资源描述
全等三角形
一、选择题
1. (2022·新疆)如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加以下一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是〔 〕
A．∠A=∠DB．BC=EFC．∠ACB=∠FD．AC=DF
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案．
【解答】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，
∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
应选D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键．
2. (2022·云南)如图，∠ABC=∠BAD，添加以下条件还不能判定△ABC≌△BAD的是〔 〕
A．AC=BDB．∠CAB=∠DBAC．∠C=∠DD．BC=AD
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
【解答】解：由题意，得∠ABC=∠BAD，AB=BA，
A、∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，〔SSA〕三角形不全等，故A错误；
B、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD〔ASA〕，故B正确；
C、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD〔AAS〕，故C正确；
D、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD〔SAS〕，故D正确；
应选：A．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，假设有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角
3. 〔2022·四川广安·3分〕以下说法：
①三角形的三条高一定都在三角形内
②有一个角是直角的四边形是矩形
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形
④两边及一角对应相等的两个三角形全等
⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
其中正确的个数有〔 〕
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
【考点】矩形的判定；三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．
【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题．
【解答】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外．
②错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形．
③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
④错误，理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等．
⑤错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰梯形．
正确的只有③，
应选A．
4．〔2022•浙江省舟山〕如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，那么DE的长是〔 〕
A．B．C．1D．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】过F作FH⊥AE于H，根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE，根据相似三角形的性质得到，于是得到AE=AF，列方程即可得到结论．
【解答】解：过F作FH⊥AE于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，
∴DE=BF，
∴AF=3﹣DE，
∴AE=，
∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°，
∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°，
∴∠DAE=∠AFH，
∴△ADE∽△AFH，
∴，
∴AE=AF，
∴=3﹣DE，
∴DE=，
应选D．
二、填空题
1. 〔2022·四川成都·4分〕如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，那么∠B= 120° ．
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C=∠C′=24°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠B=120°，
故答案为：120°．
2 〔2022·江苏南京〕如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，以下结论
①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC，其中正确结论的序号是_______.
答案：①②③
考点：三角形全等的判定与性质。
解析：由△ABO≌△ADO得：AB＝AD，∠AOB＝∠AOD＝90°，∠BAC＝∠DAC，
又AC＝AC，所以，有△ABC≌△ADC，CB＝CD，所以，①②③正确。
3、(2022广东，15,4分)如图6，矩形ABCD中，对角线AC=，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B’处，那么AB=；
答案：
考点：三角形的全等的性质，等腰三角形的判定与性质。
解析：由折叠知，三角形ABE与三角形AE全等，所以，AB＝A，BE＝E，
∠AE＝∠ABE＝90°
又BC＝3BE，有EC＝2BE，所以，EC＝2E，所以，∠ACE＝30°，∠BAC＝60°，
又由折叠知：∠AE＝∠BAE＝30°，所以，∠EAC＝∠ECA＝30°，
所以，EA＝EC，又∠AE＝90°，由等腰三角形性质，知为AC中点，
所以，AB＝A＝
三、解答题
1．〔2022·黑龙江大庆〕如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．
〔1〕求证：AG=CG．
〔2〕求证：AG2=GE•GF．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据菱形的性质得到AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，推出△ADG≌△CDG，根据全等三角形的性质即可得到结论；
〔2〕由全等三角形的性质得到∠EAG=∠DCG，等量代换得到∠EAG=∠F，求得△AEG∽△FGA，即可得到结论．
【解答】解：〔1〕∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，
∴∠F∠FCD，
在△ADG与△CDG中，，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠EAG=∠DCG，
∴AG=CG；
〔2〕∵△ADG≌△CDG，
∴∠EAG=∠F，
∵∠AGE=∠AGE，
∴△AEG∽△FGA，
∴，
∴AG2=GE•GF．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
2. 〔2022·湖北黄冈〕〔总分值7分〕如图，在ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.
求证：AG=CH
AED
G
H
BFC
〔第17题〕
【考点】平行四边形的判定和性质、三角形全等的判定和性质.
【分析】要证明边相等，考虑运用三角形全等来证明。根据E，F分别是AD，BC的中点，得出AE=DE=AD，CF=BF=BC；运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形〞证明四边形BEDF是平行四边形，从而得到∠BED=∠DFB，再运用等角的补角相等得到∠AEG=∠DFC；最后运用ASA证明△AGE≌△CHF，从而证得AG=CH.
【解答】证明：∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=DE=AD，CF=BF=BC. ………………………………….1分
又∵AD∥BC，且AD=BC.
∴DE∥BF，且DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴∠BED=∠DFB.
∴∠AEG=∠DFC. ………………………………………………5分
又∵AD∥BC，∴∠EAG=∠FCH.
在△AGE和△CHF中
∠AEG=∠DFC
AE=CF
∠EAG=∠FCH
∴△AGE≌△CHF.
∴AG=CH
3．〔2022·湖北十堰〕如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】欲证明AF=DF只要证明△ABF≌△DEF即可解决问题．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠FED，
在△ABF和△DEF中，
，
∴△ABF≌△DEF，
∴AF=DF．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判断和性质，熟练掌握平行线的性质，属于根底题，中考常考题型．
4. 〔2022·湖北咸宁〕〔此题总分值7分〕证明命题“角的一局部线上的点到角的两边的距离相等〞，要根据题意，画出图形，并用符号表示和求证，写出证明过程. 下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的和求证.
：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上.
_____________________________________.
求证：______________________.
请你补全和求证，并写出证明过程.
【考点】全等三角形的判定和性质，命题的证明．
【分析】先补全和求证，再通过AAS证明△PDO≌△PDO全等即可.
【解答】解：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. ……………………….2分
PD=PE. ………………………………………………………….3分
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°…………………………...4分
在△PDO和△PDO中，
∠PDO=∠PEO
∠AOC=∠BOC，
OP=OP
∴△PDO≌△PDO〔AAS〕……….…………….6分
∴PD=PE. …………………………………………………7分
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，命题的证明．补全和求证并运用AAS证明三角形全等是解题的关键.
5. (2022·云南)如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据全等三角形的判定方法SAS，即可证明△ABC≌△CDE，根据全等三角形的性质：得出结论．
【解答】证明：∵点C是AE的中点，
∴AC=CE，
在△ABC和△CDE中，，
∴△ABC≌△CDE，
∴∠B=∠D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，直角三角形还有HL．
6. 〔2022·四川广安·6分〕如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．
【解答】证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAE，CD=BC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．
在Rt△CDF与Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE〔HL〕，
∴DF=BE．
7. 〔2022·四川乐山·9分〕如图9，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、.
求证:.
解析：
是正方形，，.………(3分)
又、分别是、的中点，
，………………………(5分)
，………………………(7分)
.………………………(9分)
8. 〔2022·四川凉山州·8分〕如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O且与BC、AD分别交于点E、F．试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】先猜出AE与CF的关系，然后说明理由即可，由题意可以推出四边形AECF是平行四边形，从而可以推出AE与CF的关系．
【解答】解：AE与CF的关系是平行且相等．
理由：∵在，▱ABCD中，
∴OA=OC，AF∥EC，
∴∠OAF=∠OCE，
在△OAF和△OCE中，
，
∴△OAF≌△OCE〔ASA〕，
∴AF=CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF且AE=CF，
即AE与CF的关系是平行且相等．
9. 〔2022湖北襄阳，19，6分〕如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
〔1〕求证：AB=AC；
〔2〕假设AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】〔1〕先证明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可证明．
〔2〕先证明AD⊥BC，再在RT△ADC中，利用30°角性质设CD=a，AC=2a，根据勾股定理列出方程即可解决问题．
【解答】〔1〕证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在RT△DEB和RT△DFC中，
，
∴△DEB≌△DFC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形30°性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，记住直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，属于中考常考题型．
10. 〔2022湖北孝感，18，8分〕如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】要证明BE=CD，只要证明AB=AC即可，由条件可以求得△AEC和△ADB全等，从而可以证得结论．
【解答】证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC〔ASA〕
∴AB=AC，
又∵AD=AE，
∴BE=CD．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
11. 〔2022吉林长春，22，9分〕感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．
探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】探究：欲证明DB=DC，只要证明△DFC≌△DEB即可．
应用：先证明△DFC≌△DEB，再证明△ADF≌△ADE，结合BD=EB即可解决问题．
【解答】探究：
证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
，
∴△DFC≌△DEB，
∴DC=DB．
应用：解；如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
，
∴△DFC≌△DEB，
∴DF=DE，CF=BE，
在RT△ADF和RT△ADE中，
，
∴△ADF≌△ADE，
∴AF=AE，
∴AB﹣AC=〔AE+BE〕﹣〔AF﹣CF〕=2BE，
在RT△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=45°，BD=a，
∴BE=a，
∴AB﹣AC=a．
故答案为a．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
12. 〔2022,湖北宜昌，18，7分〕杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息聚集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，AB=20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
【考点】全等三角形的应用；平行线之间的距离．
【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABO=∠CDO，由垂直的定义可得∠CDO=90°，易得OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得OD=OB，利用ASA定理可得
△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得结果．
【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，
∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°，
∴∠ABO=90°，即OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD=OB，
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO〔ASA〕，
∴CD=AB=20〔m〕
【点评】此题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．
13. 〔2022·广东梅州〕如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F
分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．
〔1〕求证：BO=DO；
〔2〕假设EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1
时，求AE的长．
考点：平行四边形的性质，三角形例行的判定，两直线平行的性质。
解析：〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB， ………………………1分
∴∠OBE =∠ODF． ………………………2分
在△OBE与△ODF中，
∵
∴△OBE≌△ODF〔AAS〕．………………………3分
∴BO=DO．………………………4分
〔2〕解：∵EF⊥AB，AB∥DC，
∴∠GEA=∠GFD=90°．
∵∠A=45°，
∴∠G=∠A=45°．…………………5分
∴AE=GE……………6分
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠GDO=90°．
∴∠GOD=∠G=45°． ……………7分
∴DG=DO
∴OF=FG= 1 ……………8分
由〔1〕可知，OE= OF=1
∴GE=OE+OF+FG=3
∴AE=3 ……………9分
(此题有多种解法，请参照此评分标准给分.)
14. 〔2022年浙江省温州市〕如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
〔1〕求证：△ADE≌△FCE．
〔2〕假设∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】〔1〕由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可；
〔2〕由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
∵E是▱ABCD的边CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE〔AAS〕；
〔2〕解：∵ADE≌△FCE，
∴AE=EF=3，
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠BAF=90°，
在▱ABCD中，AD=BC=5，
∴DE===4，
∴CD=2DE=8．
15．〔2022.山东省泰安市〕〔1〕：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，假设∠A=60°〔如图①〕．求证：EB=AD；
〔2〕假设将〔1〕中的“点D在线段AB上〞改为“点D在线段AB的延长线上〞，其它条件不变〔如图②〕，〔1〕的结论是否成立，并说明理由；
〔3〕假设将〔1〕中的“假设∠A=60°〞改为“假设∠A=90°〞，其它条件不变，那么的值是多少〔直接写出结论，不要求写解答过程〕
【分析】〔1〕作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；
〔2〕作DF∥BC交AC的延长线于F，同〔1〕证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；
〔3〕作DF∥BC交AC于F，同〔1〕得：△DBE≌△CFD，得出EB=DF，证出△ADF是等腰直角三角形，得出DF=AD，即可得出结果．
【解答】〔1〕证明：作DF∥BC交AC于F，如图1所示：
那么∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，
∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠DBE=120°，∠ADF=∠AFD=60°=∠A，
∴△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，
∴AD=DF，
∵∠DEC=∠DCE，
∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，
在△DBE和△CFD中，，
∴△DBE≌△CFD〔AAS〕，
∴EB=DF，
∴EB=AD；
〔2〕解：EB=AD成立；理由如下：
作DF∥BC交AC的延长线于F，如图2所示：
同〔1〕得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，
又∵∠DBE=∠DFC=60°，
∴在△DBE和△CFD中，，
∴△DBE≌△CFD〔AAS〕，
∴EB=DF，
∴EB=AD；
〔3〕解： =；理由如下：
作DF∥BC交AC于F，如图3所示：
同〔1〕得：△DBE≌△CFD〔AAS〕，
∴EB=DF，
∵△ABC是等腰直角三角形，DF∥BC，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴DF=AD，
∴=，
∴=．
16．〔2022·江苏连云港〕四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
〔1〕求证：△ADE≌△CBF；
〔2〕假设AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．
【分析】〔1〕根据条件得到BF=DE，由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
〔2〕如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF，由平行线的判定得到AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【解答】证明：〔1〕∵BE=DF，
∴BE﹣EF=DF﹣EF，
即BF=DE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在Rt△ADE与Rt△CBF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF；
〔2〕如图，连接AC交BD于O，
∵Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴∠ADE=∠CBF，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
18．〔2022•呼和浩特〕，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．
〔1〕求证：△ACE≌△BCD；
〔2〕求证：2CD2=AD2+DB2．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】〔1〕此题要判定△ACE≌△BCD，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，那么DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因为两角有一个公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD．
〔2〕由〔1〕的论证结果得出∠DAE=90°，AE=DB，从而求出AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2．
【解答】证明：〔1〕∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△AEC≌△BDC〔SAS〕；
〔2〕∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45度．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AD2+AE2=DE2．
由〔1〕知AE=DB，
∴AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2．
19．(2022福州，21,10分)一个平分角的仪器如下列图，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．
【考点】全等三角形的性质．
【分析】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理〔SSS〕证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】证明：在△ABC和△ADC中，有，
∴△ABC≌△ADC〔SSS〕，
∴∠BAC=∠DAC．
【点评】此题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．
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