一轮复习平面向量学案.doc

一轮复习平面向量学案

1．向量的有关概念

名称
定义
向量
既有 又有 的量叫做向量，向量的大小也就是向量的 (或称 )
零向量
的向量叫做零向量，其方向是 的，零向量记作 ___
单位向量
长度等于 个单位的向量
平行向量
方向相同或 的 向量叫做平行向量，平行向量又叫 向量．规定： 与任一向量_____
相等向量
长度 且方向 的向量
相反向量
长度 且方向 的向量

[探究]　1.两向量共线与平行是两个不同的概念吗？两向量共线是指两向量的方向一致吗？
2．两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同？
2．向量的线性运算

[探究]　3.λ＝0与a＝0时，λa的值是否相等？
4．若|a＋b|＝|a－b|，你能给出以a，b为邻边的平行四边形的形状吗？
3．共线向量定理
如果有一个实数λ，使 ，那么b与a是共线向量，反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使 .
[探究]　5.当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立吗？

1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝ |a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是______.

[例2]　在△ABC中，
(1)若D是AB边上一点，且＝2，＝＋λ，则λ＝ _________.
(2)若O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，那么 与的关系是________．

在本例条件下，若||＝| |＝|－|＝2，则|＋|为何值？

2．如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB.设＝a，＝b，
用a，b表示向量，.

[例3]　设两个非零向量a与b不共线，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线．
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

3．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．

课后训练
1．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足 ＋＋＝，则＝_________
2．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.设＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝________(用a，b表示)．
3．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝ (m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面说法错误的是 _________________.
①若a与b共线，则a⊙b＝0
②a⊙b＝b⊙a
③对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
④(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
4．已知点A、B、C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则关于x的方程x2＋x＋＝0的解集为__________.
5.如图所示，在五边形ABCDE中，点M、 N、P、Q分别是AB、CD、BC、DE的中点，K和L分别是MN和PQ的中点，求证：＝.

2．平面向量基本定理及坐标表示
(1)平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝ __________.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．
(2)平面向量的坐标表示：
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a＝ ，其中 叫做a在x轴上的坐标， 叫做a在y轴上的坐标．
②设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是 的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为 ，反之亦成立．(O是坐标原点)
3．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝ ；
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ ；
(3)若a＝(x，y)，则λa＝ ；
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ .

[例1]　如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基底a，b表示向量.

1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，.

[例2]　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.求：
(1)3a＋b－3c；
(2)M、N的坐标及向量的坐标．

2．已知点A(－1,2)，B(2,8)以及＝，＝－，求点C、D的坐标和的坐标．

[例3]　平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.
本例(2)成立的前提下，a＋kc与2b－a是同向还是反向．

3．(1)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．
(2)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－1，－2)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.

[典例]　(2011·湖南高考)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．

1． 若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋ = ______．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，
m∥n，则cos A＝________.
课后训练
1.已知a1＋a2＋…＋an＝0，且an＝(3,4)，则a1＋a2＋…＋ an－1的坐标为_________.
2．若α，β是一组基底，向量γ＝x·α＋y·β(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为______.
3.(2013·徐州期中)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1， m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
4.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，
＝d，试用c，d表示，.

1．平面向量的数量积
平面向量数量积的定义 ：已知两个 向量a和b，它们的夹角为θ，把数量
叫做a和b的数量积(或内积)，记作 .即a·b＝ ，规定0·a＝0.
2．向量数量积的运算律
(1)a·b＝ (2)(λa)·b＝ (3)(a＋b)·c＝
[探究]　根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立．
(1)a·b＝a·c，则b＝c吗？ (2)(a·b)c＝a(b·c)吗？

[例1]　(1)(2012·天津高考)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ) ，λ∈R，若·＝－，则λ＝____________.
(2)(2012·上海高考)在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足则·的取值范围是________．

1.(2012·江苏高考)如图，在矩形ABCD中， AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝,则·的值是________．

[例2]　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|和|a－b|.

本例条件不变，若＝a，＝b，试求△ABC的面积．

2．(1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值；
(2)已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c与向量a的夹角．

[例3]　已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算|a＋b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．

3．在直角三角形ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，求k的值．

[例4]　设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.

4．在△ABC中，已知2·＝||·||＝3| |2，求角A，B，C的大小．

[典例]　(2012·广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝______.

1．已知向量与关于x轴对称，j＝(0,1)，则满足不等式2＋j·≤0的点Z(x，y)的集合用阴影表示为下列中的______．

2．已知平面内的向量，满足：||＝||＝2， 与的夹角为，又＝λ1＋λ2,0≤λ1≤1,1≤λ2≤2，则点P的集合所表示的图形的面积是_________.

课后作业
1．下列判断：
①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；
②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；
③a，b共线⇔a·b＝|a||b|； ④|a||b|<a·b；
⑤a·a·a＝|a|3； ⑥a2＋b2≥2a·b；
⑦非零向量a，b满足a·b>0，则a与b的夹角为锐角；
⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影的数量．
其中正确的是________．
2．(2013·江苏诚贤中学质检)已知向量a＝(x,3)，b＝(2,1)， 若a与b的夹角为锐角，
则实数x的取值范围是____．
3．已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈.
(1)若||＝| |，求角α的值；
(2)若·＝－1，求的值．

4．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，
且 (1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．

1.复数的有关概念

2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点 与平面向量 (a，b∈R)是一一对应的关系．

(2)复数的加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝ ，
(z1＋z2)＋z3＝ ．
(3)复数的乘法的运算定律
复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2
＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.

[例1]　(1)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为 ________.
(2)(2012·江西高考改编)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共扼复数，
则z2＋2的虚部为________.

若本例(1)中为实数，则a为何值？

1．(1)已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是 _______.
(2)(2013·南京四校联考)已知i是虚数单位，复数z＝则|z|＝________.

[例2]　(1)(2012·北京高考改编)在复平面内，复数对应的点的坐标为 _________.
(2)(2013·东营模拟)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是 ________(填复平面内表示该点的字母)．

2．复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应 的点分别为A，B，C，若∠BAC是钝角，求实数c的取值范围．

[例3]　(1)(2012·山东高考)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z = _________.
(2)(2012·江苏高考)设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b = ________．

2． 已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－ (5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，求z1，z2.

[典例]　(2011·陕西高考改编)设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝，则M∩N = ____________.

1．(2012·上海高考改编)若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则 b＝________，c＝________.
2．已知定义在复数集C上的函数满足f(x)＝则f(f(1－i))等于________．

课后作业

1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x＝____.
2．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a ＝________.
3．把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位．若z＝1＋i，
则(1＋z)·＝________.
4．设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B、D两点
对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是________．

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