(人教版)初中数学九上-期末专项复习02—一元二次方程.docx

期末专项复习—一元二次方程
考点1 巧用一元二次方程的定义及相关概念求值
题型1 利用一元二次方程的定义确定字母的取值
1.已知是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知关于的方程.
（1）取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程；

（2）取何值时，它是一元一次方程？

题型2 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值
1.若一元二次方程没有常数项，则的值为________.
2.已知关于的一元二次方程的常数项为0，求的值.

题型3 利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值
1.已知关于的方程的一个根是，则的值为（ ）
A. B.0 C.1 D.2
2.已知关于的一元二次方程的一个根为0，求的值.

3.已知实数是一元二次方程的根，求代数式的值.

题型4 利用一元二次方程根的概念解决探究性问题
1.已知，是方程的两个根，是否存在实数使的值等于8？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

考点2 一元二次方程的解法归类
类型1 限定方法解一元二次方程
方法1 形如的一元二次方程用直接开平方法求解
1.方程的解为（ ）
A. B. C. D.
2.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（ ）
A. B.
C. D.
方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解
1.用配方法解方程，配方后的方程变为（ ）
A. B.
C. D.
2.解方程：.

3.已知，求的值.

方法3 能化成形如的一元二次方程用因式分解法求解
1.一元二次方程的根是（ ）
A. B.0 C.1和2 D.和
2．解下列一元二次方程：
（1）；

（2）；

（3）.

方法4 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解
1.用公式法解一元二次方程，方程的解应是（ ）
A. B.
C. D.
2.用公式法解下列方程.
（1）； （2）.

类型2 选择合适的方法解一元二次方程
1.方程的解为（ ）
A. B.
C.， D.，
2.一元二次方程的根是（ ）
A. B. C.和 D.和
3.方程的解是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
4.解下列方程.
（1）； （2）.

类型3 用特殊方法解一元二次方程
方法1 构造法
1.解方程：.

2.若，，满足，，求的值.

方法2 换元法
.整体换元
1.若，则的值为（ ）
A.或 B.或
C.或 D.或
2.已知，则的值是（ ）
A.或 B.或
C.或 D.或
3.解方程：.

4.解方程：.

b.降次换元
1.解方程：.

c.倒数换元
1.解方程：.

方法3 特殊值法
1.解方程：.

考点3 根的判别式的四种常见应用
题型1 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
1.已知关于的方程，下列说法正确的是（ ）
A.当时，方程无解
B.当时，方程有一个实数解
C.当时，方程有两个相等的实数解
D.当时，方程总有两个不相等的实数解
2.已知方程没有实数根，其中是实数，试判断方程有无实数根.

题型2 利用根的判别式求字母的值或取值范围
1.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）求的取值范围；

（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值.

2．已知关于的一元二次方程，
（1）证明：不论为何值，方程总有实数根；

（2）为何整数时，方程有两个不相等的正整数根.

题型3 利用根的判别式求代数式的值
1.已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值.

2.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值.

题型4 利用根的判别式确定三角形的形状
1.已知，，是三角形的三边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状.

2.已知，，是三角形的三边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状.

考点4 一元二次方程与三角形的综合
题型1 一元二次方程与三角形三边关系的综合
1.三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程的解，则第三边的长为（ ）
A.3 B.4 C.3或4 D.无法确定
2.根据一元二次方程根的定义，解答下列问题.
一个三角形两边长分别为和，第三边长为，且整数满足，求三角形的周长.

题型2 一元二次方程与直角三角形的结合
1.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长为________.
2.已知，，分别是的三边，当时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由.

3.已知的三边，，中，，，又已知关于的方程的根恰为的值，求的面积.

题型3 一元二次方程与等腰三角形的综合
1.等腰三角形一条边的长为3，另两条边的长是关于的一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A.27 B.36 C.27或36 D.18
2.已知关于的一元二次方程，其中，，分别为的三边的长.
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；

（3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

考点5 根与系数的关系的四种应用类型
题型1 利用根与系数的关系求代数式的值
1.设方程的两根为，，不解方程求下列各式的值.
（1）； （2）； （3）.

题型2 利用根与系数的关系构造一元二次方程
1.构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程各根的负倒数.

题型3 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
1.已知关于的一元二次方程的两根的平方和是，求的值.

2.已知关于的方程.
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根.

题型4 巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性
4.已知，是一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使
成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

考点6：可化为一元二次方程的分式方程的应用
题型1 营销问题
1.某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？（说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价）

题型2 行程问题
3.从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达
乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？

应用3 工程问题
4.某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天
才能完成此项工程.
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天；

（2）若甲工程队单独施工天后，再由甲、乙两工程队合作________天（用含的代数式表示）可完成此项工程；
（3）如果甲工程队施工每天需收取施工费1万元，乙工程队施工每天需收取施工费2.5万元，那么甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？

考点7 几种常见的热门考点
题型1 一元二次方程的根
1.若一元二次方程有一根为，则________.
2.若关于的一元二次方程有一根为，且，求的值.

题型2 一元二次方程的解法
1.用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A. B. C. D.
2.一元二次方程的解是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3.选择适当的方法解下列方程：
（1）；

（2）.

题型3 一元二次方程根的判别式
1.若关于的方程不存在实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.在等腰三角形中，三边长分别为，，.其中，若关于的方程
有两个相等的实数根，求的周长.

题型4 一元二次方程根与系数的关系
1.已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（ ）
A. B. C.或 D.或
2.关于的方程有两个不相等的实数根，，且有，求的值.

3.设，是关于的一元二次方程的两个实数根，当为何值时，有最小值？最小值是多少？

题型5 一元二次方程的应用
1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？

2.某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个图形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点，出发，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为.

（1）甲运动后的路程是多少？

（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？

（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？

题型6 新定义问题
1.若，是关于的方程的两个实数根，且（是整数），则称方程为“偶系二次方程”．如方程，，，，都是“偶系二次方程”.
判断方程是否是“偶系二次方程”，并说明理由.

初中数学 九年级上册 13 / 13