(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题11平面解析几何解答题文(含解析).pdf

专题专题 1111 平面解析几何解答题平面解析几何解答题历年考题细目表历年考题细目表题型题型解答题解答题解答题解答题解答题解答题解答题解答题解答题解答题历年高考真题汇编历年高考真题汇编年份年份2019201820172016201520142013201220112010考点考点椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆椭圆试题位置试题位置2019 年北京文科 192018 年北京文科 202017 年北京文科 192016 年北京文科 192015 年北京文科 202014 年北京文科 192013 年北京文科 192012 年北京文科 192011 年北京文科 192010 年北京文科 191【2019 年北京文科 19】已知椭圆C：（）求椭圆C的方程；1 的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）（）设O为原点，直线l：ykx+t（t1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N若|OM|ON|2，求证：直线l经过定点【解答】解：（）椭圆C：可得bc1，a，1 的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）则椭圆方程为y21；22222（）证明：ykx+t与椭圆方程x+2y2 联立，可得（1+2k）x+4ktx+2t20，设P（x1，y1），Q（x2，y2），116k t4（1+2k）（2t2）0，x1+x22222，x1x2，AP的方程为yx+1，令y0，可得y，即M（，0）；AQ的方程为yx+1，令y0，可得y即N（，0）（1y1）（1y2）1+y1y2（y1+y2）1+（kx1+t）（kx2+t）（kx1+kx2+2t）（1+t2t）+k22（ktk）（），|OM|ON|2，即为|22|2，即有|t1|（t1），由t1，解得t0，满足0，即有直线l方程为ykx，恒过原点（0，0）2【2018 年北京文科 20】已知椭圆M：直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B（）求椭圆M的方程；（）若k1，求|AB|的最大值；1（ab0）的离心率为，焦距为 2斜率为k的（）设P（2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D若C，D和点Q（，）共线，求k【解答】解：（）由题意可知：2c2，则c，椭圆的离心率e，则a，b2a2c21，椭圆的标准方程：；（）设直线AB的方程为：yx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），2联立，整理得：4x+6mx+3m30，（6m）443（m1）0，整理得：m4，22222x1+x2，x1x2，|AB|当m0 时，|AB|取最大值，最大值为；，（）设直线PA的斜率kPA，直线PA的方程为：y（x+2），联立，消去y整理得：（x1+4x1+4+3y1）x+12y1x+（12y13x112x112）0，222222由代入上式得，整理得：（4x1+7）x+（124x1）x（7x1+12x1）0，222x1xC，xC，则yC（2），则C（，），同理可得：D（，），由Q（，），则（，），（，），由与共线，则，整理得：y2x2y1x1，则直线AB的斜率kk的值为 11，3【2017 年北京文科 19】已知椭圆C的两个顶点分别为A（2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为3（）求椭圆C的方程；（）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E 求证：BDE与BDN的面积之比为 4：5【解答】解：（）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：（ab0），则a2，e，则c，b2a2c21，椭圆C的方程；（）证明：设D（x0，0），（2x02），M（x0，y0），N（x0，y0），y00，则直线AM的斜率kAM，直线DE的斜率kDE，直线DE的方程：y（xx0），直线BN的斜率kBN，直线BN的方程y（x2），解得：过E做EHx轴，BHEBDN，则|EH|，则，：BDE与BDN的面积之比为 4：544【2016 年北京文科 19】已知椭圆C：（1）求椭圆C的方程及离心率；1 过点A（2，0），B（0，1）两点（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值【解答】（1）解：椭圆C：a2，b1，则1 过点A（2，0），B（0，1）两点，椭圆C的方程为（2）证明：如图，离心率为e；设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y，取x0，得；，PB所在直线方程为，取y0，得5|AN|，|BM|1四边形ABNM的面积为定值 25【2015 年北京文科 20】已知椭圆C：x+3y3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于22A，B两点，直线AE与直线x3 交于点M（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由【解答】解：（1）椭圆C：x+3y3，22椭圆C的标准方程为：a，b1，c，y21，椭圆C的离心率e；（2）AB过点D（1，0）且垂直于x轴，可设A（1，y1），B（1，y1），6E（2，1），直线AE的方程为：y1（1y1）（x2），令x3，得M（3，2y1），直线BM的斜率kBM（3）结论：直线BM与直线DE平行证明如下：1；当直线AB的斜率不存在时，由（2）知kBM1，又直线DE的斜率kDE1，BMDE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为yk（x1）（k1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y1（x2），令x3，则点M（3，），直线BM的斜率kBM联立222，2，得（1+3k）x6k x+3k30，由韦达定理，得x1+x2，x1x2，kBM170，kBM1kDE，即BMDE；综上所述，直线BM与直线DE平行6【2014 年北京文科 19】已知椭圆C：x+2y4（）求椭圆C的离心率；（）设O为原点，若点A在直线y2 上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值22【解答】解：（）椭圆C：x+2y4 化为标准方程为a2，b，c，22，椭圆C的离心率e；（）设A（t，2），B（x0，y0），x00，则OAOB，0，tx0+2y00，t，|AB|（x0t）+（y0 2）（x0222）+（y0 2）x0+y022224 x0244（0 x04），2因为4（0 x04），当且仅当2，即x04 时等号成立，所以|AB|822线段AB长度的最小值为 27【2013 年北京文科 19】直线ykx+m（m0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点8（）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形【解答】解：（I）点B的坐标为（0，1），当四边形OABC为菱形时，ACOB，而B（0，1），O（0，0），线段OB的垂直平分线为y，将y代入椭圆方程得x，因此A、C的坐标为（于是AC2，），如图，（II）欲证明四边形OABC不可能为菱形，利用反证法，假设四边形OABC为菱形，则有OAOC，设OAOCr，则A、C为圆x+yr与椭圆222的交点，故，x2（r1），则A、C两点的横坐标相等或互为相反数2从而得到点B是W的顶点这与题设矛盾于是结论得证8【2012 年北京文科 19】已知椭圆C：1（ab0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线yk（x1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（）求椭圆C的方程；（）当AMN的面积为时，求k的值9【解答】解：（）椭圆一个顶点为A（2，0），离心率为，b椭圆C的方程为；（）直线yk（x1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k）x4k x+2k402222设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2，|MN|A（2，0）到直线yk（x1）的距离为AMN的面积SAMN的面积为，k19【2011 年北京文科 19】已知椭圆G：1（ab0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为 1 的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（3，2）（）求椭圆G的方程；10（）求PAB的面积【解答】解：（）由已知得，c解得a，又bac4，222，所以椭圆G的方程为（）设直线l的方程为yx+m，由得 4x+6mx+3m12022设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0，y0 x0+m，因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB，所以PE的斜率k解得m2此时方程为 4x+12x0解得x13，x20，所以y11，y22，所以|AB|32，此时，点P（3，2）到直线AB：yx+2 距离d，11所以PAB的面积s|AB|d10【2010 年北京文科 19】已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P（）求椭圆C的方程；（）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值，离心率是，直线y【解答】解：（）因为，且，所以所以椭圆C的方程为（）由题意知p（0，t）（1t1）由得，所以圆P的半径为则有t3（1t），22解得所以点P的坐标是（0，2）22（）由（）知，圆P的方程x+（yt）3（1t）因为点Q（x，y）在圆P上所以设tcos，（0，），则当，即，且x0，y取最大值 2考题分析与复习建议考题分析与复习建议12本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题最新高考模拟试题x2y2x2y261已知椭圆C1:221(a b 0)的离心率为，椭圆C2:221(a b 0)经过点ab3a3b3332,2.（1）求椭圆C1的标准方程；（2）设点M是椭圆C1上的任意一点，射线MO与椭圆C2交于点N，过点M的直线l与椭圆C1有且只有一个公共点，直线l与椭圆C2交于A,B两个相异点，证明：NAB面积为定值.y2x 1【答案】（1）；（2）见解析.132【解析】（1）解：因为C1的离心率为6，36b2所以12，9a解得a2 3b2.3311x2y2,1.将点代入，整理得12222224a4b3a3b联立，得a21，b 21，313y2x 1故椭圆C1的标准方程为.132（2）证明：当直线l的斜率不存在时，点M为1,0或1,0，由对称性不妨取M1,0，x2由（1）知椭圆C2的方程为 y21，所以有N 3,0.3将x 1代入椭圆C2的方程得y 6，3所以SNAB11MN AB 223 12362 6.3当直线l的斜率存在时，设其方程为y kx m，将y kx m代入椭圆C1的方程得13k2x26kmx 3m21 0，2由题意得 6km4 13k整理得3m213k2.23m21 0，将y kx m代入椭圆C2的方程，得13k2x26kmx3m23 0.设Ax1,y1，Bx2,y2，6km3m23则x1 x2，x1x2，2213k13k所以AB 1k2x1 x221k22 3 3k21m22 6 1k2.4x1x223k 13 m设Mx0,y0，Nx3,y3，ON MO，则可得x3 x0，y3 y0.2222x03y01x03y012因为x2，所以，x22023 y10 y313314解得所以ON，3（3舍去）3MO，从而NM 3 1 OM.m1k2又因为点O到直线l的距离为d，所以点N到直线l的距离为3 1d 3 1 m1k2，所以SNAB1213 1 d AB 22 6 1k263 1 2，23 m31km综上，NAB的面积为定值2 6.3x2y22如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C：221(ab0)经过点(0，3)，点 F 是椭圆的右ab焦点，点 F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等过点F 的直线l交椭圆于 M，N 两点（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）当 MF2FN 时，求直线l的方程；（3）若直线l上存在点 P 满足 PMPNPF2，且点 P 在椭圆外，证明：点 P 在定直线上x2y2【答案】（1）（2）5x 2y 5 0；（3）见解析.1；43【解析】（1）设椭圆的截距为 2c，由题意，b3，a2由点 F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+cc，c又 a2b2+c2，联立解得 a2，c115x2y2椭圆 C 的标准方程为1；43（2）当直线 l 与 x 轴重合时，M（2，0），N（2，0），此时 MF3NF，不合题意；当直线 l 与 x 轴不重合时，设直线 l 的方程为 xmy+1，M（x1，y1），N（x2，y2），x my1联立x2y2，得（3m2+4）y2+6my9036m2+36（m2+4）013 46m9y y ，由 MF2FN，得 y12y2，123m243m2412m6m,y 联立得，y1，23m243m24y1 y2 代入得，72m23m242 3m 4，解得m 5直线方程为5x 2y 5 0；292 5（3）当直线 l 的斜率为 0 时，则 M（2，0），N（2，0），设 P（x0，y0），则 PMPN|（x02）（x0+2）|，点 P 在椭圆外，x02，x0+2 同号，又PF2x01,2x02x02x012，解得x052当直线 l 的斜率不为 0 时，由（2）知，y1 y2 6m9,y y ，123m243m24PM 1m2y1y0,PN 1m2y2y0,PF 1m2y0点 P 在椭圆外，y1y0，y2y0同号，2PMPN（1+m）（y1y0）（y2y0）1 m2y y122 y0y1 y2 y06m92221m2y0221my0，3m 43m 4整理得y0355，代入直线方程得x0点 P 在定直线x 上2m2223已知抛物线C：y 4x的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，O是坐标原点（1）若直线l过点F且AB 8，求直线l的方程；（2）已知点E(2,0)，若直线l不与坐标轴垂直，且AEO BEO，证明：直线l过定点【答案】（1）y x 1或y x1；（2）(2,0).【解析】16解：（1）法一：焦点F(1,0)，当直线l斜率不存在时，方程为x 1，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)，此时AB 4，不符合题意，故直线的斜率存在2设直线l方程为y k(x 1)与y 4x联立得k x 2 k 2 xk 0，2222当k 0时，方程只有一根，不符合题意，故k 0.x x 12抛物线的准线方程为x 1，由抛物线的定义得|AB|AF|BF|x11x21解得k 1，所以l方程为y x 1或y x1.2k22k2，2k22k22 8，法二：焦点F(1,0)，显然直线l不垂直于x轴，设直线l方程为x my 1,22与y 4x联立得y 4my4 0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，y1 y2 4m，y1y2 4.|AB|x1 x2y1 y2221m2y1 y22 1m2y1 y224y1y2 41m2，由AB 8，解得m 1，所以l方程为y x 1或y x1.（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，设直线l方程为x myb(m 0)与y 4x联立得：y 4my 4b 0，22可得y1 y2 4m，y1y2 4b.由AEO BEO得kEA kEB，即y1y 2.x12x22整理得y1x22y1 x1y22y2 0，即y1(my2b)2y1(my1b)y22y2 0，整理得2my1y2(b2)(y1 y2)0，即8bm4(b2)m0，即b2.故直线l方程为x my 2过定点(2,0).17x2y24已知椭圆221(a b 0)，A2,0是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，点C在第一象ab限，且ACBC 0，|OC OB|2|AB BC|（1）求椭圆的标准方程；（2）设P、Q为椭圆上不重合的两点且异于A、B，若PCQ的平分线总是垂直于x轴，问是否存在实数，使得PQ AB？若不存在，请说明理由；若存在，求取得最大值时的PQ的长x23y22 30【答案】(1)1(2)443【解析】（1）ACBC 0，ACB90，|OC OB|2|AB BC|即|BC|2|AC|，AOC是等腰直角三角形，A2,0，C1,1，而点C在椭圆上，4112b 1，a 2a2b23x23y2所求椭圆方程为144（2）对于椭圆上两点P，Q，PCQ的平分线总是垂直于x轴，PC与CQ所在直线关于x 1对称，kPC k，则kCQ k，C1,1，PC的直线方程为y kx11，QC的直线方程为y kx11，x23y2222将代入1，得13kx 6kk 1x3k 6k 1 0，44C1,1在椭圆上，x 1是方程的一个根，183k26k 1xP，213k3k26k 1以k替换k，得到xQ23k 1kPQkxP xQ2kxP xQ1，3ACB 90，A2,0，C1,1，弦BC过椭圆的中心O，A2,0，B1,1，kABkPQ kAB，PQAB，存在实数，使得PQ AB，1，31602 302212k4k1|PQ|3，2229k 613k13kk2当9k 213时，即时取等号，k k232 30，32 302 3，3310|PQ|max又|AB|10，max取得最大值时的PQ的长为22 303225已知抛物线y 16x，过抛物线焦点F的直线l分别交抛物线与圆(x 4)y 16于A,C,D,B（自上而下顺次）四点.（1）求证：|AC|BD|为定值；（2）求|AB|AF|的最小值.【答案】(1)见证明；(2)108【解析】（1）有题意可知，F(4,0)19可设直线l的方程为x my 4，A(x1,y1),B(x2,y2)y216x2联立直线和抛物线方程，消x可得y 16my 64 0，x my4所以y1 y216m，y1y2 64，由抛物线的定义可知，|AF|x1p x14,|BF|x24，2又|AC|AF|4,|BD|BF|4，2y12y2642所以|AC|BD|(|AF|4)(|BF|4)x1x2216，16 1616所以|AC|BD|为定值 16.（2）由（1）可知，|AB|AF|BF|x1 x28，|AF|x14，|AB|AF|(x1 x28)(x1 4)x12 x1x212x1 4x232，由x1x216，可得x216，x16448（其中x10），x12所以|AB|AF|x112x164642(x2)(x4)248，f(x)2x122令f(x)x 12x，xxx22当x(0,2)时，f(x)0，函数单调递减，当x(2,)时，f(x)0，函数单调递增，所以f(x)f(2)108.所以|AB|AF|的最小值为108.6 已知O为坐标原点，点A2,0，B2,0，AC AD 2 5,CB CD0 1，过点B作AC的平行线交AD于点E.设点E的轨迹为.（）求曲线的方程；（）已知直线l与圆O:x y 1相切于点M，且与曲线相交于P，Q两点，PQ的中点为N，求22三角形MON面积的最大值.x25【答案】（）（）.y21y 0；5520【解析】（）因为AD AC,EBAC，故EBD ACD ADC，所以EB ED，故EA EB EA ED AD 2 5，x2由题设得A2,0，B2,0，AB 4，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：y21y 0.5（）由题意，直线l的斜率存在且不为 0，设直线l的方程为y kx m，因为直线l与圆O相切，所以|m|1 k21，m21 k2，x22 y 1,222由 5消去y得15kx 10kmx5m 5 0.y kxm,设Px1,y1,Qx2,y2，由韦达定理知：x1 x2 10km2m，y y k x x 2m.121215k215k2m5km,PQ所以中点N的坐标为22，15k15k所以弦PQ的垂直平分线方程为y m1 5km x，15k2k15k2即xky4km 0.215k所以MN 4km15k2.1k24km15k2得1k2将m 1k2代入MN 21MN 4km15k21k24k15k2415|k|k|2415|k|k|2 5530（当且仅当k，即m 时，555取等号）.所以三角形MON的面积为S 112 55，OM MN 1=22555.5综上所述，三角形MON的面积为x2y232)，直线MF的7已知椭圆C:221(a b 0)的离心率为，F是椭圆C的一个焦点 点M(0,ab2斜率为63（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且ABMN求l的方程x2y22【答案】（1）（2）y 1；x2822【解析】ca（1）由题意，可得2c3a 2 22，解得，则b2 a2-c2=2，6c 63x2y2故椭圆C的方程为182MN=2，AB MN，不合题意，故l的斜率存在（2）当l的斜率不存在时，AB=4 2，x2y2122设l的方程为y kx2，联立 8，得(14k)x 16kx80，2y kx2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1 x2 16k8,x x，1214k214k21 (16k)23214k2128k232 0即k2，422设N(x0，y0)，则x0 x1 x28k，2214k|AB|MN|,1k2x1 x2 1k2x00则x1 x2228k4 2 4k214x1x2 x0，即|2214k14k整理得k 1122故k ，l的方程为y x22422x2y228已知椭圆C:221(a b 0)过点2 3,3，右焦点F是抛物线y 8x的焦点.ab（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C分别交于M，N两点.试问x轴上是否存在定点Q，使得QM QN 135恒成立?若存在求出点Q的坐标:若不存在，说明理由.16x2y2【答案】(1)1(2)见解析1612【解析】（1）因为椭圆C过点(2 3,3)，所以又抛物线的焦点为2,0，所以c 2.所以12321，2ab1231，解得a23（舍去）或a216.22aa 4x2y2所以椭圆C的方程为1.1612（2）假设在x轴上存在定点Q(m,0)，使得QM QN 135.16当直线l的斜率不存在时，则M(2,3)，N(2,3)，QM (2 m,3)，QN (2 m,3)，由QM QN (2m)9 2135511，解得m 或m；4164当直线l的斜率为 0 时，则M(4,0)，N(4,0)，QM (4m,0)，QN (4 m,0)，由QM QN m 16 21351111，解得m 或m.416423由可得m 1111，即点Q的坐标为,0.44下面证明当m 13511时，QM QN 恒成立.416当直线l的斜率不存在或斜率为 0 时，由知结论成立.当直线l的斜率存在且不为0 时，设其方程为y k(x2)(k 0)，Mx1,y1，Nx2,y2.直线与椭圆联立得34k2x216k2x16k23 0，16 k2316k2直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且x1 x2，x x.21224k 34k 3y1y2 kx12kx22 k2x1x22k2x1 x24k2，所以QM QN x111 1111121,y1x2,y2 x1x2x1 x2 y1y244416 216 k 3211 16k212111121222221kx1x22k x1 x24k 1k 2k 4k 224164k 344k 316135恒成立1613511xQ综上所述，在轴上存在点,0，使得QM QN 恒成立.164x2y29关于椭圆的切线由下列结论：若P(x1,y1)是椭圆221(a b 0)上的一点，则过点P的椭圆的abx1xy1yx2y2切线方程为221.已知椭圆C:1.ab43(1)利用上述结论，求过椭圆C上的点P(1,n)(n 0)的切线方程；(2)若M是直线x 4上任一点，过点M作椭圆C的两条切线MA，MB（A，B为切点），设椭圆的右焦点为F，求证：MF AB.【答案】（1）x 2y 4 0（2）见证明【解析】33x2y2(1)由题意，将x 1代入椭圆方程C:1，得y，所以P(1,)，2243243y所以过椭圆C上的点P(1,)的切线方程为x2，即x 2y 4 0.12343(2)设M(4,t)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1xy1yx xy y1，221，4343x 4y1t4 x2y2t1，1，因为M(4,t)在两条切线上，143434xytty1上，即直线AB的方程为x1，所以A，B两点均在直线4333当t 0时，kAB，tt 0t3t，kABkMF 1，所以MF AB，又F(1,0)，kMF413t3则过A，B两点的椭圆C的切线MA，MB的方程分别为若t 0，点M(4,0)在x轴上，A，B两点关于x轴对称，显然MF AB.1x2y210已知椭圆C:221(a b 0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为椭圆上一动点（异2ab于左右顶点），若AF1F2面积的最大值为3（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过点F1交椭圆C于A,B两点，问在x轴上是否存在一点Q，使得QAQB为定值？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由x2y2【答案】（1）1（2）见解析43【解析】（1）由题意，当P在上或下顶点时，PF1F2的面积取值最大值，即最大值为bc 3，又c1，且a2 c2b2，解得a2 4，b2 3，a2x2y2故椭圆C的方程为143,0，设直线l的方程为x my1，Ax1,y1,Bx2,y2,Qx0,0，（2）易知F1125x2y2122联立方程组 4，整理得(3m 4)y 6my9 0，3x my1则y1 y296my y ，12223m 43m 4QAQB x1 x0,y1x2 x0,y2x1 x0 x2 x0 yyy22 x1x2 x0 x0 x1 x2 y1y2，x1 my11，x2 my21，15m2x1x2my11my21 m y1y21my1 y21，23m 426m2x1 x2my11my21 my2 y22 2，23m 415m26m292QAQB 1 x x 2x 0003m243m243m24223x012 m24x08x0512m25，x 2x023m 43m243m 420822113x0124x08x05要使QAQB为定值，则，解得x0，834所以在x轴上存在点Q11,0，使得QAQB为定值811已知点F1,0，直线l:x 1，P为平面上的动点，过点P作直线的垂线，垂足为Q，且QPQF FPFQ.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线y kxb与轨迹C交于两点，Ax1,y1、Bx2,y2，且y1 y2 a(a 0，且a为常数)，过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交轨迹C于点D，连接AD、BD.试判断ABD的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由【答案】(1)y 4x(2)见解析【解析】262（1）设P(x,y)，则Q(1,y)，QPQF FPFQ，(x1,0)(2,y)(x1,y)(2,y)，即2(x1)2(x1)y，即y 4x，所以动点P的轨迹的方程y 4x.222（2）联立方程组y kxb,2消去x，得ky 4y4b 0，2y 4x,44b，y1y2，kk依题意，k 0，且y1 y22由y1 y2 a得y1 y24y1y2 a2，即1616b a2，2kk22整理得：1616kb a2k2，所以a k 16(1kb)，因为AB的中点M 2bk 2 12,D，所以点2,，依题意，2kkkkSBD11 1bk|DM|y1 y2a，222k2由方程ky 4y4b 0中的判别式 1616kb 0，得1kb 0，所以SABD1 1bk2a，2ka2k2由知1kb，16所以SMBD1a2a3a，又a为常数，故SABD的面积为定值.21632212已知点P在抛物线C：x 2pyp0上，且点P的横坐标为 2，以P为圆心，PO为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且MN 2（1）求抛物线C的方程；（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且AB HB，求AF BF的值27【答案】(1)x 4y(2)4【解析】2（1）将点P横坐标xP 2代入x 2py中，求得yP22，pP（2，422），OP24，pp2p，p2点P到准线的距离为d 2|MN|2|OP|d，22 2 p2 221，p2p2解得p 4，p 2，22抛物线C的方程为：x 4y；21；（2）抛物线x 4y的焦点为F（0，1），准线方程为y 1，H0，2y1，Bx2，y2，设Ax1，直线AB的方程为y kx1，代入抛物线方程可得x24kx 4 0，x1x2 4，x1 x2 4k，由AB HB，可得kABkHB 1，又kAB kAFy11y21，kHB，x1x2y11 y21 1，x1x2y11y21 x1x20，即 12 12x11x21 x1x2 0，4428122122x1x2x1 x21 x1x2 0，16422把代入得，x1 x216，则|AF|BF|y11 y2121212x1 x216 44413已知抛物线方程y 4x，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义:d(P)PF.FQ83)时，求d(P)；（1）当P(1，（2）证明:存在常数a，使得2d(P)PF a.（3）P1,P2,P3为抛物线准线上三点，且PP12 P2P3，判断d(P1)d(P3)与2d(P2)的关系.【答案】（1）【解析】（1）因为8；（2）证明见解析；（3）dP1dP3 2dP2.3kPF844.3 y(x1)2334y(x1)1 x 联立方程，3Q42y 4x10PF 83 d(P).则3QF 54（2）当P1,0，易得a 2d(P)PF 2，不妨设P1,yP，yP 0，直线PF:x my1，则myP 2，x my12联立2，y 4my4 0，y 4x4m(4m)216yQ 2m2 m21，229yP22 1m222d(P)|PF|2 1m yP 22yQmm 2m2 m 1m21m2 1 m2 2 2.mm（3）设P11,y1,P21,y2,P31,y3，则21dP3dP4dP2 PF P13F 2 P2Fy124 y324 2 y224 y y y124 y324 21342y124 y324 2y1 y3216，因为y 4 y3421222y1 y316 2 y124y324 2y1y28，又因y124y324y1y34 4y12 y328y1y30，2所以dP1dP3 2dP2.14已知抛物线C:x 2py(p 0)的焦点F到准线距离为2.（1）若点E(1,1)，且点P在抛物线C上，求|PE|PF|的最小值；（2）若过点N(0,b)的直线l与圆M:x(y 2)4相切，且与抛物线C有两个不同交点A,B，求A O B的面积.302222【答案】(1)2(2)SABC b【解析】解：（1）根据题意可知p 2所以抛物线方程为x 4y则抛物线C焦点为F(0,1)，准线为y 1；记点P,E到抛物线C准线的距离分别为d1,d2，故|PE|PF|PE|d1 d2 2，等号成立当且仅当 PE 垂直于准线，故|PE|PF|的最小值为2（2）设Ax1,y1，Bx2,y2由题意知，直线l斜率存在，设直线l的方程为：y kxb将y kxb与x 4y联立得x24kx4b 0，由韦达定理得x1 x2 4k,x1x2 4b，由M0,2到直线l的距离为d122|b2|k 12 2得：b24b 4k2，又|AB|k21x1 x224x1x2k21 16k216b点O到直线l的距离为d2|b|k 12所以SABC12|b|k 1 16k216b 2 k2b|b|b22k2115已知曲线 C 上的任意一点到直线 l：x=（1）求曲线 C 的方程；110）的距离相等的距离与到点 F（，22（2）若过 P（1，0）的直线与曲线C 相交于 A，B 两点，Q（1，0）为定点，设直线AQ 的斜率为 k1，直线31BQ 的斜率为 k2，直线 AB 的斜率为 k，证明：【答案】（1）y2=2x；（2）见解析【解析】11222为定值k1k2k2（1）由条件可知，此曲线是焦点为F 的抛物线，抛物线的方程为 y2=2x；p1，p=122（2）根据已知，设直线AB 的方程为 y=k（x1）（k0），由y kx1y 2x22，可得 ky2y2k=022y1y2设 A（，y1），B（2，y2），则y1 y2，y1y2=2k22k1y12y1122y1y22y2k 22y2y12，y2222122222222)2(y2(y12)2y211(y122)2(y22)y122=2222k1k24y14y24y1y242422222y1y2 y2y18y1y24 y1 y2224y1y2=228 y1 y23216(y1 y2)22y1y2424811222k 424222kk2kk=2132