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关于多项式除以多项式
两个多项式相除,可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列,然后再仿照两个多位数相除得计算方法,用竖式进行计算.例如,我们来计算(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1),仿照672÷21,计算如下:

∴(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)=3x＋2.
由上面得计算可知计算步骤大体就是,先用除式得第一项2x去除被除式得第一项
6x2,得商式得第一项3x,然后用3x去乘除式,把积6x2＋3x写在被除式下面(同类项对齐),从被除式中减去这个积,得4x＋2,再把4x＋2当作新得被除式,按照上面得方法继续计算,直到得出余式为止.上式得计算结果,余式等于0.如果一个多项式除以另一个多项式得余式为0,我们就说这个多项式能被另一个多项式整除,这时也可说除式能整除被除式.
整式除法也有不能整除得情况.按照某个字母降幂排列得整式除法,当余式不就是0而次数低于除式得次数时,除法计算就不能继续进行了,这说明除式不能整除被除式.例如,计算(9x2＋2x3＋5)÷(4x－3＋x2).
解:

所以商式为2x＋1,余式为2x＋8.
与数得带余除法类似,上面得计算结果有下面得关系:
9x2＋2x3＋5＝(4x－3＋x2)(2x＋l)＋(2x＋8).
这里应当注意,按照x得降幂排列,如果被除式有缺项,一定要留出空位.当然,也可用补0得办法补足缺项.
当除式、被除式都按降幂排列时,各项得位置就可以表示所含字母得次数.因此,计算时,只须写出系数,算出结果后,再把字母与相应得指数补上去.这种方法叫做分离系数法.按照分离系数法,上面例题得计算过程如下:

于就是得到
商式=2x＋1,余式=2x＋8.
对于多项式得乘法也可用分离系数法进行计算,例如,(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)按分离系数法计算如下:

所以,
(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)
=6x5－14x4＋x3＋23x2－12x－32.
如果您有兴趣,作为练习,可用上面得方法计算下面各题.
1.(6x3＋x2－1)÷(2x－1).
2.(2x3＋3x－4)÷(x－3).
3.(x3－2x2－5)(x－2x2－1).
4.(x＋y)(x2－xy＋y2).
【本讲教育信息】
一、 教学内容:
单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式

二、 重点、难点
整式得除法与我们以前所学得整式得加法、减法、乘法有很多不同,特别就是多项式除以多项式,虽然就是选学内容,但多项式除以多项式在解决代数式求值,及复杂得因式分解都有很大得用处。

【典型例题】
[例1] 化简求值:
,其中,
解:

当,时
原式

[例2]
A、         B、        C、         D、 以上都不对
解析:解这道题如用正规途径应对比等式左右两边系数从左边到右边少了,所以所求代数式得系数为2而最后一项为1,所以所求代数式为。但这就是一道选择题可以用代入法把A、B、C四个答案代入试试,很快发现也就是A。
说明:同学们在做选择题时应选用较为灵活得方法。
[例3] 化简
解:原式

[例4] 计算
我们仿照小学学习得多位数除以多位数得法则建立多项式除以多项式得法则

所以
规则:
1、 先把除式与被除式按降幂排列,如果除式与被除式中有缺项,缺项得位置补0。
2、 用被除式得第一项除以除式得第一项,得商式得第一项再用这个商式去乘以除式,再把积写在被除式下面(同类项对齐),从被除式中减去这个积再把差当作新得被除式,按照上面得方法继续计算,直到得出余式为止。
[例5] 计算

此题已把除式与被除式按降幂排列好了先用被除式得首项除以除式得首项得商式首项,再用乘以得把它写在被除式下面同类项对齐作减法得(),再把作为新得被除式,用除以得再用乘以得写在下面作减法得0除完。
[例6]
在用多项式除以多项式法则之前,我们观察被除式,发现被除式有缺项,如果忽视这个问题那么按法则去做,则同类项不能对齐。所以应该在缺项得地方补0。

现在新得问题出来了,再用除以会得负指数,这就是不行得,这时除法已经结束,我们仿照多位数除以多位数把叫做余式。
所以
说明:如果多项式除以多项式有除不尽得情况,那么写成被除式= 除式×商式+余式
余式得定义:当在做多项式除以多项式得除法时,如果新得被除式得最高次项小于除式得最高次项,则这个新得被除式为余式。
[例7] 已知多项式能被整除求值。
解:

∵ 多项式能被整除
∴ 余式    ∴
[例8] 已知能被整除,求得值。
解:

∵ 能被整除
∴      ∴
[例9] 已知求得值
分析:设法把用含有得代数式表示

∴
∵
∴
说明:在这里我们用除以,有些同学存在困惑怎能做除数,这里作除法就是寻找两个多项式之间得关系,并不就是除0这一点,同学们要好好体会。

【模拟试题】(答题时间:30分钟)
1、 计算 ①
②
2、 计算 ①
②
③
3、 计算
4、 已知多项式能被整除且商式就是,求得值。
5、 如果能被整除,求得值。
6、 已知,求
7、 确定a得值使多项式能被除余数为1。
8、 求除以得商式与余数
9、 已知多项式可被与整除,求、得值及此式得因式。
一、選擇:
1. ( )若多項式A除以多項式B得商式為Q,餘式為R,則下列敘述何者恆正確？
(A)A－R就是Q得倍式
(B)A－R就是B得因式
(C)A就是B得倍式
(D)B就是A得倍式
《答案》A
詳解:由題意得:A＝BQ＋R
(B)A－R＝BQ,即A－R就是B得倍式
(C)當R＝0時,A才就是B得倍式
(D)當R＝0時,A就是B得倍式,B就是A得因式
故選(A)
2. ( )若2x＋x＋mx－6為x－2得倍式,則2x＋x＋mx－6亦為下列何者得倍式？
(A)x＋3 (B)x－3 (C)2x＋3 (D)2x－3
《答案》C
詳解:因為2x＋x＋mx－6為x－2得倍式
所以x－2能整除2x＋x＋mx－6
用x－2去除2x＋x＋mx－6得到:
－6＋2(m＋10)＝0
解得m＝－7
2x＋x＋mx－6
＝(x－2)(2x＋5x＋3)
＝(x－2)(x＋1)(2x＋3)
故選(C)
3. ( )3x－13x＋ax－b就是x－2x＋3得倍式,則a＋b＝？
(A)152 (B)44 (C)38 (D)2
《答案》B
詳解:用x－2x＋3除3x－13x＋ax－b
得:a－23＝0,－b＋21＝0
所以a＝23,b＝21
故a＋b＝44,選(B)
4. ( )若(x＋2)与(2x＋3)都就是8x＋mx＋17x＋n得因式,試求n＝？
(A)－6 (B)6 (C)－12 (D)12
《答案》A
詳解:(x＋2)(2x＋3)＝2x2＋7x＋6
用2x2＋7x＋6除8x＋mx＋17x＋n得:
n－3(m－28)＝0
又m＝26
解得n＝－6,故選(A)
5. ( )若(x＋2)与(2x＋3)都就是8x＋mx＋17x＋n得因式,則m＝？
(A)26 (B)－26 (C)30 (D)－30
《答案》A
詳解:(x＋2)(2x＋3)＝2x2＋7x＋6
用2x2＋7x＋6除8x＋mx＋17x＋n得:
－7－(m－28)＝0
解上式得:m＝26,故選(A)
6. ( )若不就是2x－1得倍式,則下列哪一個不可能就是a得值？
(A)－3　(B)－1　(C)1　(D)3
《答案》A
詳解:用2x－1去除得餘式為a＋3
因為不就是2x－1得倍式
所以餘式a＋3不可能為0
即a值不可能為－3
故選(A)
二、填充:
1. 已知x＋2與4x＋1都就是8x－2x－41x－10得因式,則因式分解8x－2x－41x－10＝ 。
《答案》(x＋2)(4x＋1)(2x－5)
詳解:(x＋2)(4x＋1)＝4x2＋9x＋2
用4x2＋9x＋2除8x－2x－41x－10
得商式為2x－5
所以8x－2x－41x－10＝(x＋2)(4x＋1)(2x－5)
2. 如圖,翊寧做了一個多項式直式除法,發現多項式2x－3就是多項式4x＋ax＋9x＋b得因式,其中部分係數以a、b、c、d、e、f表示,則:

(1)a＝ ,b＝ ,
c＝ ,d＝ ,
e＝ ,f＝ 。
(2)4x＋ax＋9x＋b得另一個因式為 。
《答案》(1)－8,－9,－1,－2,3,0
(2)2x－x＋3
詳解:(1)由直式除法可知:
2c＝－2,c＝－1
e＝－3c＝3
d＋2＝0,d＝－2
f＝0(整除,餘式為0)
b－9＝0,b＝9
(2)2x2＋cx＋3＝2x2－x＋3就是4x＋ax＋9x＋b得因式
3. 若x－3x＋m為5x－9x＋nx－12得因式,則m＝　　　　,n＝　　　　。
《答案》－2,－28
詳解:用x－3x＋m除5x－9x＋nx－12
得:(n－5m)＋18＝0,－12－6m＝0
解得:m＝－2,n＝－28
4. 已知x＋x＋1為x＋k得因式,則:
(1)k＝ 。
(2)因式分解x＋k 。
《答案》(1)－1 (2)(x＋x＋1)(x－1)
詳解:(1)用x＋x＋1除x＋k
得:k＋1＝0,故k＝－1
(2) 用x＋x＋1除x＋k得到得商式為x－1
所以x＋k＝x－1＝(x－1)( x＋x＋1)
5. 若x－1與x－2皆為x－6x＋kx－6得因式,則:
(1)k＝ 。
(2)因式分解x－6x＋kx－6＝ 。
《答案》(1)11 (2)(x－1)(x－2)(x－3)
詳解:(1)(x－1)(x－2)＝x2－3x＋2
用x2－3x＋2除x－6x＋kx－6
得:(k－2)－9＝0
解得:k＝11
(2)用x2－3x＋2除x－6x＋kx－6
得商式為:x－3
所以x－6x＋kx－6＝(x－1)(x－2)(x－3)
6. 已知x－x＋x－1有因式x＋1,則因式分解x－x＋x－1＝ 。
《答案》(x＋1)(x－1)
詳解:用x＋0x＋1(缺項補0)除x－x＋x－1
得商式為:x－1
故x－x＋x－1＝(x＋1)(x－1)
7. 若x＋mx＋nx＋10為x－2與x＋5得倍式,則:
(1)(m , n)＝ 。
(2)x＋mx＋nx＋10得因式分解為 。
《答案》(1)(2 , －13)　(2)(x－2)(x＋5)(x－1)
詳解:(1)(x－2)(x＋5)＝x2＋3x－10
用x2＋3x－10除x＋mx＋nx＋10
得:(n＋10)－3(m－3)＝0
10－10(m－3)＝0
解得:m＝2,n＝－13
故(m , n)＝(2 , －13)
(2) 用x2＋3x－10除x＋2x－13x＋10
得商式為x－1
所以x＋2x－13x＋10＝(x2＋3x－10)( x－1)
＝(x－2)(x＋5)(x－1)
8. 已知3x－11x＋27x－14就是x－3x＋7得倍式,則因式分解3x－11x＋27x－14＝ 。
《答案》(x－3x＋7)(3x－2)
詳解:用x－3x＋7除3x－11x＋27x－14
得商式為:3x－2
即3x－11x＋27x－14＝)( x－3x＋7) (3x－2
9. 設2x＋1就是4x＋mx－6得因式,則:
(1)m＝ 。
(2)x－2就是否為4x＋mx－6得因式？答: 。
(3)因式分解4x＋mx－6＝ 。
《答案》(1)－13 (2)就是
(3)(2x＋1)(x－2)(2x＋3)
詳解:(1)用2x＋1除4x＋0x2＋mx－6(缺項補0)
得:－6－(m＋1)＝0
解得:m＝－13
(2)用x－2除4x＋0x2－13x－6(缺項補0)
得商式為4x2＋8x＋3,餘式為0,整除
故)x－2就是4x＋mx－6得因式
(3)由(2)知:
4x－13x－6＝(x－2)( 4x2＋8x＋3)
用2x＋1除4x2＋8x＋3
得商式為2x＋3,餘式為0
即4x2＋8x＋3＝(2x＋1)( 2x＋3)
故4x－13x－6＝(2x＋1)(x－2)(2x＋3)
10. 若x－x－1就是多項式2x－5x－ax＋3得因式,則a＝ 。
《答案》－1
詳解:用x－x－1除2x－5x－ax＋3
得(－a＋2)－3＝0
故a＝－1
11. 設x＋1及2x－3都就是6x＋ax－13x＋b得因式,則2a＋b＝ 。
《答案》－2
詳解:(x＋1)(2x－3)＝2x2－x－3
用2x2－x－3除6x＋ax－13x＋b
得:－4＋(a＋3)＝0,b＋(a＋3)＝0
解得:a＝5,b＝－12
故2a＋b＝2×5＋(－12)＝－2
12. 若多項式(x－2)(x＋2x＋4x＋8)有因式x＋4,則此多項式可因式分解為 《答案》(x－2)(x＋4)(x＋2)
用x＋0x＋4(缺項補0)除x＋2x＋4x＋8
得商式為:x＋2
所以x＋2x＋4x＋8＝(x＋4)(x＋2)
故(x－2)(x＋2x＋4x＋8＝(x－2)(x＋4)(x＋2)
13. 若x＋ax－3x＋b為x＋2x＋1得倍式,則:
(1)a＝　　　　。 (2)b＝　　　　。
《答案》(1)0 (2)－2
詳解:用x＋2x＋1除x＋ax－3x＋b
得:－4－2(a－2)＝0,b－(a－2)＝0
解得:a＝0,b＝－2
14. 欲使x－3x＋1為x－4得倍式,則必須在x－3x＋1中加上常數k,則k＝ 。
《答案》－5
詳解:用x－4除x－3x＋1＋k
得餘式為:k＋5
因為x－3x＋1為x－4得倍式
所以k＋5＝0
故k＝－5
三、計算:
1. 若x－2x＋b為3x－2x＋ax＋12得因式,則:
(1)a、b得值分別為何？
(2)因式分解3x－2x＋ax＋12＝？

《答案》(1)a＝1,b＝3
(2)(x－2x＋3)(3x＋4)
詳解:

(1)因為x－2x＋b為3x－2x＋ax＋12得因式
所以x－2x＋b可以整除3x－2x＋ax＋12
即(a－3b)－(－8)＝0
a－3b＝－8……(1)
12－4b＝0b＝3……(2)
將(2)式代入(1)式中,解出a＝1
(2)由上面得除法可知
(3x－2x＋ax＋12)÷(x－2x＋b)＝3x＋4
也就就是說3x－2x＋ax＋12可以因式分解為(x－2x＋3)(3x＋4)
2. 若2x－3x＋b就是2x－7x＋ax＋2得因式,則:
(1)a、b之值分別為何？
(2)承上題,請因式分解2x－7x＋ax＋2。

《答案》(1)a＝5,b＝－1
(2)(2x－3x－1)(x－2)
詳解:(1)

∵2x－3x＋b就是2x－7x＋ax＋2得因式
∴2x－3x＋b能整除2x－7x＋ax＋2
則
(2)∵2x－7x＋ax＋2＝(2x－3x＋b)(x－2)
又a＝5,b＝－1
∴2x－7x＋5x＋2＝(2x－3x－1)(x－2)
3. 已知6x－11x－19x－6就是x－3與2x＋1得倍式,則因式分解6x－11x－19x－6＝？

《答案》(x－3)(2x＋1)(3x＋2)
詳解:因為(x－3)(2x＋1)＝2x－5x－3
而且6x－11x－19x－6就是x－3與2x＋1得倍式
所以6x－11x－19x－6就是2x－5x－3得倍式
又6x－11x－19x－6＝(2x－5x－3)(3x＋2)
所以6x－11x－19x－6可以因式分解為(x－3)(2x＋1)(3x＋2)
4. 已知x＋x－1就是2x＋3x－x－1得因式,則因式分解2x＋3x－x－1＝？

《答案》(x＋x－1)(2x＋1)
詳解:因為x＋x－1就是2x＋3x－x－1得因式
所以x＋x－1可以整除2x＋3x－x－1
又(2x＋3x－x－1)÷(x＋x－1)＝2x＋1
所以2x＋3x－x－1可以因式分解為(x＋x－1)(2x＋1)
5. 已知x＋2就是x＋bx－6得因式,則b＝？

《答案》－1
詳解:

因為x＋2就是x＋bx－6得因式
所以x＋bx－6能被x＋2整除
即b＋1＝0,解出b＝－1