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七上实数经典例题及习题

耐思教育 第六章 实数
　知识点总结及题型
考点一、实数的概念及分类 （3分）
1、实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数

整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如sin60o等
考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）
1、平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“”。
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（0）
；注意的双重非负性：
-（<0） 0
3、立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
考点四、科学记数法和近似数 （3—6分）
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。
考点五、实数大小的比较 （3分）
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大）
1、加法交换律
2、加法结合律
3、乘法交换律
4、乘法结合律
5、乘法对加法的分配律
6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？
实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二能为运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则就什么？
两有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。
8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？
相同因数相乘积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作: an
9、有理数乘方运算的法则是什么？
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？
去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。

经典例题
类型一．有关概念的识别
　　1．下面几个数：0.23 ，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（ ）
　　A、1　　　 B、2　　　 C、3 　　　D、4
　　解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数
　　故选C
　　举一反三：
　　【变式1】下列说法中正确的是（ ）
　　A、的平方根是±3　 B、1的立方根是±1　 C、=±1 　D、是5的平方根的相反数
　　【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，
　　　　　　∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．
　　　　　　∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．

　　【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）

　　A、1　　　 B、1.4　　　 C、 　　　D、
　　【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．

　　【变式3】
　　【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10
　　　　　　因此3π-9＞0，3π-10＜0
　　　　　　∴

类型二．计算类型题
　　2．设，则下列结论正确的是（ ）
　　A. 　　　　　　B.
　　C. 　　　　　　D.
　　解析：（估算）因为，所以选B
　　举一反三：
　　【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________. 3）___________， ___________，___________.
　　【答案】1）；.2）-3. 3）， ，

　　【变式2】求下列各式中的
　　（1） 　　　（2）　　　　（3）
　　【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4

类型三．数形结合
　　3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______
　　解析：在数轴上找到A、B两点，
　　举一反三：
　　【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）．

　　A．－1 B．1－ C．2－ D．－2
　　【答案】选C

　　[变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示：

　　　　　　化简
　　【答案】：

类型四．实数绝对值的应用
　　4．化简下列各式：
　　(1) |-1.4|　　　(2) |π-3.142|
　　(3) |-| 　　　(4) |x-|x-3|| (x≤3)
　　(5) |x2+6x+10|
　　分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
　　解：(1) ∵=1.414…＜1.4
　　 　　　 ∴|-1.4|=1.4-
　　　　(2) ∵π=3.14159…＜3.142
　　 　　　 ∴|π-3.142|=3.142-π
　　　　(3) ∵＜, ∴|-|=-
　　　　(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,
　　 　　　 ∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|
　　 　　　 　　　　　 =|2x-3| =
　　说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。
　　(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|
　　　　∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0
　　　　∴|x2+6x+10|= x2+6x+10
　　举一反三：
　　【变式1】化简：
　　【答案】=+-=

类型五．实数非负性的应用
　　5．已知：=0，求实数a, b的值。
　　分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组 从而求出a, b的值。
　　解：由题意得
　　　　由(2)得 a2=49 ∴a=±7
　　　　由(3)得 a>-7，∴a=-7不合题意舍去。
　　　　∴只取a=7
　　　　把a=7代入(1)得b=3a=21
　　　　∴a=7, b=21为所求。
　　举一反三：
　　【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。
　　解：∵(x-6)2++|y+2z|=0
　　　　且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,
　　　　几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。
　　　　∴ 解这个方程组得
　　　　∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65

　　【变式2】已知那么a+b-c的值为___________
　　【答案】初中阶段的三个非负数： ，
　　　　　　a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2

类型六．实数应用题
　　6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。
　　解：设新正方形边长为xcm，
　　　　根据题意得 x2=112+13×8
　　　　∴x2=225
　　　　∴x=±15
　　　　∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，
　　　　∴只取x=15(cm)
　　答：新的正方形边长应取15cm。
　　举一反三：
　　【变式1】拼一拼，画一画： 请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）

　　（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
　　（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积
　　　　 多24cm2，求中间小正方形的边长.

　　解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：
　　　　　　　 ，所以面积为=
　　　　　　　 大正方形的面积=，
　　　　　　　 一个长方形的面积=。
　　　　　　　 所以，

　　　　　　　 答：中间的小正方形的面积，
　　　　　　　　　发现的规律是：（或）
　　　 　(2) 大正方形的边长：，小正方形的边长：
　　　　　　 ，即 ，
　　　　　　 又 大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2
　　　　　　 所以有，
　　　　　　 化简得：
　　　　　　 将代入，得：
　　　　　　 cm
　　　　　　 答：中间小正方形的边长2.5 cm。

类型七．易错题
　　7．判断下列说法是否正确
　　（1）的算术平方根是-3；　　　（2）的平方根是±15.
　　（3）当x=0或2时，　　　（4）是分数
　　解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故
　　 　　 （2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，
　 　　　　　　故的平方根是.
　　　　　（3）注意到，当x=0时， =，显然此式无意义，
　 　　　　　　发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.
　　　　　（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数.

类型八．引申提高
　　8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.
　　　　　　（2）把下列无限循环小数化成分数：①②③
　　（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．
　　解：由 得　　
　　　　的整数部分a=5, 的小数部分，
　　　　∴

　　（2）解：(1) 设x= ①
　　 　　　　　　则 ②
　　 　　　　　　②-①得
　　 　　　　　　9x=6
　　 　　　　　　∴ .
　　　　　　 (2) 设 ①
　　 　　　　　　则 ②
　　 　　　　　　②-①，得
　　 　　　　　　99x=23
　　 　　　　　　∴ .
　　　　　 　(3) 设 ①
　　 　　　　　　则 ②
　　 　　　　　　②-①，得
　　 　　　　　　999x=107，
　　 　　　　　　∴ .

学习成果测评：
A组（基础）
　　一、细心选一选
　　1．下列各式中正确的是（ ）
　　A．　　　 B. 　　　C. 　　　D.

　　2. 的平方根是( )
　　A．4 　　　B. 　　　C. 2　　　 D.

　　3. 下列说法中 ①无限小数都是无理数 ②无理数都是无限小数 ③-2是4的平方根 ④带根号的数都是
　 　　无理数。其中正确的说法有（ ）
　　A．3个　　　 B. 2个 　　　C. 1个 　　　D. 0个

　　4．和数轴上的点一一对应的是（ ）
　　A．整数 　　　B.有理数 　　　C. 无理数 　　　D. 实数

　　5．对于来说（ ）
　　A．有平方根　　　 B．只有算术平方根 　　　C. 没有平方根 　　　D. 不能确定

　　6．在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数
　 　　的个数有（ ）
　　A．3个　　　 B. 4个 　　　C. 5个　　　 D. 6个

　　7．面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（ ）
　　A．　　　 B. 　　　C. 　　　D.

　　8．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
　　A．-2与 　　　B.∣-∣与　　　 C. 与 　　　D. 与

　　9．-8的立方根与4的平方根之和是（ ）
　　A．0　　　 B. 4　　　 C. 0或-4　　　 D. 0或4

　　10．已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）
　　A． 　　　B. 　　　C. 　　　D.

　　二、耐心填一填
　　11．的相反数是________，绝对值等于的数是________，∣∣=_______。
　　12．的算术平方根是_______，=______。
　　13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。
　　14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。
　　15．填入两个和为6的无理数，使等式成立： ___+___=6。
　　16．大于，小于的整数有______个。
　　17．若∣2a-5∣与互为相反数，则a=______，b=_____。
　　18．若∣a∣=6，=3，且ab0，则a-b=______。
　　19．数轴上点A，点B分别表示实数则A、B两点间的距离为______。
　　20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。

　　三、认真解一解
　　21．计算
　　⑴ 　　　　　　　　　　⑵ 　　　　　　　　　⑶
　　⑷ ∣∣+∣∣　　　 ⑸ ×+×
　　⑹ 4×[ 9 + 2×（）] （结果保留3个有效数字）

　　22．在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们 的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接：

参考答案：
　　一: 1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D

　　二：11、，π-3 　　　　12、3，
　　　　13、0；0，；0，1　　　　　14、 　　　　15、答案不唯一 如： 　　　16、5
　　　　17、 　　　　　　　　　18、-15　　　　 19、2 　　　　　　　　　　　　　　20、1，9

　　三：
　　21、⑴　 ⑵-17　 ⑶-9 　⑷2 ⑸-36 　⑹37.9

　　22、

B组（提高）
　　一、选择题：
　　1．的算术平方根是 （ ）
　　A．0.14 　　　B．0.014　　　 C． 　　　D．

　　2．的平方根是 （ ）

　　A．－6 　　　B．36　　　 C．±6 　　　D．±
　　3．下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②；③的立方根是2；④，
　 　　其中正确的个数有 （ ）
　　A．1个 　　　B．2个　　　 C．3个 　　　D．4个

　　4．在下列各式中，正确的是 （ ）
　　A．; 　　B．;　　 C．;　　 D．

　　5．下列说法正确的是 （ ）
　　A．有理数只是有限小数 　　B．无理数是无限小数　　 C．无限小数是无理数 　　D．是分数

　　6．下列说法错误的是 （ ）
　　A． 　B． 　C．2的平方根是 　D．

　　7．若，且，则的值为 （ ）
　　A．　　　 B． 　　　C． 　　　D．

　　8．下列结论中正确的是 （ ）
　　A．数轴上任一点都表示唯一的有理数; 　　　B．数轴上任一点都表示唯一的无理数;
　　C. 两个无理数之和一定是无理数; 　　　　　D. 数轴上任意两点之间还有无数个点

　　9．-27 的立方根与的平方根之和是 （ ）
　　A．0 　　　B．6　　　 C．0或-6　　　 D．-12或6

　　10．下列计算结果正确的是 （ ）
　　A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

　　二．填空题:
　　11．下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、
　　　　⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中,其中是有理数的有
　　　　__________；无理数的有__________.（填序号）
　　12．的平方根是__________；0.216的立方根是__________.
　　13．算术平方根等于它本身的数是__________；立方根等于它本身的数是__________.
　　14. 的相反数是__________；绝对值等于的数是__________．
　　15．一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的__________倍.

　　三、解答题：
　　16．计算或化简：
　　(1) 　　　　　(2) 　　　　　(3)
　　(4) 　　　　(5) 　　(6)
　　17．已知 ，且x是正数，求代数式的值。

24

18．观察右图，每个小正方形的边长均为1，
⑴图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？
⑵估计边长的值在哪两个整数之间。
⑶把边长在数轴上表示出来。

参考答案：
　　一、选择题：
　　1、A 2、C 3、B 4、B 5、B 6、D 7、B 8、D 9、C 10、B

　　二．填空题:
　　11、①②⑤⑥⑧；③④⑦. 12、；0.6. 13、；. 14、； ． 15、3.

　　三、解答题：
　　16、计算或化简：(1) 　　(2) 　　(3) 　　(4) 　　(5)　 (6)
　　17、解： 25x2=144
　　　　　　 又∵x是正数
　　　　　　 ∴x=
　　　　　　 ∴
　　18、解：①图中阴影部分的面积17，边长是
　　　　　　②边长的值在4与5之间
　　　　　　③