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关于多项式除以多项式两个多项式相除,可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列,然后再仿照两个多位数相除得计算方法,用竖式进行计算.例如,我们来计算(7x26x2)(2x1),仿照67221,计算如下:(7x26x2)(2x1)=3x2.由上面得计算可知计算步骤大体就是,先用除式得第一项2x去除被除式得第一项6x2,得商式得第一项3x,然后用3x去乘除式,把积6x23x写在被除式下面(同类项对齐),从被除式中减去这个积,得4x2,再把4x2当作新得被除式,按照上面得方法继续计算,直到得出余式为止.上式得计算结果,余式等于0.如果一个多项式除以另一个多项式得余式为0,我们就说这个多项式能被另一个多项式整除,这时也可说除式能整除被除式.整式除法也有不能整除得情况.按照某个字母降幂排列得整式除法,当余式不就是0而次数低于除式得次数时,除法计算就不能继续进行了,这说明除式不能整除被除式.例如,计算(9x22x35)(4x3x2).解:所以商式为2x1,余式为2x8.与数得带余除法类似,上面得计算结果有下面得关系:9x22x35(4x3x2)(2xl)(2x8).这里应当注意,按照x得降幂排列,如果被除式有缺项,一定要留出空位.当然,也可用补0得办法补足缺项.当除式、被除式都按降幂排列时,各项得位置就可以表示所含字母得次数.因此,计算时,只须写出系数,算出结果后,再把字母与相应得指数补上去.这种方法叫做分离系数法.按照分离系数法,上面例题得计算过程如下:于就是得到商式=2x1,余式=2x8.对于多项式得乘法也可用分离系数法进行计算,例如,(2x35x4)(3x27x8)按分离系数法计算如下:所以,(2x35x4)(3x27x8)=6x514x4x323x212x32.如果您有兴趣,作为练习,可用上面得方法计算下面各题.1.(6x3x21)(2x1).2.(2x33x4)(x3).3.(x32x25)(x2x21).4.(xy)(x2xyy2).【本讲教育信息】一、 教学内容:单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式二、 重点、难点整式得除法与我们以前所学得整式得加法、减法、乘法有很多不同,特别就是多项式除以多项式,虽然就是选学内容,但多项式除以多项式在解决代数式求值,及复杂得因式分解都有很大得用处。【典型例题】例1 化简求值:,其中,解: 当,时原式 例2 A、 B、 C、 D、 以上都不对解析:解这道题如用正规途径应对比等式左右两边系数从左边到右边少了,所以所求代数式得系数为2而最后一项为1,所以所求代数式为。但这就是一道选择题可以用代入法把A、B、C四个答案代入试试,很快发现也就是A。说明:同学们在做选择题时应选用较为灵活得方法。例3 化简解:原式 例4 计算我们仿照小学学习得多位数除以多位数得法则建立多项式除以多项式得法则所以规则:1、 先把除式与被除式按降幂排列,如果除式与被除式中有缺项,缺项得位置补0。2、 用被除式得第一项除以除式得第一项,得商式得第一项再用这个商式去乘以除式,再把积写在被除式下面(同类项对齐),从被除式中减去这个积再把差当作新得被除式,按照上面得方法继续计算,直到得出余式为止。 例5 计算此题已把除式与被除式按降幂排列好了先用被除式得首项除以除式得首项得商式首项,再用乘以得把它写在被除式下面同类项对齐作减法得(),再把作为新得被除式,用除以得再用乘以得写在下面作减法得0除完。例6 在用多项式除以多项式法则之前,我们观察被除式,发现被除式有缺项,如果忽视这个问题那么按法则去做,则同类项不能对齐。所以应该在缺项得地方补0。现在新得问题出来了,再用除以会得负指数,这就是不行得,这时除法已经结束,我们仿照多位数除以多位数把叫做余式。所以说明:如果多项式除以多项式有除不尽得情况,那么写成被除式= 除式商式+余式余式得定义:当在做多项式除以多项式得除法时,如果新得被除式得最高次项小于除式得最高次项,则这个新得被除式为余式。 例7 已知多项式能被整除求值。解: 多项式能被整除 余式 例8 已知能被整除,求得值。解: 能被整除 例9 已知求得值分析:设法把用含有得代数式表示 说明:在这里我们用除以,有些同学存在困惑怎能做除数,这里作除法就是寻找两个多项式之间得关系,并不就是除0这一点,同学们要好好体会。【模拟试题】(答题时间:30分钟)1、 计算 2、 计算 3、 计算4、 已知多项式能被整除且商式就是,求得值。5、 如果能被整除,求得值。6、 已知,求7、 确定a得值使多项式能被除余数为1。8、 求除以得商式与余数9、 已知多项式可被与整除,求、得值及此式得因式。一、選擇:1. ( )若多項式A除以多項式B得商式為Q,餘式為R,則下列敘述何者恆正確？(A)AR就是Q得倍式(B)AR就是B得因式(C)A就是B得倍式(D)B就是A得倍式答案A詳解:由題意得:ABQR(B)ARBQ,即AR就是B得倍式(C)當R0時,A才就是B得倍式(D)當R0時,A就是B得倍式,B就是A得因式故選(A)2. ( )若2xxmx6為x2得倍式,則2xxmx6亦為下列何者得倍式？(A)x3 (B)x3 (C)2x3 (D)2x3答案C詳解:因為2xxmx6為x2得倍式所以x2能整除2xxmx6用x2去除2xxmx6得到:62(m10)0解得m72xxmx6(x2)(2x5x3)(x2)(x1)(2x3)故選(C)3. ( )3x13xaxb就是x2x3得倍式,則ab？(A)152 (B)44 (C)38 (D)2答案B詳解:用x2x3除3x13xaxb得:a230,b210所以a23,b21故ab44,選(B)4. ( )若(x2)与(2x3)都就是8xmx17xn得因式,試求n？(A)6 (B)6 (C)12 (D)12答案A詳解:(x2)(2x3)2x27x6用2x27x6除8xmx17xn得:n3(m28)0又m26解得n6,故選(A)5. ( )若(x2)与(2x3)都就是8xmx17xn得因式,則m？(A)26 (B)26 (C)30 (D)30答案A詳解:(x2)(2x3)2x27x6用2x27x6除8xmx17xn得:7(m28)0解上式得:m26,故選(A)6. ( )若不就是2x1得倍式,則下列哪一個不可能就是a得值？(A)3(B)1(C)1(D)3答案A詳解:用2x1去除得餘式為a3因為不就是2x1得倍式所以餘式a3不可能為0即a值不可能為3故選(A)二、填充:1. 已知x2與4x1都就是8x2x41x10得因式,則因式分解8x2x41x10 。答案(x2)(4x1)(2x5)詳解:(x2)(4x1)4x29x2用4x29x2除8x2x41x10得商式為2x5所以8x2x41x10(x2)(4x1)(2x5)2. 如圖,翊寧做了一個多項式直式除法,發現多項式2x3就是多項式4xax9xb得因式,其中部分係數以a、b、c、d、e、f表示,則:(1)a ,b ,c ,d ,e ,f 。(2)4xax9xb得另一個因式為 。答案(1)8,9,1,2,3,0(2)2xx3詳解:(1)由直式除法可知:2c2,c1e3c3d20,d2f0(整除,餘式為0)b90,b9(2)2x2cx32x2x3就是4xax9xb得因式3. 若x3xm為5x9xnx12得因式,則m,n。答案2,28詳解:用x3xm除5x9xnx12得:(n5m)180,126m0解得:m2,n284. 已知xx1為xk得因式,則:(1)k 。(2)因式分解xk 。答案(1)1 (2)(xx1)(x1)詳解:(1)用xx1除xk得:k10,故k1(2) 用xx1除xk得到得商式為x1所以xkx1(x1)( xx1)5. 若x1與x2皆為x6xkx6得因式,則:(1)k 。(2)因式分解x6xkx6 。答案(1)11 (2)(x1)(x2)(x3)詳解:(1)(x1)(x2)x23x2用x23x2除x6xkx6得:(k2)90解得:k11(2)用x23x2除x6xkx6得商式為:x3所以x6xkx6(x1)(x2)(x3)6. 已知xxx1有因式x1,則因式分解xxx1 。答案(x1)(x1)詳解:用x0x1(缺項補0)除xxx1得商式為:x1故xxx1(x1)(x1)7. 若xmxnx10為x2與x5得倍式,則:(1)(m , n) 。(2)xmxnx10得因式分解為 。答案(1)(2 , 13)(2)(x2)(x5)(x1)詳解:(1)(x2)(x5)x23x10用x23x10除xmxnx10得:(n10)3(m3)01010(m3)0解得:m2,n13故(m , n)(2 , 13)(2) 用x23x10除x2x13x10得商式為x1所以x2x13x10(x23x10)( x1)(x2)(x5)(x1)8. 已知3x11x27x14就是x3x7得倍式,則因式分解3x11x27x14 。答案(x3x7)(3x2)詳解:用x3x7除3x11x27x14得商式為:3x2即3x11x27x14)( x3x7) (3x29. 設2x1就是4xmx6得因式,則:(1)m 。(2)x2就是否為4xmx6得因式？答: 。(3)因式分解4xmx6 。答案(1)13 (2)就是(3)(2x1)(x2)(2x3)詳解:(1)用2x1除4x0x2mx6(缺項補0)得:6(m1)0解得:m13(2)用x2除4x0x213x6(缺項補0)得商式為4x28x3,餘式為0,整除故)x2就是4xmx6得因式(3)由(2)知:4x13x6(x2)( 4x28x3)用2x1除4x28x3得商式為2x3,餘式為0即4x28x3(2x1)( 2x3)故4x13x6(2x1)(x2)(2x3)10. 若xx1就是多項式2x5xax3得因式,則a 。答案1詳解:用xx1除2x5xax3得(a2)30故a111. 設x1及2x3都就是6xax13xb得因式,則2ab 。答案2詳解:(x1)(2x3)2x2x3用2x2x3除6xax13xb得:4(a3)0,b(a3)0解得:a5,b12故2ab25(12)212. 若多項式(x2)(x2x4x8)有因式x4,則此多項式可因式分解為 答案(x2)(x4)(x2)用x0x4(缺項補0)除x2x4x8得商式為:x2所以x2x4x8(x4)(x2)故(x2)(x2x4x8(x2)(x4)(x2)13. 若xax3xb為x2x1得倍式,則:(1)a。 (2)b。答案(1)0 (2)2詳解:用x2x1除xax3xb得:42(a2)0,b(a2)0解得:a0,b214. 欲使x3x1為x4得倍式,則必須在x3x1中加上常數k,則k 。答案5詳解:用x4除x3x1k得餘式為:k5因為x3x1為x4得倍式所以k50故k5三、計算:1. 若x2xb為3x2xax12得因式,則:(1)a、b得值分別為何？(2)因式分解3x2xax12？答案(1)a1,b3 (2)(x2x3)(3x4)詳解:(1)因為x2xb為3x2xax12得因式所以x2xb可以整除3x2xax12即(a3b)(8)0a3b8(1)124b0b3(2)將(2)式代入(1)式中,解出a1(2)由上面得除法可知(3x2xax12)(x2xb)3x4也就就是說3x2xax12可以因式分解為(x2x3)(3x4) 2. 若2x3xb就是2x7xax2得因式,則:(1)a、b之值分別為何？(2)承上題,請因式分解2x7xax2。答案(1)a5,b1(2)(2x3x1)(x2)詳解:(1)2x3xb就是2x7xax2得因式2x3xb能整除2x7xax2則(2)2x7xax2(2x3xb)(x2)又a5,b12x7x5x2(2x3x1)(x2)3. 已知6x11x19x6就是x3與2x1得倍式,則因式分解6x11x19x6？答案(x3)(2x1)(3x2)詳解:因為(x3)(2x1)2x5x3而且6x11x19x6就是x3與2x1得倍式所以6x11x19x6就是2x5x3得倍式又6x11x19x6(2x5x3)(3x2) 所以6x11x19x6可以因式分解為(x3)(2x1)(3x2)4. 已知xx1就是2x3xx1得因式,則因式分解2x3xx1？答案(xx1)(2x1) 詳解:因為xx1就是2x3xx1得因式所以xx1可以整除2x3xx1又(2x3xx1)(xx1)2x1所以2x3xx1可以因式分解為(xx1)(2x1) 5. 已知x2就是xbx6得因式,則b？答案1詳解:因為x2就是xbx6得因式所以xbx6能被x2整除即b10,解出b1