高优指导2021高考数学一轮复习考点规范练14导数与函数的单调性极值最值理含解析北师大版.doc

考点规范练14　导数与函数的单调性、极值、最值
　考点规范练B册第8页　 
基础巩固组
1.(2015江西九江模拟)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(　　)

A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
答案:D
解析:函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.
2.(2015长春调研)已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:f'(x)=x2+a,当f(x)在R上单调递增时,f'(x)≥0恒成立,则a≥0,故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.
3.设函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.1<a≤2 B.a≥4
C.a≤2 D.0<a≤3
答案:A
解析:∵f(x)=x2-9ln x,∴f'(x)=x-(x>0),
当x-≤0,即0<x≤3时,函数f(x)是减函数,
∴a-1>0,且a+1≤3,解得1<a≤2.
4.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则(　　)
A.a<-1 B.a>-1
C.a>- D.a<-
答案:A
解析:∵y=ex+ax,∴y'=ex+a.
∵函数y=ex+ax有大于零的极值点,
∴方程y'=ex+a=0有大于零的解.
∵当x>0时,-ex<-1,
∴a=-ex<-1.
5.(2015福建,理10)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是(　　)
A.f B.f
C.f D.f〚导学号92950767〛
答案:C
解析:构造函数F(x)=f(x)-kx,则F'(x)=f'(x)-k>0,
∴函数F(x)在R上为单调递增函数.
∵>0,∴F>F(0)=f(0)=-1.
即f-1=,
∴f,故C错误.
6.(2015东北八校月考)已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图像在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为　　　　　. 
答案:4
解析:∵f'(x)=3x2+6ax+3b,
∴解得
∴f'(x)=3x2-6x,令3x2-6x=0,得x=0或x=2,
∴f(x)极大值-f(x)极大值=f(0)-f(2)=4.
7.(2015成都一诊)已知函数f(x)=-2x2+ln x(a>0).若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,则a的取值范围是　　　　　.〚导学号92950768〛 
答案:∪[1,+∞)
解析:f'(x)=-4x+,若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,即f'(x)=-4x+≥0或f'(x)=-4x+≤0在[1,2]上恒成立,即≥4x-≤4x-在[1,2]上恒成立.
令h(x)=4x-,则h(x)在[1,2]上单调递增,
所以≥h(2)或≤h(1),即≤3,
又a>0,所以0<a≤或a≥1.
8.(2015贵阳模拟)已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1.
(1)试求a,b的值并求出f(x)的单调区间;
(2)求在区间[-2,2]上的最大值与最小值.
解:(1)因为f(x)=x3-3ax2+2bx,
所以f'(x)=3x2-6ax+2b,
由已知得f'(1)=0,则3-6a+2b=0,①
因为当x=1时有极小值-1,
所以f(1)=1-3a+2b=-1,②
由①②得a=,b=-,
把a=,b=-代入f(x)中,
得f(x)=x3-x2-x,所以f'(x)=3x2-2x-1,
令f'(x)=0,则f'(x)=(3x+1)(x-1),
若f'(x)>0,即在,(1,+∞)上,函数f(x)单调递增,若f'(x)<0,即在上,函数f(x)单调递减.
(2)由(1)知f(x)=x3-x2-x,f'(x)=3x2-2x-1,
令f'(x)=0,则f'(x)=(3x+1)(x-1)=0,
解得x=-或x=1.
因为f(-2)=-10,f,f(1)=-1,f(2)=2,
所以f(x)在区间[-2,2]上的最大值为2,最小值为-10.〚导学号92950769〛
9.(2015沈阳质检)已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax+b.
(1)若f(x)与g(x)在x=1处相切,求g(x)的表达式;
(2)若φ(x)=-f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数m的取值范围.
解:(1)由已知得f'(x)=,∴f'(1)=1=a,a=2.
又∵g(1)=0=a+b,∴b=-1,∴g(x)=x-1.
(2)∵φ(x)=-f(x)=-ln x在[1,+∞)上是减函数,
∴φ'(x)=≤0在[1,+∞)上恒成立.
即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,
则2m-2≤x+,x∈[1,+∞)恒成立,
∵x+∈[2,+∞),∴2m-2≤2,m≤2.
故数m的取值范围是(-∞,2].
10.已知函数f(x)=xln x.
(1)求函数f(x)的极值点;
(2)设函数g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,求函数g(x)在区间[1,e]上的最小值(其中e为自然对数的底数).
解:(1)f'(x)=ln x+1,x>0,由f'(x)=0得x=,
所以f(x)在区间上单调递减,
在区间上单调递增.
所以,x=是函数f(x)的极小值点,极大值点不存在.
(2)g(x)=xln x-a(x-1),则g'(x)=ln x+1-a,
由g'(x)=0,得x=ea-1,
所以,在区间(0,ea-1)上,g(x)为递减函数,
在区间(ea-1,+∞)上,g(x)为递增函数.
当ea-1≤1,即a≤1时,在区间[1,e]上,g(x)为递增函数,
所以g(x)的最小值为g(1)=0.
当1<ea-1<e,即1<a<2时,
g(x)的最小值为g(ea-1)=a-ea-1.
当ea-1≥e,即a≥2时,在区间[1,e]上,g(x)为递减函数,
所以g(x)的最小值为g(e)=a+e-ae.
综上,当a≤1时,g(x)的最小值为0;
当1<a<2时,g(x)的最小值为a-ea-1;
当a≥2时,g(x)的最小值为a+e-ae.〚导学号92950770〛
能力提升组
11.(2015课标全国Ⅱ,理12)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)〚导学号92950771〛
答案:A
解析:当x>0时,令F(x)=,则F'(x)=<0,
∴当x>0时,F(x)=为减函数.
∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.
在区间(0,1)上,F(x)>0;在(1,+∞)上,F(x)<0,
即当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0.
又f(x)为奇函数,
∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;
当x∈(-1,0)时,f(x)<0.
综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选A.
12.已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是　　　　　. 
答案:(0,1)∪(2,3)
解析:由题意知f'(x)=-x+4-=-.
由f'(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3.
则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,
函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,
由t<1<t+1或t<3<t+1,
得0<t<1或2<t<3.
13.(2015云南第一次检测)已知f(x)=ex(x3+mx2-2x+2).
(1)假设m=-2,求f(x)的极大值与极小值;
(2)是否存在实数m,使f(x)在[-2,-1]上单调递增?如果存在,求m的取值范围;如果不存在,请说明理由.
解:(1)当m=-2时,f(x)=ex(x3-2x2-2x+2),其定义域为(-∞,+∞).
则f'(x)=ex(x3-2x2-2x+2)+ex(3x2-4x-2)
=xex(x2+x-6)=(x+3)x(x-2)ex,
∴当x∈(-∞,-3)或x∈(0,2)时,f'(x)<0;
当x∈(-3,0)或x∈(2,+∞)时,f'(x)>0;
f'(-3)=f'(0)=f'(2)=0,
∴f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,0)上单调递增;
在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增;
∴当x=-3或x=2时,f(x)取得极小值;
当x=0时,f(x)取得极大值,
∴f(x)极小值=f(-3)=-37e-3,f(x)极小值=f(2)=-2e2,
f(x)极大值=f(0)=2.
(2)f'(x)=ex(x3+mx2-2x+2)+ex(3x2+2mx-2)
=xex[x2+(m+3)x+2m-2].
∵f(x)在[-2,-1]上单调递增,
∴当x∈[-2,-1]时,f'(x)≥0.
又∵当x∈[-2,-1]时,xex<0,
∴当x∈[-2,-1]时,g(x)=x2+(m+3)x+2m-2≤0,
∴
解得m≤4,∴当m∈(-∞,4]时,f(x)在[-2,-1]上单调递增.〚导学号92950772〛
14.设函数f(x)=aln x+,其中a为常数.
(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
解:(1)由题意知a=0时,f(x)=,x∈(0,+∞).
此时f'(x)=.可得f'(1)=,
又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x-2y-1=0.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f'(x)=.
当a≥0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,
由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),
①当a=-时,Δ=0,f'(x)=≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②当a<-时,Δ<0,g(x)<0,
f'(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
③当-<a<0时,Δ>0.
设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点,
则x1=,x2=.
由x1=>0,
所以x∈(0,x1)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
综上可得,
当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a≤-时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当-<a<0时,f(x)在上单调递减,在
上单调递增.〚导学号92950773〛

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