2017中考全等三角形专题(8种辅助线的作法).doc

全等三角形问题中常见得辅助线得作法【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折瞧,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试瞧。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。1、等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题2、倍长中线:倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3、角平分线在三种添辅助线4、垂直平分线联结线段两端、用“截长法”或“补短法”: 遇到有二条线段长之与等于第三条线段得长,6、图形补全法:有一个角为6度或0度得把该角添线后构成等边三角形7、角度数为30、6度得作垂线法：遇到三角形中得一个角为0度或6度,可以从角一边上一点向角得另一边作垂线,目得就是构成0-6-9得特殊直角三角形,然后计算边得长度与角得度数,这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。8、计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或3-60-0得特殊直角三角形,或406-80得特殊直角三角形,常计算边得长度与角得度数，这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。常见辅助线得作法有以下几种:最主要得就是构造全等三角形,构造二条边之间得相等,二个角之间得相等。1) 遇到等腰三角形，可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题,思维模式就是全等变换中得“对折”法构造全等三角形.2) 遇到三角形得中线,倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用得思维模式就是全等变换中得“旋转” 法构造全等三角形.3) 遇到角平分线在三种添辅助线得方法，（)可以自角平分线上得某一点向角得两边作垂线,利用得思维模式就是三角形全等变换中得“对折”,所考知识点常常就是角平分线得性质定理或逆定理.(2)可以在角平分线上得一点作该角平分线得垂线与角得两边相交,形成一对全等三角形。(3）可以在该角得两边上,距离角得顶点相等长度得位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上得某点作边线,构造一对全等三角形。4) 过图形上某一点作特定得平分线，构造全等三角形,利用得思维模式就是全等变换中得“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法就是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或就是将某条线段延长,就是之与特定线段相等，再利用三角形全等得有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段得与、差、倍、分等类得题目.6) 已知某线段得垂直平分线，那么可以在垂直平分线上得某点向该线段得两个端点作连线,出一对全等三角形。特殊方法:在求有关三角形得定值一类得问题时，常把某点到原三角形各顶点得线段连接起来，利用三角形面积得知识解答.一、倍长中线(线段)造全等例1、已知，如图A中,=，AC=3，则中线D得取值范围就是_、例2、如图,AB中，E、F分别在AB、AC上,EDF,D就是中点，试比较E+CF与EF得大小、例3、如图,A中，BD=D=C,E就是C得中点,求证:A平分BE、应用:1、以得两边AB、C为腰分别向外作等腰R与等腰Rt,连接D,M、分别就是BC、DE得中点.探究:AM与得位置关系及数量关系.(1）如图 当为直角三角形时,M与DE得位置关系就是 ,线段AM与DE得数量关系就是 ;（2)将图中得等腰Rt绕点沿逆时针方向旋转（BA，ACD,BD平分，求证： 5、如图在AB中,ABAC，2，P为AD上任意一点，求证;AB-CP-PC应用:三、平移变换例 A为AC得角平分线,直线MAD于A、为M上一点,AC周长记为,BC周长记为、求证、例2如图,在BC得边上取两点D、E,且=C，求证：BACD+AE、四、借助角平分线造全等、如图,已知在AC中,B=60,AB得角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD2、如图,BC中，A平分BAC,G且平分BC，EAB于E,DFA于F、(1)说明E=CF得理由；()如果B=,AC,求AE、E得长、应用:、如图，OP就是MON得平分线,请您利用该图形画一对以P所在直线为对称轴得全等三角形。请您参考这个作全等三角形得方法,解答下列问题:(1)如图,在ABC中,AB就是直角，B=6，D、CE分别就是C、B得平分线，AD、E相交于点。请您判断并写出F与D之间得数量关系;(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图（2）如图,在ABC中,如果AC不就是直角，而（)中得其它条件不变，请问，您在(1)中所得结论就是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立,请说明理由。五、旋转例正方形ABC中,E为BC上得一点，F为D上得一点,BE+F=EF，求EF得度数、 例2 为等腰斜边B得中点，DMDN,DM,D分别交，CA于点E,F。（1） 当绕点转动时，求证ED。（2） 若AB2,求四边形DECF得面积。例3如图，就是边长为得等边三角形，就是等腰三角形,且，以D为顶点做一个角,使其两边分别交AB于点M，交AC于点,连接MN,则得周长为 ;应用:1、已知四边形中,，,，,绕点旋转，它得两边分别交(或它们得延长线)于.当绕点旋转到时(如图1),易证当绕点旋转到时，在图与图这两种情况下,上述结论就是否成立？若成立,请给予证明;若不成立,线段,又有怎样得数量关系?请写出您得猜想,不需证明.(图1)(图2)(图3)2、已知:P=，4,以为一边作正方形ABC,使P、D两点落在直线A得两侧、()如图,当APB=4时，求AB及D得长;()当AP变化,且其它条件不变时,求PD得最大值,及相应A得大小、3、在等边得两边AB、所在直线上分别有两点M、N,D为外一点,且,，BD=D、 探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间得数量关系及得周长Q与等边得周长得关系.图 图2 图3(I）如图1,当点M、N边B、AC上,且DM=N时,BM、NC、MN之间得数量关系就是 ; 此时 ; （II)如图2，点M、N边AB、A上，且当DMDN时,猜想（I)问得两个结论还成立吗？写出您得猜想并加以证明； (II） 如图,当M、N分别在边AB、C得延长线上时,若AN,则Q (用、L表示). 参考答案与提示一、倍长中线(线段)造全等例1、(“希望杯”试题)已知,如图ABC中，AB=5,AC=3，则中线AD得取值范围就是_、解:延长AD至使E=2A,连BE，由三角形性质知AB-BE 2D+BE 故AD得取值范围就是D例、如图,A中,E、分别在AB、AC上，F,D就是中点,试比较BECF与EF得大小、解:（倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长D至G使G=2E，连G,G,显然BG=FC,在EFG中,注意到DEDF,由等腰三角形得三线合一知EGEF在EG中,由三角形性质知GB+E 故：EFE+FC例3、如图,ABC中,BD=DC=C,E就是C得中点,求证：AD平分BAE、 解:延长AE至使AG2A,连BG,DG，显然DA， GC=CD由于D=C,故 DC=D在B与ADG中, BD=AC=G,D,AD=ADCACDAD+CADG故ADB,故有BAD=AG,即A平分BA应用：、(崇文二模）以得两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt与等腰Rt,连接DE,M、N分别就是BC、E得中点.探究:AM与DE得位置关系及数量关系（1)如图 当为直角三角形时,AM与DE得位置关系就是 ，线段AM与DE得数量关系就是 ;（)将图中得等腰Rt绕点沿逆时针方向旋转（00)后,如图所示，(1)问中得到得两个结论就是否发生改变?并说明理由.解:(1),;证明：延长到G，使，连，则A就是平行四边形GCHABDMNE,又再证:,延长N交E于H(2）结论仍然成立.证明：如图，延长CA至F,使,FA交DE于点P，并连接F,FCPABDMNE在与中(SS)，又,且,二、截长补短、如图，中,A=2A,AD平分,且D=D,求证:CDAC解:(截长法）在AB上取中点F,连DDB就是等腰三角形,F就是底A中点,由三线合一知AB,故AFD=90ADA(SAS)ADFD90即:DA2、如图,ADBC,A,EB分别平分DAB,CB,D过点E,求证；=+BC解:(截长法)在AB上取点,使AFA,连FEAEFE（S)AD=AFE，D+CE=180AEBFE180故ECBEFFBECBE(AAS)故有B=C从而;B=3、如图,已知在ABC内，,P，Q分别在B，CA上,并且P,BQ分别就是，得角平分线。求证：BQ+AQ=P解:(补短法, 计算数值法）延长AB至,使B=BP,连P在等腰BPD中，可得BDP40从而BDP=0APADPCP(ASA)故AD=A又QBC=4=QB 故 QQCBDBP从而BQ+AQ=BB4、如图,在四边形C中,BBA,CD,BD平分,求证: 解:（补短法)延长A至F,使BF,连FBDFBD(SAS)故DFB=CB ,FDDC又ACD故在等腰BFD中FBDAF故有BAD+BCD=18、如图在AC中,ABA,1=2,P为AD上任意一点，求证;AB-ACP-解:（补短法)延长C至,使AF=AB,连DABPAP(S)故BPPF由三角形性质知P-P=F-PC 、解:（镜面反射法)延长至F,使A=C,连FEAD为ABC得角平分线, MND知FAECA故有FAECAE(S）故EFCE在BF中有： E+EFBF=AF=B+AC从而PB=BE+CE+CBF+BC=BA+AC+B=P例2如图,在BC得边上取两点、E，且BD=E,求证:B+ACAD+A、证明：取BC中点M，连AM并延长至N,使M=AM,连N，DN、 C,DM=E,DMNEMA(AS）,DN=AE,同理BN=C、延长D交AB于,则BNBPPN，D+AD,相加得N+APN+AD，各减去DP,得BN+BD+A,AB+AC+E。四、借助角平分线造全等1、如图,已知在B中,=60,BC得角平分线D,CE相交于点O,求证:OE=OD,DC+E =AC证明L(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)B=60度,则BCBCA120度;A，CE均为角平分线，则C+OA=60度=AE=OD；AOC=12度、在AC上截取线段AF=E,连接OF、又AO=AO;OAE=F、则AEAF(SA),OE=O;A=A； AO=AO60度、则COF=AOC-AO=6度=COD;又OCO;OCD=CF、故OCF（SAS),OD=F;CD=CF、OEOD+AE=F+AFC、2、如图，ABC中,AD平分BAC,DBC且平分BC，EA于E,DFAC于F、 (1)说明B=C得理由；(2）如果B=,AC=,求E、BE得长、解:(垂直平分线联结线段两端）连接BD,DCDG垂直平分BC,故BD=DC由于平分BA, DEA于E,FAC于，故有D故RTDBERTFC(H)故有EF。B+C2AEE=(a+)/B=(ab)/2应用:1、如图，OP就是MON得平分线，请您利用该图形画一对以P所在直线为对称轴得全等三角形。请您参考这个作全等三角形得方法，解答下列问题:(1）如图,在AC中,ACB就是直角，B=0，AD、C分别就是BA、BC得平分线,A、CE相交于点F。请您判断并写出F与FD之间得数量关系;(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图(）如图，在AB中,如果不就是直角,而（)中得其它条件不变,请问，您在（1)中所得结论就是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。解:（1）E与FD之间得数量关系为(2）答:（1)中得结论仍然成立。证法一:如图1,在AC上截取,连结F ,F为公共边, FBEACD图 12143G,AD、CE分别就是、得平分线及C为公共边证法二:如图，过点F分别作于点G,于点H FBEACD图 22143HG,、C分别就是、得平分线可得,F就是得内心,又 可证 五、旋转例1 正方形A中,E为B上得一点,F为CD上得一点，BDF=EF，求EA得度数、证明:将三角形A绕点顺时针旋转0度,至三角形BG则GEGB+BE=D+BEF又AE=AE,AF=A，所以三角形AEF全等于AG所以EFGA=BAE+AB=BA+F又EAF+BAEDF=90所以EF=45度例2 为等腰斜边AB得中点,MD，DM,D分别交BC,A于点E,F。（)当绕点转动时,求证DEF。(2)若AB=2,求四边形CF得面积。解:(计算数值法）(1)连接DC, D为等腰斜边AB得中点,故有CAB,CDDC平分BA,ECDDCA由于DDN,有EDN=90由于 CDAB,有CD90从而CDE=FDA故有CEF(AA)故有DE=DF(2)SAC=2,S四DEC=D=例3如图,就是边长为3得等边三角形,就是等腰三角形，且,以D为顶点做一个角,使其两边分别交于点M，交AC于点N,连接MN,则得周长为 ;解：（图形补全法， “截长法”或“补短法”,计算数值法) AC得延长线与BD得延长线交于点F,在线段F上取点E,使CBMB为等边三角形,CD为等腰三角形,且BDC=120,BDMBC+BC=6+3=0,DE=180AD=180AB=90,又B=E,BD=D,CEBDM,CDE=DM,E=，NDE=NDC+=ND+BDM=BDC-N=120-0=60,在MN与DN中， DDE MDN=ED=6 DN=NMNDEN,MN=NE在DMA与DE中, M=D MA6-B=60-DEEF （DEBD) =E=NEN （AS),MA=E得周长为ANMN+AM=AN+N+F=A=6应用:1、已知四边形中，,，,绕点旋转,它得两边分别交（或它们得延长线)于当绕点旋转到时(如图1）,易证当绕点旋转到时,在图2与图3这两种情况下,上述结论就是否成立？若成立,请给予证明;若不成立，线段，又有怎样得数量关系?请写出您得猜想，不需证明.(图1)(图2)(图3)解:(）,(S)；,为等边三角形，(2）图2成立,图3不成立。证明图2,延长D至点K,使,连接KKABCDEFMN图 2则,即图3不成立,AE、CF、EF得关系就是2、(西城09年一模)已知：A=,PB=4,以AB为一边作正方形A,使P、D两点落在直线AB得两侧、（1)如图,当PB45时,求A及PD得长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求D得最大值,及相应PB得大小、分析：（1)作辅助线,过点A作于点,在中,已知,P得值,根据三角函数可将A，P得值求出,由PB得值,可求BE得值,在中,根据勾股定理可将AB得值求出；求PD得值有两种解法,解法一:可将绕点顺时针旋转得到,可得,求PD长即为求得长,在中,可将得值求出,在中，根据勾股定理可将得值求出;解法二:过点P作A得平行线,与D得延长线交于F,交于G,在中,可求出AG,E得长,进而可知PG得值，在中,可求出P,在中，根据勾股定理可将PD得值求出;(2)将绕点A顺时针旋转,得到,PD得最大值即为得最大值,故当、P、B三点共线时，取得最大值，根据可求得最大值，此时.EPADCB解:（1)如图,作于点E中，,在中,PPACBDE解法一：如图,因为四边形AC为正方形,可将将绕点A顺时针旋转得到,可得，,，,;解法二：如图,过点P作AB得平行线,与DA得延长线交于F,设得延长线交PB于G.GFPACBDE在中，可得，,在中,可得，在中，可得(2)如图所示,将绕点A顺时针旋转，得到,PD得最大值，即为得最大值中,且P、D两点落在直线AB得两侧当、P、B三点共线时,取得最大值(如图)PPACBDPPACBD此时，即得最大值为6此时、在等边得两边AB、AC所在直线上分别有两点、N,D为外一点,且,，D=DC、 探究:当、N分别在直线B、AC上移动时,B、NC、之间得数量关系及得周长Q与等边得周长得关系图1 图2 图3（I）如图,当点M、N边AB、A上,且DM=DN时,BM、之间得数量关系就是 ;此时 ; (II)如图2,点M、N边AB、A上，且当DMDN时,猜想(I)问得两个结论还成立吗？写出您得猜想并加以证明; (III) 如图3,当、N分别在边A、A得延长线上时，若N=,则Q= (用、L表示）.分析:(1)如果,因为，那么,也就有,直角三角形MBD、CD中,因为,根据HL定理,两三角形全等。那么,三角形NC中,，,在三角形DNM中,因此三角形D就是个等边三角形,因此,三角形AMN得周长,三角形AC得周长，因此.()如果,我们可通过构建全等三角形来实现线段得转换。延长AC至E,使，连接D.(1)中我们已经得出,那么三角形MBD与EC中,有了一组直角,因此两三角形全等,那么,三角形DN与EN中,有,有一条公共边,因此两三角形全等,，至此我们把BM转换成了E,把MN转换成了NE，因为,因此.Q与L得关系得求法同（)，得出得结果就是一样得。(3)我们可通过构建全等三角形来实现线段得转换,思路同(2)过D作,三角形DM与DH中,由()中已经得出得,我们做得角，因此两三角形全等(A）.那么,，三角形MDN与DH中,已知得条件有,一条公共边ND,要想证得两三角形全等就需要知道,因为,因此,因为，那么,因此,这样就构成了两三角形全等得条件.三角形MN与DH就全等了.那么，三角形AMN得周长.因为,因此三角形AN得周长.解:（1)如图1,BM、NC、MN之间得数量关系：；此时图 1NMADCB(2）猜想:结论仍然成立.证明:如图2,延长A至E，使,连接DE,且又就是等边三角形E图 2NMADCB在与中H图 3NMADCB(SS),在与中(S)故得周长而等边得周长(3）如图3，当M、N分别在B、CA得延长线上时,若，则(用x、L表示)点评:本题考查了三角形全等得判定及性质;题目中线段得转换都就是根据全等三角形来实现得,当题中没有明显得全等三角形时,我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知与所求条件相关得全等三角形。