专题：解析几何中的动点轨迹问题---学生版.doc

专题：解析几何中的动点轨迹问题---学生版

专题：解析几何中的动点轨迹问题
Part 1 几类动点轨迹问题
一、 动线段定比分点的轨迹
例1 已知线段AB的长为5，并且它的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，点P在段AB上，，求点P的轨迹。

例2 已知定点A(3,1),动点B在圆O上,点P在线段AB上,且BP:PA=1:2,求点P的轨迹的方程.

二、 两条动直线的交点问题
例3 已知两点P（-1,3），Q（1,3）以及一条直线，设长为的线段AB在上移动（点A在B的左下方），求直线PA、QB交点M的轨迹的方程

例4 已知是双曲线的两个顶点，线段MN为垂直于实轴的弦，求直线与的交点P的轨迹

三、 动圆圆心轨迹问题
例5 已知动圆M与定圆相切，并且与x轴也相切，求动圆圆心M的轨迹

例6 已知圆，，圆M与圆和圆都相切，求动圆圆心M的轨迹

四、 动圆锥曲线中相关点的轨迹
例7 已知双曲线过和，它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹

例8 已知圆的方程为，动抛物线过点和，且以圆的切线为准线，求抛物线的焦点F的轨迹方程

Part 2 求动点轨迹的十类方法
一、直接法
根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、切线长公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。过程是“建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理”，主要用于动点具有的几何条件比较明显时。
O
Y
x
N
M
A
例1 已知动点M到定点A（1，0）与到定直线L：x=3的距离之和等于4，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

例2 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．

二、定义法
圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可直接写出其轨迹方程。此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空题的形式出现．
例3 在相距离1400米的A、B两哨所上，哨兵听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？

例4 若动圆与圆外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是_____________________

例5 一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）
（A）抛物线 （B）圆
（C）双曲线的一支 （D）椭圆
三、转移法（重中之重）
若轨迹点P（x ,y）依赖于某一已知曲线上的动点Q（x0, y0），则可先列出关于x、y, x0、y0的方程组，利用x、y表示出x0、y0，把x0、y0 代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程。一般用于两个或两个以上动点的情况。
例6 已知P是以F1、F2为焦点的双曲线上的动点，求ΔF1F2P的重心G的轨迹方程。

例7 已知抛物线，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．

四、点差法
圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A（x1,y1），B（x2,y2）的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x1+x2, y1+y2, x1-x2, y1-y2 等关系式，由于弦AB的中点P（x, y）的坐标满足2x= x1+x2, 2y= y1+y2且直线AB的斜率为，由此可求得弦AB的中点的轨迹方程。
例8 已知以P（2，2）为圆心的圆与椭圆x2+2y2=m交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。

五、几何法
运用平面几何的知识如平几中的5个基本轨迹、角平分线性质、圆中垂径定理等分析轨迹形成的条件，求得轨迹方程。

例9 如图，给出定点A（a,0）(a>0)和直线L：x=－1, B是直线L上的动点，∠BOA的平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。

六、 交轨法
一般用于求两动曲线交点的轨迹方程，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以选出一个适当的参数，求出两动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．
O
N
M
B
A
例10 已知MN是椭圆中垂直于长轴的动弦，A、B是椭圆长轴的两个端点，求直线 MA和NB的交点P的轨迹方程。

例11 已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．

七、参数法
若动点P（x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．常用的参数有点参数，角参数,斜率参数,定比参数,用此法要注意参数的实际意义.
M
O
A
B
例12 如图,设点A和B为抛物线y2= 4px (p>0)上原点O以外的两个动点,
且OA⊥OB,过O作OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程.

例13 设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

例14 过点M(-2, 0)作直线L交双曲线x－y = 1于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB。求动点P的轨迹方程。
y

M O x

八、韦达定理法
有些轨迹问题,其变量或不确定的因素较多,直接探求显得困难,但是,根据题设构造出一个一元二次方程,利用韦达定理来探究,则往往能消除一些参变量,迅速求得轨迹方程．
例15 过抛物线y=x2的顶点 O,任作两条互相垂直的弦OA,OB, 若分别以OA,OB为直径作圆, 求两圆的另一交点C的轨迹方程．

Part 3 经典习题
一、选择题
1. 已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线的一支 D.抛物线
2. 设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
二、填空题
3. △ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA,则动点A的轨迹方程为_________.
4. 高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.

三、解答题
5. 已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.

6. 双曲线=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.

7. 已知双曲线=1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；
(2)当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.

8. 已知椭圆=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.

(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.

解析与答案
一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,
∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,
即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.
答案：A
2.解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)
∵A1、P1、P共线，∴
∵A2、P2、P共线，∴
解得x0=
答案：C
二、3.解析：由sinC－sinB=sinA,得c－b=a,
∴应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为.
答案：
4.解析：设P(x,y），依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0.
答案：4x2+4y2－85x+100=0
三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|
=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y≠0)
6.解：设P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y).
∵A1(－a,0),A2(a,0).
由条件
而点P(x0,y0)在双曲线上，∴b2x02－a2y02=a2b2.
即b2(－x2)－a2()2=a2b2
化简得Q点的轨迹方程为：a2x2－b2y2=a4(x≠±a).
7.解：(1)设P点的坐标为(x1,y1)，则Q点坐标为(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0),
则A1P的方程为：y= ①
A2Q的方程为：y=－ ②
①×②得：y2=－ ③
又因点P在双曲线上，故
代入③并整理得=1.此即为M的轨迹方程.
(2)当m≠n时，M的轨迹方程是椭圆.
(ⅰ)当m＞n时，焦点坐标为(±,0)，准线方程为x=±,离心率e=；
(ⅱ)当m＜n时，焦点坐标为(0,±),准线方程为y=±,离心率e=.
8.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，
∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|
又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).
|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.
又
得x1=2x0－c,y1=2y0.
∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2.
故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y≠0)
(2)如右图，∵S△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB
当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为a2.
此时弦心距|OC|=.
在Rt△AOC中，∠AOC=45°，

Part 4 高考中的动点轨迹问题
1． 已知两点、，点为坐标平面内的动点，满足，求动点　的轨迹方程．

2． 已知动点到定点的距离与点到定直线：的距离之比为，求动点的轨迹的方程．

3．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，.圆的圆心是抛物线上的动点, 圆与轴交于两点，且，求椭圆的方程．

4．已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且，求动点的轨迹的方程．

5．在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆与直线相切于坐标原点，椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为，求圆的方程．

6．设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图6所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点，求满足条件的椭圆方程和抛物线方程．

7.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为和，椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点，求椭圆G的方程．

8．已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点 之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程．

9．已知双曲线的离心率为，右准线方程为，求双曲线C的方程．

10．已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆的方程（2）若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点， （e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

11．设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E，求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状．

12．已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为，求双曲线C的方程．

13．已知抛物线上一点到其焦点的距离为，求抛物线方程．

14．已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两条准线间的距离为，求椭圆的方程．

15．在平面直角坐标系中，记二次函数（）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为，求圆的方程．

16．已知曲线C是到点P（）和到直线距离相等的点的轨迹，求曲线C的方程．

17．如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．
（1）求边所在直线的方程；
（2）求矩形外接圆的方程；
（3）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，
求动圆的圆心的轨迹方程．

18．如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且，求动点的轨迹的方程；