2022年广西省桂林市中考数学试题(解析版).docx

2022年广西桂林市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每题3分，共36分
1．以下实数中小于0的数是〔　　〕
A．2022 B．﹣2022 C． D．
【考点】实数大小比较．
【分析】根据正数大于负数0，0大于负数进行选择即可．
【解答】解：∵﹣2022是负数，
∴﹣2022＜0，
应选B．　
2．如图，直线a∥b，c是截线，∠1的度数是〔　　〕
A．55° B．75° C．110° D．125°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠1=55°，
应选A．
3．一组数据7，8，10，12，13的平均数是〔　　〕
A．7 B．9 C．10 D．12
【考点】算术平均数．
【分析】根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数进行计算即可．
【解答】解：〔7+8+10+12+13〕÷5
=50÷5
=10
答：一组数据7，8，10，12，13的平均数是10．
应选：C．
4.以下几何体的三视图相同的是〔　　〕
A．B．C．D．
圆柱 球 圆锥 长方体
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】找出圆柱，球，圆锥，以及长方体的三视图，即可做出判断．
【解答】解：A、圆柱的三视图，如下列图，不合题意；
B、球的三视图，如下列图，符合题意；
C、圆锥的三视图，如下列图，不合题意；
D、长方体的三视图，如下列图，不合题意；
．
应选B
5．以下列图形一定是轴对称图形的是〔　　〕
A．直角三角形 B．平行四边形 C．直角梯形 D．正方形
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念，结合选项求解即可．
【解答】解：A、直角三角形中只有等腰直角三角形为轴对称图形，本选项错误；
B、平行四边形不是轴对称图形，本选项错误；
C、直角梯形不是轴对称图形，本选项错误；
D、正方形是轴对称图形，本选项正确．
应选D．
6．计算3﹣2的结果是〔　　〕
A． B．2C．3D．6
【考点】二次根式的加减法．
【分析】直接利用二次根式的加减运算法那么求出答案．
【解答】解：原式=〔3﹣2〕=．
应选：A．
7．以下计算正确的选项是〔　　〕
A．〔xy〕3=xy3B．x5÷x5=x
C．3x2•5x3=15x5D．5x2y3+2x2y3=10x4y9
【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【分析】A、原式利用积的乘方运算法那么计算得到结果，即可作出判断；
B、原式利用同底数幂的乘法法那么计算得到结果，即可作出判断；
C、原式利用单项式乘单项式法那么计算得到结果，即可作出判断；
D、原式合并同类项得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=x3y3，错误；
B、原式=1，错误；
C、原式=15x5，正确；
D、原式=7x2y3，错误，
应选C
8．如图，直线y=ax+b过点A〔0，2〕和点B〔﹣3，0〕，那么方程ax+b=0的解是〔　　〕
A．x=2 B．x=0 C．x=﹣1 D．x=﹣3
【考点】一次函数与一元一次方程．
【分析】所求方程的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．
【解答】解：方程ax+b=0的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y=ax+b过B〔﹣3，0〕，
∴方程ax+b=0的解是x=﹣3，
应选D
9．当x=6，y=3时，代数式〔〕•的值是〔　　〕
A．2 B．3 C．6 D．9
【考点】分式的化简求值．
【分析】先对所求的式子化简，然后将x=6，y=3代入化简后的式子即可解答此题．
【解答】解：〔〕•
=
=，
当x=6，y=3时，原式=，
应选C．
10．假设关于x的一元二次方程方程〔k﹣1〕x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是〔　　〕
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程方程〔k﹣1〕x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：k＜5且k≠1.
应选B．
11．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，那么图中阴影局部面积是〔　　〕
A．π B． C．3+π D．8﹣π
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．
【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影局部面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．
【解答】解：作DH⊥AE于H，
∵∠AOB=90°，OA=3，OB=2，
∴AB==，
由旋转的性质可知，OE=OB=2，DE=EF=AB=，△DHE≌△BOA，
∴DH=OB=2，
阴影局部面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积
=×5×2+×2×3+﹣
=8﹣π，
应选：D．
12．直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=﹣〔x﹣〕2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有〔　　〕
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定．
【分析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，由直线y=﹣x+3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形，再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标，发现该两点与M、N重合，结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形，由此即可得出结论．
【解答】解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如下列图．
令一次函数y=﹣x+3中x=0，那么y=3，
∴点A的坐标为〔0，3〕；
令一次函数y=﹣x+3中y=0，那么﹣x+3，
解得：x=，
∴点B的坐标为〔，0〕．
∴AB=2．
∵抛物线的对称轴为x=，
∴点C的坐标为〔2，3〕，
∴AC=2=AB=BC，
∴△ABC为等边三角形．
令y=﹣〔x﹣〕2+4中y=0，那么﹣〔x﹣〕2+4=0，
解得：x=﹣，或x=3．
∴点E的坐标为〔﹣，0〕，点F的坐标为〔3，0〕．
△ABP为等腰三角形分三种情况：
①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；
②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；
③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；
∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．
应选A．
二、填空题：本大题共6小题，每题3分，共18分
13．分解因式：x2﹣36=　〔x+6〕〔x﹣6〕　．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=〔x+6〕〔x﹣6〕，
故答案为：〔x+6〕〔x﹣6〕
14．假设式子在实数范围内有意义，那么x的取值范围是　x≥1　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
15．把一副普通扑克牌中的数字2，3，4，5，6，7，8，9，10的9张牌洗均匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数恰为3的倍数的概率是．
【考点】概率公式．
【分析】先确定9张扑克牌上的数字为3的倍数的张数，再根据随机事件A的概率P〔A〕=，求解即可．
【解答】解：∵数字为3的倍数的扑克牌一共有3张，且共有9张扑克牌，
∴P==．
故答案为：．
16．正六边形的每个外角是　60　度．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】正多边形的外角和是360度，且每个外角都相等，据此即可求解．
【解答】解：正六边形的一个外角度数是：360÷6=60°．
故答案为：60．
17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，那么OH=．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】在BD上截取BE=CH，连接CO，OE，根据相似三角形的性质得到，求得CH=，根据等腰直角三角形的性质得到AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，等量代换得到∠OCH=∠ABD，根据全等三角形的性质得到OE=OH，∠BOE=∠HOC推出△HOE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：在BD上截取BE=CH，连接CO，OE，
∵∠ACB=90°CH⊥BD，
∵AC=BC=3，CD=1，
∴BD=，
∴△CDH∽△BDC，
∴，
∴CH=，
∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，
∴AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，
∴∠OCH+∠DCH=45°，∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠DCH=∠CBD，∴∠OCH=∠ABD，
在△CHO与△BEO中，，
∴△CHO≌△BEO，
∴OE=OH，∠BOE=∠HOC，
∵OC⊥BO，
∴∠EOH=90°，
即△HOE是等腰直角三角形，
∵EH=BD﹣DH﹣CH=﹣﹣=，
∴OH=EH×=，
故答案为：．
18．如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是π　．
【考点】轨迹；正方形的性质；旋转的性质．
【分析】如图点P运动的路径是以G为圆心的弧，在⊙G上取一点H，连接EH、FH，只要证明∠EGF=90°，求出GE的长即可解决问题．
【解答】解：如图点P运动的路径是以G为圆心的弧，在⊙G上取一点H，连接EH、FH．
∵四边形AOCB是正方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠AFP=∠AOC=45°，
∵EF是⊙O直径，
∴∠EAF=90°，
∴∠APF=∠AFP=45°，
∴∠H=∠APF=45°，
∴∠EGF=2∠H=90°，
∵EF=4，GE=GF，
∴EG=GF=2，
∴的长==π．
故答案为π．
三、解答题：本大题共8小题，共66分
19．计算：﹣〔﹣4〕+|﹣5|+﹣4tan45°．
【考点】零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】先去括号、计算绝对值、零指数幂、三角函数值，再计算乘法、减法即可．
【解答】解：原式=4+5+1﹣4×1=6．
20．解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共局部就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得：x＞2，
解②得x≤5．
那么不等式组的解集是：2＜x≤5．
21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF
〔1〕根据题意，补全原形；
〔2〕求证：BE=DF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】〔1〕如下列图；
〔2〕由全等三角形的判定定理SAS证得△BEO≌△DFO，得出全等三角形的对应边相等即可．
【解答】〔1〕解：如下列图：
〔2〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴OB=OD，OA=OC．
又∵E，F分别是OA、OC的中点，
∴OE=OA，OF=OC，
∴OE=OF．
∵在△BEO与△DFO中，，
∴△BEO≌△DFO〔SAS〕，
∴BE=DF．
22．某校为了解本校九年级男生“引体向上〞工程的训练情况，随机抽取该年级局部男生进行了一次测试〔总分值15分，成绩均记为整数分〕，并按测试成绩〔单位：分〕分成四类：A类〔12≤m≤15〕，B类〔9≤m≤11〕，C类〔6≤m≤8〕，D类〔m≤5〕绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答以下问题：
〔1〕本次抽取样本容量为　50　，扇形统计图中A类所对的圆心角是　72　度；
〔2〕请补全统计图；
〔3〕假设该校九年级男生有300名，请估计该校九年级男生“引体向上〞工程成绩为C类的有多少名
【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】〔1〕根据统计图可以得到抽查的学生数，从而可以求得样本容量，由扇形统计图可以求得扇形圆心角的度数；
〔2〕根据统计图可以求得C类学生数和C类与D类所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；
〔3〕根据统计图可以估计该校九年级男生“引体向上〞工程成绩为C类的有多少名．
【解答】解：〔1〕由题意可得，
抽取的学生数为：10÷20%=50，
扇形统计图中A类所对的圆心角是：360°×20%=72°，
故答案为：50，72；
〔2〕C类学生数为：50﹣10﹣22﹣3=15，
C类占抽取样本的百分比为：15÷50×100%=30%，
D类占抽取样本的百分比为：3÷50×100%=6%，
补全的统计图如右图所示，
〔3〕300×30%=90〔名〕
即该校九年级男生“引体向上〞工程成绩为C类的有90名．
23．任意三角形的三边长，如何求三角形面积
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作 度量论 一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式S=〔其中a，b，c是三角形的三边长，p=，S为三角形的面积〕，并给出了证明
例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：
∵a=3，b=4，c=5
∴p==6
∴S===6
事实上，对于三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
如图，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9
〔1〕用海伦公式求△ABC的面积；
〔2〕求△ABC的内切圆半径r．
【考点】三角形的内切圆与内心；二次根式的应用．
【分析】〔1〕先根据BC、AC、AB的长求出P，再代入到公式S=即可求得S的值；
〔2〕根据公式S=r〔AC+BC+AB〕，代入可得关于r的方程，解方程得r的值．
【解答】解：〔1〕∵BC=5，AC=6，AB=9，
∴p===10，
∴S===10；
故△ABC的面积10；
〔2〕∵S=r〔AC+BC+AB〕，
∴10=r〔5+6+9〕，
解得：r=，
故△ABC的内切圆半径r=．
24．五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成局部地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了局部资金，方案购置甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购置甲种物品的件数恰好与用300元购置乙种物品的件数相同
〔1〕求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元
〔2〕经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，假设该爱心组织按照此需求的比例购置这2000件物品，需筹集资金多少元
【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用．
【分析】〔1〕设每件乙种物品的价格是x元，那么每件甲种物品的价格是〔x+10〕元，根据用350元购置甲种物品的件数恰好与用300元购置乙种物品的件数相同
列出方程，求解即可；
〔2〕设甲种物品件数为m件，那么乙种物品件数为3m件，根据该爱心组织按照此需求的比例购置这2000件物品列出方程，求解即可．
【解答】解：〔1〕设每件乙种物品的价格是x元，那么每件甲种物品的价格是〔x+10〕元，
根据题意得， =，
解得：x=60．
经检验，x=60是原方程的解．
答：甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、60元；
〔2〕设甲种物品件数为m件，那么乙种物品件数为3m件，
根据题意得，m+3m=2000，
解得m=500，
即甲种物品件数为500件，那么乙种物品件数为1500件，此时需筹集资金：70×500+60×1500=125000〔元〕．
答：假设该爱心组织按照此需求的比例购置这2000件物品，需筹集资金125000元．
25．如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，过点D作DE∥AB交圆O于点E
〔1〕证明点C在圆O上；
〔2〕求tan∠CDE的值；
〔3〕求圆心O到弦ED的距离．
【考点】实数的运算．
【分析】〔1〕如图1，连结CO．先由勾股定理求出AC=10，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，∠C=90°，那么OC为Rt△ACD斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OC=AD=r，即点C在圆O上；
〔2〕如图2，延长BC、DE交于点F，∠BFD=90°．根据同角的余角相等得出∠CDE=∠ACB．在Rt△ABC中，利用正切函数定义求出tan∠ACB==，那么tan∠CDE=tan∠ACB=；
〔3〕如图3，连结AE，作OG⊥ED于点G，那么OG∥AE，且OG=AE．易证△ABC∽△CFD，根据相似三角形对应边成比例求出CF=，那么BF=BC+CF=．再证明四边形ABFE是矩形，得出AE=BF=，所以OG=AE=．
【解答】〔1〕证明：如图1，连结CO．
∵AB=6，BC=8，∠B=90°，
∴AC=10．
又∵CD=24，AD=26，102+242=262，
∴△ACD是直角三角形，∠C=90°．
∵AD为⊙O的直径，
∴AO=OD，OC为Rt△ACD斜边上的中线，
∴OC=AD=r，
∴点C在圆O上；
〔2〕解：如图2，延长BC、DE交于点F，∠BFD=90°．
∵∠BFD=90°，
∴∠CDE+∠FCD=90°，
又∵∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠FCD=90°，
∴∠CDE=∠ACB．
在Rt△ABC中，tan∠ACB==，
∴tan∠CDE=tan∠ACB=；
〔3〕解：如图3，连结AE，作OG⊥ED于点G，那么OG∥AE，且OG=AE．
易证△ABC∽△CFD，
∴=，即=，
∴CF=，
∴BF=BC+CF=8+=．
∵∠B=∠F=∠AED=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴AE=BF=，
∴OG=AE=，
即圆心O到弦ED的距离为．
26．如图1，开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A〔m，1〕，与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E．
〔1〕直接写出点A，C，D的坐标；
〔2〕当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；
〔3〕在〔2〕的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合局部面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．
【考点】二次函数综合题．
【分析】〔1〕直接将点A的坐标代入y1=ax2﹣2ax+1得出m的值，因为由图象可知点A在第一象限，所以m≠0，那么m=2，写出A，C的坐标，点D与点A关于点C对称，由此写出点D的坐标；
〔2〕根据顶点坐标公式得出抛物线y1的顶点B的坐标，再由矩形对角线相等且平分得：BC=CD，在直角△BMC中，由勾股定理列方程求出a的值得出抛物线y1的解析式，由旋转的性质得出抛物线y2的解析式；
〔3〕分两种情况讨论：①当0≤t≤1时，S=S△GHD=S△PDH+S△PDG，作辅助线构建直角三角形，求出PG和PH，利用面积公式计算；②当1＜t≤2时，S=S直角三角形+S矩形﹣S不重合，这里不重合的图形就是△GE′F，利用30°角和60°角的直角三角形的性质进行计算得出结论．
【解答】解：〔1〕由题意得：
将A〔m，1〕代入y1=ax2﹣2ax+1得：am2﹣2am+1=1，
解得：m1=2，m2=0〔舍〕，
∴A〔2，1〕、C〔0，1〕、D〔﹣2，1〕；
〔2〕如图1，由〔1〕知：B〔1，1﹣a〕，过点B作BM⊥y轴，
假设四边形ABDE为矩形，那么BC=CD，
∴BM2+CM2=BC2=CD2，
∴12+〔﹣a〕2=22，
∴a=，
∵y1抛物线开口向下，
∴a=﹣，
∵y2由y1绕点C旋转180°得到，那么顶点E〔﹣1，1﹣〕，
∴设y2=a〔x+1〕2+1﹣，那么a=，
∴y2=x2+2x+1；
〔3〕如图1，当0≤t≤1时，那么DP=t，构建直角△BQD，
得BQ=，DQ=3，那么BD=2，
∴∠BDQ=30°，
∴PH=，PG=t，
∴S=〔PE+PF〕×DP=t2，
如图2，当1＜t≤2时，EG=E′G=〔t﹣1〕，E′F=2〔t﹣1〕，
S不重合=〔t﹣1〕2，
S=S1+S2﹣S不重合=+〔t﹣1〕﹣〔t﹣1〕2，
=﹣；
综上所述：S=t2〔0≤t≤1〕或S=﹣〔1＜t≤2〕．