2022年河南省安阳市高考数学一模试卷(文科).docx

2022年河南省安阳市高考数学一模试卷〔文科〕
一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．〔5分〕在复平面内，复数所对应的点位于〔　　〕
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．〔5分〕设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，那么A∩B=〔　　〕
A．〔﹣1，+∞〕 B．[﹣2，+∞〕 C．[﹣1，2] D．〔﹣1，2]
3．〔5分〕函数f〔x〕满足：①对任意x1，x2∈〔0，+∞〕且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f〔x〕=f〔﹣x〕，那么符合上述条件的函数是〔　　〕
A．f〔x〕=x2+|x|+1 B． C．f〔x〕=ln|x+1| D．f〔x〕=cosx
4．〔5分〕假设，那么cosα﹣2sinα=〔　　〕
A．﹣1 B．1 C． D．﹣1或
5．〔5分〕等比数列{an}中，a1=1，a3+a5=6，那么a5+a7=〔　　〕
A．12 B．10 C． D．
6．〔5分〕执行如以下图的程序框图，假设输入p=0.8，那么输出的n=〔　　〕
A．3 B．4 C．5 D．6
7．〔5分〕如以下图是一个几何体的三视图，那么该几何体的体积是〔　　〕
A．4+2π B． C．4+π D．
8．〔5分〕在边长为a的正三角形内任取一点P，那么点P到三个顶点的距离均大于的概率是〔　　〕
A． B． C． D．
9．〔5分〕{an}为等差数列，Sn为其前n项和，假设a3+7=2a5，那么S13=〔　　〕
A．49 B．91 C．98 D．182
10．〔5分〕函数，要得到g〔x〕=cosx的图象，只需将函数y=f〔x〕的图象〔　　〕
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
11．〔5分〕函数与g〔x〕=6x+a的图象有3个不同的交点，那么a的取值范围是〔　　〕
A． B． C． D．
12．〔5分〕F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且〔O为坐标原点〕，假设，那么椭圆的离心率为〔　　〕
A． B． C． D．
二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分
13．〔5分〕命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0〞的否认是．
14．〔5分〕长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为．
15．〔5分〕向量=〔2，3〕，=〔x，y〕，且变量x，y满足，那么z=•的最大值为．
16．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，点A〔0，﹣3〕，假设圆C：〔x﹣a〕2+〔y﹣a+2〕2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，那么实数a的取值范围是．
三、解答题：共70分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.〔一〕必考题：共60分.
17．〔12分〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．
〔Ⅰ〕求证：B=2A；
〔Ⅱ〕假设△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．
18．〔12分〕某公司为了准确把握市场，做好产品方案，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100]内，且销售量x的分布频率．
〔Ⅰ〕求a的值．
〔Ⅱ〕假设销售量大于等于80，那么称该日畅销，其余为滞销，根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求这2天中恰有1天是畅销日的概率〔将频率视为概率〕．
19．〔12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，PA=PD，AD=4，BC∥AD，AB=BC=CD=2，E为PD的中点．
〔Ⅰ〕证明：CE∥平面PAB；
〔Ⅱ〕求三棱锥E﹣PBC的体积．
20．〔12分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影局部记为W，区域W中动点P〔x，y〕到l1，l2的距离之积为1．
〔Ⅰ〕求点P的轨迹C的方程；
〔Ⅱ〕动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，假设直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．
21．〔12分〕函数，g〔x〕=3elnx，其中e为自然对数的底数．
〔Ⅰ〕讨论函数f〔x〕的单调性．
〔Ⅱ〕试判断曲线y=f〔x〕与y=g〔x〕是否存在公共点并且在公共点处有公切线．假设存在，求出公切线l的方程；假设不存在，请说明理由．
〔二〕选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．〔10分〕设直线l的参数方程为，〔t为参数〕，假设以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．
〔Ⅰ〕将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；
〔Ⅱ〕假设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．
[选修4-5：不等式选讲]
23．函数f〔x〕=|x+1|+a|2x﹣1|．
〔Ⅰ〕当时，假设对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；
〔Ⅱ〕假设f〔x〕≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．
2022年河南省安阳市高考数学一模试卷〔文科〕
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．〔5分〕在复平面内，复数所对应的点位于〔　　〕
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵=，
∴复数所对应的点的坐标为〔〕，位于第二象限．
应选：B．
2．〔5分〕设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，那么A∩B=〔　　〕
A．〔﹣1，+∞〕 B．[﹣2，+∞〕 C．[﹣1，2] D．〔﹣1，2]
【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2}，
B={y|y=3x﹣1，x∈R}={y|y＞﹣1}，
∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=〔﹣1，2]．
应选：D．
3．〔5分〕函数f〔x〕满足：①对任意x1，x2∈〔0，+∞〕且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f〔x〕=f〔﹣x〕，那么符合上述条件的函数是〔　　〕
A．f〔x〕=x2+|x|+1 B． C．f〔x〕=ln|x+1| D．f〔x〕=cosx
【解答】解：由题意得：f〔x〕是偶函数，在〔0，+∞〕递增，
对于A，f〔﹣x〕=f〔x〕，是偶函数，且x＞0时，f〔x〕=x2+x+1，f′〔x〕=2x+1＞0，
故f〔x〕在〔0，+∞〕递增，符合题意；
对于B，函数f〔x〕是奇函数，不合题意；
对于C，由x+1=0，解得：x≠﹣1，定义域不关于原点对称，
故函数f〔x〕不是偶函数，不合题意；
对于D，函数f〔x〕在〔0，+∞〕无单调性，不合题意；
应选：A．
4．〔5分〕假设，那么cosα﹣2sinα=〔　　〕
A．﹣1 B．1 C． D．﹣1或
【解答】解：假设，那么1+cosα=3sinα，又sin2α+cos2α=1，
∴sinα=，∴cosα=3sinα﹣1=，∴cosα﹣2sinα=﹣，
应选：C．
5．〔5分〕等比数列{an}中，a1=1，a3+a5=6，那么a5+a7=〔　　〕
A．12 B．10 C． D．
【解答】解：∵，a1=1，a3+a5=6，
∴a3+a5=q2+q4=6，
得q4+q2﹣6=0，
即〔q2﹣2〕〔q2+3〕=0，
那么q2=2，
那么a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12，
应选：A
6．〔5分〕执行如以下图的程序框图，假设输入p=0.8，那么输出的n=〔　　〕
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：第一次运行n=1，s=0，满足条件s＜0.8，s==0.5，n=2，
第二次运行n=2，s=0.5，满足条件s＜0.8，s=+=0.75，n=3，
第三次运行n=3，s=0.75，满足条件s＜0.8，s=0.75+=0.75+0.125=0.875，n=4，
此时s=0.875不满足条件s＜0.8输出，n=4，
应选：B．
7．〔5分〕如以下图是一个几何体的三视图，那么该几何体的体积是〔　　〕
A．4+2π B． C．4+π D．
【解答】解：由几何体的三视图得：
该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体，
其中长方体的长为4，宽为1，高为1，
半圆柱的底面半径为r=1，高为h=1，如图，
∴该几何体的体积：
V=4×1×1+=4+．
应选：D．
8．〔5分〕在边长为a的正三角形内任取一点P，那么点P到三个顶点的距离均大于的概率是〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：满足条件的正三角形ABC如以下图所示：
边长AB=a，
其中正三角形ABC的面积S三角形=•a2•sin=a2；
满足到正三角形ABC的顶点A、B、C
的距离至少有一个小于1的平面区域，
如图中阴影局部所示，其加起来是一个半径为的半圆，
∴S阴影=•π•=，
∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：
P=1﹣=1﹣π．
应选：B．
9．〔5分〕{an}为等差数列，Sn为其前n项和，假设a3+7=2a5，那么S13=〔　　〕
A．49 B．91 C．98 D．182
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3+7=2a5，
∴a1+2d+7=2〔a1+4d〕，化为：a1+6d=7=a7．
那么S13==13a7=13×7=91．
应选：B．
10．〔5分〕函数，要得到g〔x〕=cosx的图象，只需将函数y=f〔x〕的图象〔　　〕
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
【解答】解：将函数y=f〔x〕=sin〔x﹣〕的图象向左平移个单位，
可得y=sin〔x+﹣〕=cosx的图象，
应选：D．
11．〔5分〕函数与g〔x〕=6x+a的图象有3个不同的交点，那么a的取值范围是〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：函数与g〔x〕=6x+a的图象有3个不同的交点⇔方程a=有3个不同的实根，
即函数y=a，g〔x〕=的图象有3个不同的交点．
g′〔x〕=x2+x﹣6=〔x+3〕〔x﹣2〕
x∈〔﹣∞，﹣3〕，〔2，+∞〕时，g〔x〕递增，x∈〔﹣3，2〕递减，
函数g〔x〕图如下，结合图象，只需g〔2〕＜a＜g〔﹣3〕即可，
即﹣＜＜，
应选：B．
12．〔5分〕F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且〔O为坐标原点〕，假设，那么椭圆的离心率为〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：如图，取PF1的中点A，连接OA，
∴2=+，=，
∴+=，
∵，
∴•=0，
∴⊥，
∵，
不妨设|PF2|=m，那么|PF1|=m，
∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m，
∴m=a=2〔﹣1〕a，
∵|F1F2|=2c，
∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2〔3﹣2〕，
∴=9﹣6=〔﹣〕2，
∴e=﹣，
应选：A
二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分
13．〔5分〕命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0〞的否认是∃x0∈R，使得．
【解答】解：由全称命题的否认为特称命题，可得
命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0〞的否认是
“∃x0∈R，使得〞．
故答案为：∃x0∈R，使得．
14．〔5分〕长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为　14π　．
【解答】解：∵长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，
∴球半径R==，
∴该球的外表积为S=4π×R2=4=14π．
故答案为：14π．
15．〔5分〕向量=〔2，3〕，=〔x，y〕，且变量x，y满足，那么z=•的最大值为．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A〔〕，
∵=〔2，3〕，=〔x，y〕，
∴z=•=2x+3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．
故答案为：．
16．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，点A〔0，﹣3〕，假设圆C：〔x﹣a〕2+〔y﹣a+2〕2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，那么实数a的取值范围是[0，3]．
【解答】解：设点M〔x，y〕，由|MA|=2|MO|，
得到：，
整理得：x2+y2﹣2y﹣3=0，
∴点M在圆心为D〔0，1〕，半径为2的圆上．
又点M在圆C上，∴圆C与圆D有公共点，
∴1≤|CD|≤3，
∴1≤≤3，
解得0≤a≤3．
即实数a的取值范围是[0，3]．
故答案为：[0，3]．
三、解答题：共70分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.〔一〕必考题：共60分.
17．〔12分〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．
〔Ⅰ〕求证：B=2A；
〔Ⅱ〕假设△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．
【解答】解：〔Ⅰ〕证明：根据题意，在△ABC中，a+2acosB=c，
由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin〔A+B〕=sinAcosB+cosAsinB，
即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin〔B﹣A〕．
因为A，B∈〔0，π〕，
所以B﹣A∈〔﹣π，π〕，且A+〔B﹣A〕=B∈〔0，π〕，所以A+〔B﹣A〕≠π，
所以A=B﹣A，B=2A．
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，．
由△ABC为锐角三角形得，
得，那么0＜cosB＜，
由a+2acosB=2得，
又由0＜cosB＜，
那么．
18．〔12分〕某公司为了准确把握市场，做好产品方案，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100]内，且销售量x的分布频率．
〔Ⅰ〕求a的值．
〔Ⅱ〕假设销售量大于等于80，那么称该日畅销，其余为滞销，根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求这2天中恰有1天是畅销日的概率〔将频率视为概率〕．
【解答】解：〔Ⅰ〕由题知，解得5≤n≤9，n可取5，6，7，8，9，
代入中，
得，
解得a=0.15．
〔Ⅱ〕滞销日与畅销日的频率之比为〔0.1+0.1+0.2〕：〔0.3+0.3〕=2：3，
那么抽取的5天中，滞销日有2天，记为a，b，畅销日有3天，记为C，D，E，
再从这5天中抽出2天，根本领件有ab，aC，aD，aE，bC，bD，bE，CD，CE，DE，共10个，
2天中恰有1天为畅销日的事件有aC，aD，aE，bC，bD，bE，共6个，
那么这2天中恰有1天是畅销日的概率为p=．
19．〔12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，PA=PD，AD=4，BC∥AD，AB=BC=CD=2，E为PD的中点．
〔Ⅰ〕证明：CE∥平面PAB；
〔Ⅱ〕求三棱锥E﹣PBC的体积．
【解答】证明：〔Ⅰ〕取PA的中点F，连接BF，EF．
在△PAD中，EF为中位线，
那么，又，故，
那么四边形BCEF为平行四边形，得CE∥BF，
又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，
故CE∥平面PAB．
解：〔Ⅱ〕由E为PD的中点，知点D到平面PBC的距离是点E到平面PBC的距离的两倍，
那么．
由题意知，四边形ABCD为等腰梯形，且AB=BC=CD=2，AD=4，其高为，
那么．
取AD的中点O，在等腰直角△PAD中，有，PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，故PO⊥平面ABCD，
那么点P到平面ABCD的距离即为PO=2．
，
故三棱锥E﹣PBC的体积．
20．〔12分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影局部记为W，区域W中动点P〔x，y〕到l1，l2的距离之积为1．
〔Ⅰ〕求点P的轨迹C的方程；
〔Ⅱ〕动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，假设直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．
【解答】解：〔Ⅰ〕由题意得，|〔x+y〕〔x﹣y〕|=2．
因为点P在区域W内，所以x+y与x﹣y同号，得〔x+y〕〔x﹣y〕=x2﹣y2=2，
即点P的轨迹C的方程为．
〔Ⅱ〕设直线l与x轴相交于点D，当直线l的斜率不存在时，，，得．
当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，显然k≠0，那么，
把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得〔k2﹣1〕x2﹣2kmx+m2+2=0，
由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，知△=4k2m2﹣4〔k2﹣1〕〔m2+2〕=0，
得m2=2〔k2﹣1〕＞0，得k＞1或k＜﹣1．
设A〔x1，y2〕，B〔x2，y2〕，由得，同理，得．
所以=．
综上，△OAB的面积恒为定值2．
21．〔12分〕函数，g〔x〕=3elnx，其中e为自然对数的底数．
〔Ⅰ〕讨论函数f〔x〕的单调性．
〔Ⅱ〕试判断曲线y=f〔x〕与y=g〔x〕是否存在公共点并且在公共点处有公切线．假设存在，求出公切线l的方程；假设不存在，请说明理由．
【解答】解：〔Ⅰ〕由，得，
令f′〔x〕=0，得．
当且x≠0时，f′〔x〕＜0；当时，f′〔x〕＞0．
∴f〔x〕在〔﹣∞，0〕上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；
〔Ⅱ〕假设曲线y=f〔x〕与y=g〔x〕存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x0＞0，
那么，即，其中〔2〕式即．
记h〔x〕=4x3﹣3e2x﹣e3，x∈〔0，+∞〕，那么h'〔x〕=3〔2x+e〕〔2x﹣e〕，
得h〔x〕在上单调递减，在上单调递增，
又h〔0〕=﹣e3，，h〔e〕=0，
故方程h〔x0〕=0在〔0，+∞〕上有唯一实数根x0=e，经验证也满足〔1〕式．
于是，f〔x0〕=g〔x0〕=3e，f′〔x0〕=g'〔x0〕=3，
曲线y=g〔x〕与y=g〔x〕的公切线l的方程为y﹣3e=3〔x﹣e〕，
即y=3x．
〔二〕选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．〔10分〕设直线l的参数方程为，〔t为参数〕，假设以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．
〔Ⅰ〕将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；
〔Ⅱ〕假设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．
【解答】解：〔Ⅰ〕由于ρsin2θ=4cosθ，
所以ρ2sin2θ=4ρcosθ，即y2=4x，
因此曲线C表示顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线．
〔Ⅱ〕，化为普通方程为y=2x﹣1，
代入y2=4x，
并整理得4x2﹣8x+1=0，
所以，
=，
=．
[选修4-5：不等式选讲]
23．函数f〔x〕=|x+1|+a|2x﹣1|．
〔Ⅰ〕当时，假设对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；
〔Ⅱ〕假设f〔x〕≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．
【解答】解：〔Ⅰ〕当时，，
∴，∴．∴，
∴，当且仅当m=n时等号成立，
∵m，n＞0，解得，当且仅当m=n时等号成立，
故m+n的最小值为．
〔Ⅱ〕∵f〔x〕≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，
当x∈[﹣1，2]时，有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x，
∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1，2]恒成立，
当时，a〔1﹣2x〕≥1﹣2x，∴a≥1；
当时，a〔2x﹣1〕≥1﹣2x，∴a≥﹣1．
综上：a≥1．
故实数a的取值范围是[1，+∞〕．