资源描述
一元二次方程及其应用
一、选择题
1．〔2022·黑龙江大庆〕假设x0是方程ax2+2x+c=0〔a≠0〕的一个根，设M=1﹣ac，N=〔ax0+1〕2，那么M与N的大小关系正确的为〔 〕
A．M＞NB．M=NC．M＜ND．不确定
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得．
【解答】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0〔a≠0〕的一个根，
∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c，
那么N﹣M=〔ax0+1〕2﹣〔1﹣ac〕
=a2x02+2ax0+1﹣1+ac
=a〔ax02+2x0〕+ac
=﹣ac+ac
=0，
∴M=N，
应选：B．
【点评】此题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．
2.〔2022·湖北黄冈〕假设方程3x2-4x-4=0的两个实数根分别为x1, x2，那么x1+ x2=
A. -4 B. 3 C. -D.
【考点】一元二次方程根与系数的关系. 假设x1, x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2= -，x1x2=，反过来也成立.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数，可得出x1+ x2的值.
【解答】解：根据题意，得x1+ x2= -=.
应选：D．
3.(2022·四川自贡)关于x的一元二次方程x2+2x﹣〔m﹣2〕=0有实数根，那么m的取值范围是〔 〕
A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1
【考点】根的判别式．
【专题】探究型．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣〔m﹣2〕=0有实数根，可知△≥0，从而可以求得m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣〔m﹣2〕=0有实数根，
∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×[﹣〔m﹣2〕]≥0，
解得m≥1，
应选C．
【点评】此题考查根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，△≥0．
4. (2022·新疆)一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方组可变形为〔 〕
A．〔x﹣3〕2=14 B．〔x﹣3〕2=4 C．〔x+3〕2=14 D．〔x+3〕2=4
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】先把方程的常数项移到右边，然前方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．
【解答】解：x2﹣6x﹣5=0，
x2﹣6x=5，
x2﹣6x+9=5+9，
〔x﹣3〕2=14，
应选：A．
【点评】此题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半．
5. (2022·云南)一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，那么以下结论正确的选项是〔 〕
A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1+x2=3 D．x1x2=2
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系找出“x1+x2=﹣=3，x1•x2==﹣2〞，再结合四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣=3，x1•x2==﹣2，
∴C选项正确．
应选C．
【点评】此题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出x1+x2=3，x1•x2=﹣2．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
6. 〔2022·四川乐山·3分〕假设为实数，关于的方程的两个非负实数根为、，那么代数式的最小值是
答案：A
解析：依题意，得：
＝＝＝
＝，
又，得，
所以，当＝2时，有最小值－15。
7. 〔2022·四川凉山州·4分〕x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，那么x1﹣x1x2+x2的值是〔 〕
A．B．C．D．
【考点】根与系数的关系．
【分析】由x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，结合根与系数的关系可得出x1+x2=﹣，x1•x2=﹣2，将其代入x1﹣x1x2+x2中即可算出结果．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，
∴x1+x2=﹣=﹣，x1•x2==﹣2，
∴x1﹣x1x2+x2=﹣﹣〔﹣2〕=．
应选D．
8. 〔2022·四川凉山州·4分〕，一元二次方程x2﹣8x+15=0的两根分别是⊙O1和⊙O2的半径，当⊙O1和⊙O2相切时，O1O2的长度是〔 〕
A．2 B．8 C．2或8 D．2＜O2O2＜8
【考点】圆与圆的位置关系；根与系数的关系．
【分析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况讨论求解．
【解答】解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根，
解得⊙O1、⊙O2的半径分别是3和5．
∴①当两圆外切时，圆心距O1O2=3+5=8；
②当两圆内切时，圆心距O1O2=5﹣2=2．
应选C．
9.〔2022·广东广州〕定义新运算，，假设a、b是方程的两根，那么的值为 ( )
A、0 B、1 C、2 D、与m有关
［难易］中等
［考点］新定义运算，一元二次方程
［解析］,因为a,b为方程的两根，所以,化简得,同理,代入上式得原式＝
［参考答案］A
10.〔2022·广东深圳〕给出一种运算：对于函数，规定。例如：假设函数，那么有。函数，那么方程的解是〔 〕
A.B.
C.D.
答案：B
考点：学习新知识，应用新知识解决问题的能力。
解析：依题意，当时，，解得：
11. (2022年浙江省丽水市)以下一元二次方程没有实数根的是〔 〕
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0
【考点】根的判别式．
【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
【解答】解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、△=0﹣4×1×〔﹣1〕=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、△=〔﹣2〕2﹣4×1×〔﹣1〕=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
应选：B．
12. 〔2022年浙江省衢州市〕关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围是〔 〕
A．k≥1 B．k＞1 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
【考点】一元二次方程根的分布．
【分析】根据判别式的意义得到△=〔﹣2〕2+4k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个不相等的实数根，
∴△=〔﹣2〕2+4k＞0，
解得k＞﹣1．
应选：D．
13. 〔2022年浙江省台州市〕有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，那么以下方程中符合题意的是〔 〕
A．x〔x﹣1〕=45 B．x〔x+1〕=45 C．x〔x﹣1〕=45 D．x〔x+1〕=45
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x〔x﹣1〕场，再根据题意列出方程为x〔x﹣1〕=45．
【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x〔x﹣1〕，
∴共比赛了45场，
∴x〔x﹣1〕=45，
应选A．
14．〔2022·山东烟台〕假设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，那么x12﹣x1+x2的值为〔 〕
A．﹣1B．0C．2 D．3
【考点】根与系数的关系．
【分析】由根与系数的关系得出“x1+x2=2，x1•x2=﹣1”，将代数式x12﹣x1+x2变形为x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2，套入数据即可得出结论．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，
∴x1+x2=﹣=2，x1•x2==﹣1．
x12﹣x1+x2=x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2=1+x1+x2=1+2=3．
应选D．
15．〔2022·山东枣庄〕关于x的方程有一个根为-2，那么另一个根为
A．5 B．－1 C．2 D．－5
【答案】B.
【解析】
试题分析：设方程的里一个根为b，根据一元二次方程根与系数的关系可得-2+b=-3，解得b=-1，故答案选B.
考点：一元二次方程根与系数的关系.
16．〔2022·山东枣庄〕假设关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,那么一次函数的图象可能是
【答案】B.
考点：根的判别式；一次函数的性质.
17．〔2022.山东省青岛市,3分〕输入一组数据，按以下程序进行计算，输出结果如表：
x
20.5
20.6
20.7
20.8
20.9
输出
﹣13.75
﹣8.04
﹣2.31
3.44
9.21
分析表格中的数据，估计方程〔x+8〕2﹣826=0的一个正数解x的大致范围为〔 〕
A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7 C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9
【考点】估算一元二次方程的近似解．
【分析】根据表格中的数据，可以知道〔x+8〕2﹣826的值，从而可以判断当〔x+8〕2﹣826=0时，x的所在的范围，此题得以解决．
【解答】解：由表格可知，
当x=20.7时，〔x+8〕2﹣826=﹣2.31，
当x=20.8时，〔x+8〕2﹣826=3.44，
故〔x+8〕2﹣826=0时，20.7＜x＜20.8，
应选C．
18．〔2022.山东省泰安市，3分〕一元二次方程〔x+1〕2﹣2〔x﹣1〕2=7的根的情况是〔 〕
A．无实数根 B．有一正根一负根
C．有两个正根 D．有两个负根
【分析】直接去括号，进而合并同类项，求出方程的根即可．
【解答】解：∵〔x+1〕2﹣2〔x﹣1〕2=7，
∴x2+2x+1﹣2〔x2﹣2x+1〕=7，
整理得：﹣x2+6x﹣8=0，
那么x2﹣6x+8=0，
〔x﹣4〕〔x﹣2〕=0，
解得：x1=4，x2=2，
故方程有两个正根．
应选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确利用完全平方公式计算是解题关键．
19．〔2022.山东省泰安市，3分〕当x满足时，方程x2﹣2x﹣5=0的根是〔 〕
A．1±B．﹣1 C．1﹣D．1+
【分析】先求出不等式组的解，再求出方程的解，根据范围即可确定x的值．
【解答】解：，
解得：2＜x＜6，
∵方程x2﹣2x﹣5=0，
∴x=1±，
∵2＜x＜6，
∴x=1+．
应选D．
【点评】此题考查解一元一次不等式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握不等式组以及一20．〔2022.山东省威海市，3分〕x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，那么ba的值是〔 〕
A．B．﹣C．4D．﹣1
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系和x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，
∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，
解得a=2，b=﹣，
∴ba=〔﹣〕2=．
应选：A．
21．〔2022•浙江省舟山〕一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是〔 〕
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数；△＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．
【解答】解：∵a=2，b=﹣3，c=1，
∴△=b2﹣4ac=〔﹣3〕2﹣4×2×1=1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
应选：A．
22．〔2022•辽宁沈阳〕一元二次方程x2﹣4x=12的根是〔 〕
A．x1=2，x2=﹣6 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=﹣6 D．x1=2，x2=6
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题；一次方程〔组〕及应用．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x2﹣4x﹣12=0，
分解因式得：〔x+2〕〔x﹣6〕=0，
解得：x1=﹣2，x2=6，
应选B
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键．
23．〔2022•呼和浩特〕a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，那么〔m﹣1〕2+〔n﹣1〕2的最小值是〔 〕
A．6 B．3 C．﹣3 D．0
【考点】根与系数的关系；二次函数的最值．
【分析】根据条件得到m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系得到m+n=2a，mn=2，于是得到4〔a﹣〕2﹣3，当a=2时，〔m﹣1〕2+〔n﹣1〕2有最小值，代入即可得到结论．
【解答】解：∵m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，
∴m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，
∴m+n=2a，mn=2，
∴〔m﹣1〕2+〔n﹣1〕2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=〔m+n〕2﹣2mn﹣2〔m+n〕+2=4a2﹣4﹣4a+2=4〔a﹣〕2﹣3，
∵a≥2，
∴当a=2时，〔m﹣1〕2+〔n﹣1〕2有最小值，
∴〔m﹣1〕2+〔n﹣1〕2的最小值=4〔a﹣〕2+3=4〔2﹣〕2﹣3=6，
应选A．
24. (2022兰州，5,4分)一元二次方程的根的情况〔〕。
〔A〕有一个实数根〔B〕有两个相等的实数根
〔C〕有两个不相等的实数根〔D〕没有实数根
【答案】B
【解析】根据题目，∆＝＝0, 判断得方程有两个相等的实数根，所以答案选 B。
【考点】一元二次方程根的判别式
25．(2022福州，12,3分)以下选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是〔 〕
A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程有实数根可得ac≤4，且a≠0，对每个选项逐一判断即可．
【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴△=〔﹣4〕2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0，
∴ac≤4，且a≠0；
A、假设a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；
B、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项错误；
C、假设c＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；
D、假设c=0，那么ac=0≤4，此选项正确；
应选：D．
【点评】此题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．
26．(2022大连，7，3分)某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．假设月平均增长率为x，那么该文具店五月份销售铅笔的支数是〔 〕
A．100〔1+x〕 B．100〔1+x〕2C．100〔1+x2〕D．100〔1+2x〕
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】设出四、五月份的平均增长率，那么四月份的市场需求量是100〔1+x〕，五月份的产量是100〔1+x〕2，据此列方程即可．
【解答】解：假设月平均增长率为x，那么该文具店五月份销售铅笔的支数是：100〔1+x〕2，
应选：B．
【点评】此题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×〔1±x〕，再经过第二次调整就是a×〔1±x〕〔1±x〕=a〔1±x〕2．增长用“+〞，下降用“﹣〞．
二、填空题
1．〔2022·湖北鄂州〕方程x2－3=0的根是
【考点】解一元二次方程．
【分析】先移项，写成x2=3，把问题转化为求3的平方根．
【解答】解：移项得x2=3，
开方得x1=，x2= -．
答案为：x1=，x2= -．
【点评】用直接开平方法求一元二次方程的解，要注意仔细观察方程的特点.
2．〔2022·湖北十堰〕某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，假设每次下降的百分率相同，那么这个百分率是 10% ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的〔1﹣x〕，那么第二次降价后的售价是原来的〔1﹣x〕2，根据题意列方程解答即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
100×〔1﹣x〕2=81，
解得x1=0.1=10%，x2=1.9〔不符合题意，舍去〕．
答：这两次的百分率是10%．
故答案为：10%．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．假设设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，那么经过两次变化后的数量关系为a〔1±x〕2=b．
3. 〔2022·湖北咸宁〕关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b的值：b=___________.
【考点】一元二次方程，根的判别式．
【分析】要使一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，只需△=b2-4ac＞0即可.
【解答】解：△=b2-4×1×2= b2-8
∵一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，
∴b2-8＞0
∴b＞2.
故满足条件的实数b的值只需大于2即可.
故答案为：b=3〔答案不唯一，满足b2＞8，即b＞2即可〕
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式．根的判别式，即△=b2-4ac. 要熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根的情况：①△＞0时，方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕有两个不相等的实数根；②△＝0时，方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕有两个相等的实数根；③△＜0时，方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕无实数根。
4. (2022·新疆)某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为 10〔1+x〕2=13 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】十一月份加工量=九月份加工量×〔1+月平均增长率〕2，把相关数值代入即可．
【解答】解：设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，
根据题意，可列方程为：10〔1+x〕2=13，
故答案为：10〔1+x〕2=13．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．假设设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，那么经过两次变化后的数量关系为a〔1±x〕2=b．
5. (2022·云南)如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为 ﹣1或2 ．
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程有两个相等的实数根列出关于a的方程，求出a的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即4a2﹣4〔a+2〕=0，解得a=﹣1或2．
故答案为：﹣1或2．
【点评】此题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的解与判别式之间的关系是解答此题的关键．
6. 〔2022·四川达州·3分〕设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2022=0的两个实数根，那么m2+3m+n= 2022 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2=﹣2m+2022，那么m2+3m+n可化简为2022+m+n，再根据根与系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m为一元二次方程x2+2x﹣2022=0的实数根，
∴m2+2m﹣2022=0，即m2=﹣2m+2022，
∴m2+3m+n=﹣2m+2022+3m+n=2022+m+n，
∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2022=0的两个实数根，
∴m+n=﹣2，
∴m2+3m+n=2022﹣2=2022．
7. 〔2022湖北襄阳，12，3分〕关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个相等的实数根，那么m的值为 2 ．
【考点】根的判别式．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=0，
即：22﹣4〔m﹣1〕=0，
解得：m=2，
故答案为2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；
〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．
8. 〔2022吉林长春，10，3分〕关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是 1 ．
【考点】根的判别式．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴22﹣4m=0，
∴m=1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了根的判别式的知识，解答此题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，那么可得△=0，此题难度不大．
9. 〔2022江苏淮安，14，3分〕假设关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，那么k= 9 ．
【考点】根的判别式．
【分析】根据判别式的意义得到△=62﹣4×1×k=0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=62﹣4×1×k=0，
解得：k=9，
故答案为：9．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
10．〔2022·上海〕如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．
【考点】根的判别式；解一元一次方程．
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=〔﹣3〕2﹣4×1×k=9﹣4k=0，
解得：k=．
故答案为：．
【点评】此题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9﹣4k=0．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程〔不等式或不等式组〕是关键．
11．〔2022山东省聊城市，3分〕如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1=0有两个不相等的实根，那么k的取值范围是k＞﹣且k≠0 ．
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即〔﹣3〕2﹣4×k×〔﹣1〕＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即〔﹣3〕2﹣4×k×〔﹣1〕＞0，
解得：k＞﹣且k≠0．
故答案为：k＞﹣且k≠0．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
12．〔2022·江苏泰州〕随着互联网的迅速开展，某购物网站的年销售额从2022年的200万元增长到2022年的392万元．求该购物网站平均每年销售额增长的百分率．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×〔1+增长率〕，参照此题，如果设平均增长率为x，根据“从2022年的200万元增长到2022年的392万元〞，即可得出方程．
【解答】解：设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x，
根据题意，得：200〔1+x〕2=392，
解得：x1=0.4，x2=﹣2.4〔不符合题意，舍去〕．
答：该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40%．
13．〔2022·江苏省宿迁〕假设一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是k＜1 ．
【分析】直接利用根的判别式得出△=b2﹣4ac=4﹣4k＞0进而求出答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4﹣4k＞0，
解得：k＜1，
那么k的取值范围是：k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出△符号是解题关键．
14．(2022大连，14，3分)假设关于x的方程2x2+x﹣a=0有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是．
【考点】根的判别式；解一元一次不等式．
【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可以得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程2x2+x﹣a=0有两个不相等的实数根，
∴△=12﹣4×2×〔﹣a〕=1+8a＞0，
解得：a＞﹣．
故答案为：a＞﹣．
【点评】此题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是找出1+8a＞0．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式〔不等式组或方程〕是关键．
三、解答题
1. 〔2022·湖北鄂州〕〔此题总分值9分〕关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0
〔1〕〔4分〕求证：无论k为何值，方程总有实数根。
〔2〕〔5分〕设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗假设能，求出此时k的值。假设不能，请说明理由。
【考点】一元二次方程，根的判别式．
【分析】〔1〕 此题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；
〔2〕欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【解答】解：⑴①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,
x=1/2有一个解； 〔2分〕
②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，
△=〔2k〕²-4×2〔k-1〕=4k²-8k＋8=4(k-1) ² ＋4＞0
方程有两不等根
综合①②得不管k为何值，方程总有实根 〔4分〕
⑵∵x₁＋x₂＝－2k/ k-1 ,x₁x₂=2 /k-1, 〔1分〕
∴s= (x₁ ²＋ x₂ ²)/x₁x₂＋(x₁＋x₂ )
=[ ( x₁＋x₂) ²－2 x₁x₂ ]/ x₁x₂＋(x₁＋x₂)
=(4k²-8k＋4)/2〔k-1〕=2 〔2分〕
k²－3k＋2=0
k₁=1 k₂＝2 〔3分〕
∵方程为一元二次方程，k-1≠0
∴k₁=1 应 舍去
∴当k=2时，S的值为2
∴S的值能为2，此时k的值为2. 〔5分〕
【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系. 要熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系: 如果一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根为x1，x2，那么x1+x2=-，x1x2=．文字表述：两个根的和等于一次项系数与二次项的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。
2. 〔2022·四川成都·9分〕〔1〕计算：〔﹣2〕3+﹣2sin30°+0
〔2〕关于x的方程3x2+2x﹣m=0没有实数解，求实数m的取值范围．
【考点】实数的运算；根的判别式；特殊角的三角函数值．
【分析】〔1〕直接利用有理数的乘方运算法那么以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质分别化简求出答案；
〔2〕直接利用根的判别式进而求出m的取值范围．
【解答】解：〔1〕〔﹣2〕3+﹣2sin30°+0
=﹣8+4﹣1+1
=﹣4；
〔2〕∵3x2+2x﹣m=0没有实数解，
∴b2﹣4ac=4﹣4×3〔﹣m〕＜0，
解得：m＜，
故实数m的取值范围是：m＜．
3. 〔2022·四川乐山·10分〕先化简再求值：，其中满足.
解析：
原式=………………〔1分〕
=………………〔2分〕
=………………〔4分〕
==.………………〔7分〕
，，
即原式=2. ………………〔10分〕
4. 〔2022湖北孝感，21，9分〕关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．
〔1〕求m的取值范围；
〔2〕当x12+x22=6x1x2时，求m的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】〔1〕根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；
〔2〕根据根与系数的关系求出x1+x2，x1•x2的值，代入x12+x22=6x1x2求解即可．
【解答】解：〔1〕∵原方程有两个实数根，
∴△=〔﹣2〕2﹣4〔m﹣1〕≥0，
整理得：4﹣4m+4≥0，
解得：m≤2；
〔2〕∵x1+x2=2，x1•x2=m﹣1，x12+x22=6x1x2，
∴〔x1+x2〕2﹣2x1•x2=6x1•x2，
即4=8〔m﹣1〕，
解得：m=．
∵m=＜2，
∴符合条件的m的值为．
【点评】此题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解答此题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式．
5. 〔2022湖北宜昌，22，10分〕某蛋糕产销公司A品牌产销线，2022年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2104年底就投入资金10.89万元，新增一条B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B品牌产销线2022年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2022年，A、B两品牌产销线销售量总和将到达11.4万份，B品牌产销线2022年销售获利恰好等于当初的投入资金数．
〔1〕求A品牌产销线2022年的销售量；
〔2〕求B品牌产销线2022年平均每份获利增长的百分数．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】〔1〕根据题意容易得出结果；
〔2〕设A品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为x，B品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k万份；根据题意列出方程，解方程即可得出结果．
【解答】解：〔1〕9.5﹣〔2022﹣2022〕×0.5=8〔万份〕；
答：品牌产销线2022年的销售量为8万份；
〔2〕设A品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为x，B品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k万份；
根据题意得：，
解得：，或〔不合题意，舍去〕，
∴，
∴2x=10%；
答：B品牌产销线2022年平均每份获利增长的百分数为10%．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用中平均变化率的方法．假设设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，那么经过两次变化后的数量关系为a〔1±x〕2=b．
6.〔2022·广东梅州〕关于的一元二次方程有两个不等实根、．
〔1〕求实数的取值范围；
〔2〕假设方程两实根、满足，求的值．
考点：一元二次方程根的判别式，根与系数的关系。
解析：〔1〕∵原方程有两个不相等的实数根，
∴， ……………………3分
解得：． ……………………4分
〔2〕由根与系数的关系，得，． ……………6分
∵，
∴，
解得：或， ………………………8分
又∵，
∴． ………………………9分
7.〔2022·广西贺州〕某地区2022年投入教育经费2900万元，2022年投入教育经费3509万元．
〔1〕求2022年至2022年该地区投入教育经费的年平均增长率；
〔2〕按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2022年需投入教育经费4250万元，如果按〔1〕中教育经费投入的增长率，到2022年该地区投入的教育经费是否能到达4250万元请说明理由．
〔参考数据： =1.1， =1.2， =1.3， =1.4〕
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】〔1〕一般用增长后的量=增长前的量×〔1+增长率〕，2022年要投入教育经费是2900〔1+x〕万元，在2022年的根底上再增长x，就是2022年的教育经费数额，即可列出方程求解．
〔2〕利用〔1〕中求得的增长率来求2022年该地区将投入教育经费．
【解答】解：〔1〕设增长率为x，根据题意2022年为2900〔1+x〕万元，2022年为2900〔1+x〕2万元．
那么2900〔1+x〕2=3509，
解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1〔不合题意舍去〕．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
〔2〕2022年该地区投入的教育经费是3509×〔1+10%〕2=4245.89〔万元〕．
4245.89＜4250，
答：按〔1〕中教育经费投入的增长率，到2022年该地区投入的教育经费不能到达4250万元．
【点评】此题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×〔1+年平均增长率〕年数=增长后的量．
8．〔2022·山东烟台〕由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料本钱、销售单价及工人生产提成如表：
甲
乙
原料本钱
12
8
销售单价
18
12
生产提成
1
0.8
〔1〕假设该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只
〔2〕公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总本钱〔原料总本钱+生产提成总额〕不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大并求出
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