
∴A〔﹣4，﹣2〕，
把A〔﹣4，﹣2〕代入y=，可得k=8，
∴反比例函数的表达式为y=，
∵点B与点A关于原点对称，
∴B〔4，2〕；
〔2〕如下列图，过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，
设P〔m，〕，那么C〔m，m〕，
∵△POC的面积为3，
∴m×|m﹣|=3，
解得m=2或2，
∴P〔2，〕或〔2，4〕．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
20．〔12分〕〔2022•成都〕如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
〔1〕求证：DH是圆O的切线；
〔2〕假设A为EH的中点，求的值；
〔3〕假设EA=EF=1，求圆O的半径．
【分析】〔1〕根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，那么DH⊥OD，DH是圆O的切线；
〔2〕如图2，先证明∠E=∠B=∠C，那么H是EC的中点，设AE=x，EC=4x，那么AC=3x，由OD是△ABC的中位线，得：OD=AC=，证明△AEF∽△ODF，列比例式可得结论；
〔3〕如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，证明DF=OD=r，那么DE=DF+EF=r+1，BD=CD=DE=r+1，证明△BFD∽△EFA，列比例式为：，那么=，求出r的值即可．
【解答】证明：〔1〕连接OD，如图1，
∵OB=OD，
∴△ODB是等腰三角形，
∠OBD=∠ODB①，
在△ABC中，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB②，
由①②得：∠ODB=∠OBD=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∴DH是圆O的切线；
〔2〕如图2，在⊙O中，∵∠E=∠B，
∴由〔1〕可知：∠E=∠B=∠C，
∴△EDC是等腰三角形，
∵DH⊥AC，且点A是EH中点，
设AE=x，EC=4x，那么AC=3x，
连接AD，那么在⊙O中，∠ADB=90°，AD⊥BD，
∵AB=AC，
∴D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，OD=AC=×3x=，
∵OD∥AC，
∴∠E=∠ODF，
在△AEF和△ODF中，
∵∠E=∠ODF，∠OFD=∠AFE，
∴△AEF∽△ODF，
∴，
∴==，
∴=；
〔3〕如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，
∵EF=EA，
∴∠EFA=∠EAF，
∵OD∥EC，
∴∠FOD=∠EAF，
那么∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD，
∴DF=OD=r，
∴DE=DF+EF=r+1，
∴BD=CD=DE=r+1，
在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB，
∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE，
∴BF=BD，△BDF是等腰三角形，
∴BF=BD=r+1，
∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣〔1+r〕=r﹣1，
在△BFD和△EFA中，
∵，
∴△BFD∽△EFA，
∴，
∴=，
解得：r1=，r2=〔舍〕，
综上所述，⊙O的半径为．
【点评】此题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为r，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题．
四、填空题〔本大题共5小题，每题4分，共20分〕
21．〔4分〕〔2022•成都〕如图，数轴上点A表示的实数是﹣1　．
【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数．
【解答】解：由图形可得：﹣1到A的距离为=，
那么数轴上点A表示的实数是：﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出﹣1到A的距离是解题关键．
22．〔4分〕〔2022•成都〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根，且x12﹣x22=10，那么a=．
【分析】由x12﹣x22=0得x1+x2=0或x1﹣x2=0；当x1+x2=0时，运用两根关系可以得到﹣2m﹣1=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m的值．
【解答】解：由两根关系，得根x1+x2=5，x1•x2=a，
由x12﹣x22=10得〔x1+x2〕〔x1﹣x2〕=10，
假设x1+x2=5，即x1﹣x2=2，
∴〔x1﹣x2〕2=〔x1+x2〕2﹣4x1•x2=25﹣4a=4，
∴a=，
故答案为：．
【点评】此题考查了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
23．〔4分〕〔2022•成都〕⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如下列图的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，那么=．
【分析】直接利用圆的面积求法结合正方形的性质得出P1，P2的值即可得出答案．
【解答】解：设⊙O的半径为1，那么AD=，
故S圆O=π，
阴影局部面积为：π×2+×﹣π=2，
那么P1=，P2=，
故=．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率，正确得出各局部面积是解题关键．
24．〔4分〕〔2022•成都〕在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P〔x，y〕，我们把点P′〔，〕称为点P的“倒影点〞，直线y=﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y=的图象上．假设AB=2，那么k=　﹣．
【分析】设点A〔a，﹣a+1〕，B〔b，﹣b+1〕〔a＜b〕，那么A′〔，〕，B′〔，〕，由AB=2可得出b=a+2，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、a、b的方程组，解之即可得出k值．
【解答】解：设点A〔a，﹣a+1〕，B〔b，﹣b+1〕〔a＜b〕，那么A′〔，〕，B′〔，〕，
∵AB=2，
∴b﹣a=2，即b=a+2．
∵点A′，B′均在反比例函数y=的图象上，
∴，
解得：k=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于k、a、b的方程组是解题的关键．
25．〔4分〕〔2022•成都〕如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，假设原正方形纸片的边长为6cm，那么FG=cm．
【分析】作GM⊥AC′于M，A′N⊥AD于N，AA′交EC′于K．易知MG=AB=AC′，首先证明△AKC′≌△GFM，可得GF=AK，由AN=4.5cm，A′N=1.5cm，C′K∥A′N，推出=，可得=，推出C′K=1cm，在Rt△AC′K中，根据AK=，求出AK即可解决问题．
【解答】解：作GM⊥AC′于M，A′N⊥AD于N，AA′交EC′于K．易知MG=AB=AC′，
∵GF⊥AA′，
∴∠AFG+∠FAK=90°，∠MGF+∠MFG=90°，
∴∠MGF=∠KAC′，
∴△AKC′≌△GFM，
∴GF=AK，
∵AN=4.5cm，A′N=1.5cm，C′K∥A′N，
∴=，
∴=，
∴C′K=1cm，
在Rt△AC′K中，AK==cm，
∴FG=AK=cm，
故答案为．
【点评】此题考查翻折变换、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
五、解答题〔本大题共3小题，共30分〕
26．〔8分〕〔2022•成都〕随着地铁和共享单车的开展，“地铁+单车〞已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x〔单位：千米〕，乘坐地铁的时间y1〔单位：分钟〕是关于x的一次函数，其关系如下表：
地铁站
A
B
C
D
E
x〔千米〕
8
9
10
11.5
13
y1〔分钟〕
18
20
22
25
28
〔1〕求y1关于x的函数表达式；
〔2〕李华骑单车的时间〔单位：分钟〕也受x的影响，其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短并求出最短时间．
【分析】〔1〕根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y1关于x的函数表达式；
〔2〕设李华从文化宫回到家所需的时间为y，那么y=y1+y2=x2﹣9x+80，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．
【解答】解：〔1〕设y1=kx+b，将〔8，18〕，〔9，20〕，代入得：
，
解得：，
故y1关于x的函数表达式为：y1=2x+2；
〔2〕设李华从文化宫回到家所需的时间为y，那么
y=y1+y2=2x+2+x2﹣11x+78=x2﹣9x+80，
∴当x=9时，y有最小值，ymin==39.5，
答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值最小值，在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
27．〔10分〕〔2022•成都〕问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，那么D为BC的中点，∠BAD=∠BAC=60°，于是==；
迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．
①求证：△ADB≌△AEC；
②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．
①证明△CEF是等边三角形；
②假设AE=5，CE=2，求BF的长．
【分析】迁移应用：①如图②中，只要证明∠DAB=∠CAE，即可根据SAS解决问题；
②结论：CD=AD+BD．由△DAB≌△EAC，可知BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH=HE，由CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD，即可解决问题；
拓展延伸：①如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．由BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出A、D、E、C四点共圆，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出△EFC是等边三角形；
②由AE=5，EC=EF=2，推出AH=HE=2.5，FH=4.5，在Rt△BHF中，由∠BFH=30°，可得=cos30°，由此即可解决问题．
【解答】迁移应用：①证明：如图②
∵∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠DAB=∠CAE，
在△DAE和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC，
②解：结论：CD=AD+BD．
理由：如图2﹣1中，作AH⊥CD于H．
∵△DAB≌△EAC，
∴BD=CE，
在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=AD，
∵AD=AE，AH⊥DE，
∴DH=HE，
∵CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD．
拓展延伸：①证明：如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴△ABD，△BDC是等边三角形，
∴BA=BD=BC，
∵E、C关于BM对称，
∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，
∴A、D、E、C四点共圆，
∴∠ADC=∠AEC=120°，
∴∠FEC=60°，
∴△EFC是等边三角形，
②解：∵AE=5，EC=EF=2，
∴AH=HE=2.5，FH=4.5，
在Rt△BHF中，∵∠BFH=30°，
∴=cos30°，
∴BF==3．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
28．〔10分〕〔2022•成都〕如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D〔0，4〕，AB=4，设点F〔m，0〕是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．
〔1〕求抛物线C的函数表达式；
〔2〕假设抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．
〔3〕如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形假设能，求出m的值；假设不能，请说明理由．
【分析】〔1〕由题意抛物线的顶点C〔0，4〕，A〔﹣2，0〕，设抛物线的解析式为y=ax2+4，把A〔2，0〕代入可得a=﹣，由此即可解决问题；
〔2〕由题意抛物线C′的顶点坐标为〔2m，﹣4〕，设抛物线C′的解析式为y=〔x﹣2m〕2﹣4，由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，由