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专题强化训练(二) 根本初等函数(Ⅰ)
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．以下运算正确的选项是( )
A.＝m7·n(m>0，n>0)
B.＝
C.＝(x＋y)(x>0，y>0)
D.＝
D [＝m7·n－7(m>0，n>0)，故A错；＝＝，故B错；与不同，故C错．应选D.]
2．函数y＝lg|x－1|的图象是( )
A B C D
A [因为当x＝1时函数无意义，故排除选项B、D，
又当x＝0时，y＝lg 1＝0，故排除选项C.]
3．函数y＝的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4)
C [由4x>0可知16－4x<16，故的值域为[0,4)．]
4．假设loga<1(a>0，且a≠1)，那么实数a的取值范围为( )
A. B.
C.∪(1，＋∞) D.∪
C [当a>1时，loga<logaa，即a>，此时a>1；
当0<a<1时，loga<logaa，即a<，此时0<a<.
综上可知0<a<或a>1，选C.]
5．当0<x≤时，logax>8x恒成立，那么实数a的取值范围是( )
A. B.
C．(1，) D．(，2)
B [
∵logax>8x，
∴logax>0，而0<x≤，∴0<a<1，作出y＝8x与y＝logax的大致图象如下图，那么只需满足loga>8＝2＝logaa2，解得a>，∴<a<1，应选B.]
二、填空题
6．函数y＝2＋ax－2(a>0且a≠1)的图象恒过定点，它的坐标为________．
(2,3) [当x－2＝0时，y＝2＋a0＝2＋1＝3，∴图象恒过定点(2,3)．]
7．假设函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，那么a＝______.
1 [∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.]
8．以下命题：
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②任取x>0，均有>；
③在同一坐标系中，y＝log2x与y＝logx的图象关于x轴对称；
④y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．
其中正确的命题的序号是________．
②③ [①可举偶函数y＝x－2，那么它的图象与y轴不相交，故①错；
②n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上递增，那么任取x>0，均有>，故②对；
③由于y＝logx＝－log2x，那么在同一坐标系中，y＝log2x与y＝logx的图象关于x轴对称，故③对；
④可举x1＝－1，x2＝1，那么y1＝－1，y2＝1，不满足减函数的性质，故y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是减函数．故④错．]
三、解答题
9．计算以下各式：
(1)log3＋lg 25＋lg 4＋7log72＋(－9.8)0；
(2)log3(9×272)＋log26－log23＋log43×log316.
[解] (1)原式＝log33＋lg(25×4)＋2＋1
＝＋lg 102＋3＝＋2＋3
＝.
(2)原式＝log3[32×(33)2]＋(log26－log23)＋log43×log342＝log338＋log2＋2＝8＋1＋2＝11.
10．幂函数y＝f(x)的图象过点(8，m)和(9,3)．
(1)求实数m的值；
(2)假设函数g(x)＝af(x)(a>0，a≠1)在区间[16,36]上的最大值等于最小值的两倍，求实数a的值．
[解] (1)设f(x)＝xα，依题意可得9α＝3，
∴α＝，f(x)＝x，
∴m＝f(8)＝8＝2.
(2)g(x)＝a，∵x∈[16,36]，
∴∈[4,6]，
当0<a<1时，g(x)max＝a4，g(x)min＝a6，
由题意得a4＝2a6，解得a＝；
当a>1时，g(x)max＝a6，g(x)min＝a4，
由题意得a6＝2a4，解得a＝.
综上，所求实数a的值为或.
1．二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝的图象可能是( )
A B C D
A [整体看出0<<1，故二次函数的对称轴满足－<－<0，结合图象，选A.]
2．函数f(x)＝在x∈R上单调递减，那么a的范围是( )
A. B.
C. D.
B [假设函数f(x)＝在x∈R上单调递减，
那么解得≤a≤，应选B.]
3．函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，那么a＋b＝________.
－ [当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为增函数，由题意得无解．当0<a<1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为减函数，由题意得解得所以a＋b＝－.]
4．函数y＝log2，以下说法：
①关于原点对称；②关于y轴对称；③过原点．其中正确的选项是________．
①③ [由于函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称，又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称，①正确；因为当x＝0时，y＝0，所以③正确．]
5．函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)假设f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？假设存在，求出a的值；假设不存在，说明理由．
[解] (1)∵f(1)＝1，
∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，
函数f(x)的定义域为(－1,3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，
那么g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．
又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．
(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，
那么h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有解得a＝.
故存在实数a＝使f(x)的最小值为0.
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