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第第1010章章 静电场中的电介质静电场中的电介质本章主要内容本章主要内容10.110.110.110.1 电介质对电场的影响电介质对电场的影响10.210.210.210.2 电介质的极化电介质的极化10.310.310.310.3 的的 Gauss 定理定理10.410.410.410.4 电容器和它的电容电容器和它的电容10.510.510.510.5 电容器的能量电容器的能量第10章 静电场中的电介质第第1010章章 静电场中的电介质静电场中的电介质按照物体导电特性区分，导电性相对导体很差的物体称为按照物体导电特性区分，导电性相对导体很差的物体称为电电电电介质介质介质介质（绝缘体）。（绝缘体）。从微观上看，电介质不存在自由电子，电子都束缚在原子的从微观上看，电介质不存在自由电子，电子都束缚在原子的内部内部处于束缚态。处于束缚态。实验表明，处于静电场作用下的电介质，会产生实验表明，处于静电场作用下的电介质，会产生极化极化极化极化现象，现象，即介质表面会出现宏观电荷积累。但这不同于导体的静电感应，即介质表面会出现宏观电荷积累。但这不同于导体的静电感应，因为导体中的自由电子可以因为导体中的自由电子可以“自由运自由运动动”，直至静电平衡出现，而电介质，直至静电平衡出现，而电介质中的束缚电子不可能摆脱原子的束缚。中的束缚电子不可能摆脱原子的束缚。10.1 10.1 电介质对电场的影响电介质对电场的影响 电介质对电场的影响电介质对电场的影响 相对电容率相对电容率相对相对电容率电容率电容率电容率+-+-10.2 10.2 电介质的极化电介质的极化无极无极分子：（氢、甲烷、石蜡等）分子：（氢、甲烷、石蜡等）有极有极分子：（水、有机玻璃等）分子：（水、有机玻璃等）一一 电介质：电介质：内部几乎没有可以自由运动电荷的内部几乎没有可以自由运动电荷的物体，又称为绝缘体物体，又称为绝缘体电介质的极化电介质的极化处于外电场的电介质上，出现宏观电荷积累的现处于外电场的电介质上，出现宏观电荷积累的现象称为电介质的象称为电介质的极化极化极化极化，宏观电荷称为，宏观电荷称为极化电荷极化电荷极化电荷极化电荷或或束缚电荷束缚电荷束缚电荷束缚电荷。二二 电介质的极化电介质的极化无极无极分子：（氢、甲烷、石蜡等）分子：（氢、甲烷、石蜡等）有极有极分子：（水、有机玻璃等）分子：（水、有机玻璃等）电介质电介质+-三三 电极化强度电极化强度：极化电荷面密度：极化电荷面密度：分子电偶极矩分子电偶极矩：电极化强度电极化强度 -+四四 极化电荷与自由电荷的关系极化电荷与自由电荷的关系+-+-+电极化率电极化率10.3 10.3 的高斯定理的高斯定理10.3 D 的高斯定理 介质中的静电场介质中的静电场 介质中某点的场强，是由外电场和极化电荷介质中某点的场强，是由外电场和极化电荷的电场叠加而成的电场叠加而成 以两块靠得很近的金属板为例以两块靠得很近的金属板为例10.3 D 的高斯定理 令令 -相对介电系数相对介电系数讨论：讨论：-极化电荷的电场将自由电荷的电场部分抵消极化电荷的电场将自由电荷的电场部分抵消的缘故的缘故10.3 D 的高斯定理 有介质时的高斯定理有介质时的高斯定理 电位移矢量电位移矢量1.由高斯定理有由高斯定理有 10.3 D 的高斯定理-电位移矢量电位移矢量-有介质时的高斯定理或有介质时的高斯定理或 的高斯定理的高斯定理2.2.定义：定义：讨论：讨论：自由电荷自由电荷a.电位移通量电位移通量只与闭合曲面所包围的只与闭合曲面所包围的自由电荷自由电荷有关，但有关，但 本身与本身与自由电荷自由电荷和和极化电荷极化电荷都有关都有关10.3 D 的高斯定理 b.可用可用电位移线电位移线来形象地描来形象地描述电位移述电位移 线线 线线 线与线与 线的区别线的区别:c.线线:从自由正电荷或束缚正电从自由正电荷或束缚正电荷出发，终止于负电荷荷出发，终止于负电荷.d.线线:从自由正电荷出发从自由正电荷出发,终止于自由负电荷终止于自由负电荷.10.3 D 的高斯定理 三矢量的关系三矢量的关系定义：定义：-介质的介电常数10.3 D 的高斯定理 是一个辅助物理量，没有明显的物理意是一个辅助物理量，没有明显的物理意义，但有介质时，计算义，但有介质时，计算 通量比计算通量比计算 通量简通量简便便说明：说明：以上讨论的是各向同性介质，以上讨论的是各向同性介质，方方向一致向一致 例例1 1 半径为半径为 a 的导体球，带电荷的导体球，带电荷 Q，外部有一内、外径分别为，外部有一内、外径分别为 b 和和 c，相对介电常数为相对介电常数为 r 的均匀各向同性电介质。求各处的场强分布和介质内外表面的均匀各向同性电介质。求各处的场强分布和介质内外表面束缚面电荷密度。束缚面电荷密度。解：利用解：利用 的的 Gauss 定理求定理求 ：利用利用 求求 ，用，用 求求 ：束缚面电荷密度束缚面电荷密度：例例2 图中是由半径为图中是由半径为R1的的长直圆柱导体和同轴的半径为长直圆柱导体和同轴的半径为R2的薄导体圆筒组成，其间充的薄导体圆筒组成，其间充以相对电容率为以相对电容率为r的电介质的电介质.设设直导体和圆筒单位长度上的电直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为荷分别为+和和-.求求(1)电介电介质中的电场强度、电位移和极质中的电场强度、电位移和极化强度；化强度；(2)电介质内外表面电介质内外表面的极化电荷面密度的极化电荷面密度.解解(1)r(2)r10.4 10.4 电容器和它的电容器和它的电电容容一一 孤立导体的电容孤立导体的电容单位：单位：孤立孤立导体的电容为导体的电容为孤立孤立导体所带电导体所带电荷荷Q与其电势与其电势V的比值的比值.例例 球形孤立导体的电容球形孤立导体的电容 地球地球二二 电容器电容器按形状：柱型、球型、平行板电容器按形状：柱型、球型、平行板电容器按型式：固定、可变、半可变电容器按型式：固定、可变、半可变电容器按介质：空气、塑料、云母、陶瓷等按介质：空气、塑料、云母、陶瓷等 特点：非孤立导体，由两极板组成特点：非孤立导体，由两极板组成1 电容器的电容器的分类分类2 电容器的电容电容器的电容 电容器电容器的电容为的电容为电容器一块极板电容器一块极板所带所带电荷电荷Q与两极板电势差与两极板电势差 的比值的比值.电容的大小仅与导体的电容的大小仅与导体的形状形状、相对位置相对位置、其间的电其间的电介质介质有关，与所带电荷量有关，与所带电荷量无关无关.注意注意 电容的意义：在电势差一定的条件下，电容越电容的意义：在电势差一定的条件下，电容越大，储存电荷的能力就越强。这个能力只决定于两大，储存电荷的能力就越强。这个能力只决定于两导体的大小、形状、相对位置等因素。导体的大小、形状、相对位置等因素。3 电容器电容的计算电容器电容的计算（1 1）设两极板分别带电设两极板分别带电Q （3 3）求两极板间的电势差求两极板间的电势差U步骤步骤（4 4）由由C=Q/U求求C（2 2）求两极板间的电场强度求两极板间的电场强度例例1 平行平行平板电容器平板电容器解解+-例例2 圆柱形电容器圆柱形电容器设设两圆两圆柱柱面单位长度上分别带电面单位长度上分别带电解解+-+-平行板电平行板电容器电容容器电容+-+-例例3球形电容器的电容球形电容器的电容设内外球带分别带电设内外球带分别带电Q解解孤立导体球电容孤立导体球电容三三 电容器的并联和串联电容器的并联和串联1 电容器的并联电容器的并联2 电容器的串联电容器的串联 例例1 1 一平行板电容器，极板面积为一平行板电容器，极板面积为 S，两板相对表面的间距为，两板相对表面的间距为 d，今在，今在极板间插入一块相对介电常数为极板间插入一块相对介电常数为 r、厚度为、厚度为 t(t d)的均匀各向同性介质。求：的均匀各向同性介质。求：插入介质后插入介质后电容器的电容；如果插入同样厚度金属板，结果如何？（忽略边缘电容器的电容；如果插入同样厚度金属板，结果如何？（忽略边缘效应）效应）解：设两极板带电量解：设两极板带电量 Q，则，则介质外介质外介质内介质内导体板外导体板外导体板内导体板内插入金属板时：插入金属板时：例例2.电容为电容为电容为电容为C C的空气平板电容器，两极板间距离的空气平板电容器，两极板间距离的空气平板电容器，两极板间距离的空气平板电容器，两极板间距离为为为为d d，若在此电容器中插入一相对介电系数为，若在此电容器中插入一相对介电系数为，若在此电容器中插入一相对介电系数为，若在此电容器中插入一相对介电系数为 r r的的的的纸片，这时电容器的电容变为纸片，这时电容器的电容变为纸片，这时电容器的电容变为纸片，这时电容器的电容变为CC,试证纸片厚度为试证纸片厚度为试证纸片厚度为试证纸片厚度为 证证:设极板面积为设极板面积为S 得证得证*另证另证同样可证10.5 10.5 电容器的能量电容器的能量10.5 电容器的能量 考察电容的充电过程：考察电容的充电过程：充电过程的实质，是把正电荷从电势低的负极板移到电势高充电过程的实质，是把正电荷从电势低的负极板移到电势高的正极板，静电场力做负功。因此外力必须克服静电场力对电荷的正极板，静电场力做负功。因此外力必须克服静电场力对电荷做功，使电容器获得能量并储存在电容器中。做功，使电容器获得能量并储存在电容器中。电容器的能量电容器的能量电容器的能量电容器的能量是指：电容器上电荷建立的是指：电容器上电荷建立的过程中外力克服静电场力对电荷所做的功。过程中外力克服静电场力对电荷所做的功。例例1 1 一平空气行板电容器，电容为一平空气行板电容器，电容为 C0，接入充电电路充电至电压为，接入充电电路充电至电压为 U，此后（，此后（1 1）保持电路接通；（）保持电路接通；（2 2）断开电路。今在极板间插入一块相对介电常）断开电路。今在极板间插入一块相对介电常数为数为 r 的均匀各向同性介质，使介质充满极板间隙。求此过程中外力所做的的均匀各向同性介质，使介质充满极板间隙。求此过程中外力所做的功。功。解：无介质时电容器的储能解：无介质时电容器的储能 W0 为为插入介质后电容器的电容变为插入介质后电容器的电容变为 （1 1）电路接通，）电路接通，U 不变，插入介质后电容器的能量为不变，插入介质后电容器的能量为 （2 2）电路断开，）电路断开，Q 不变，插入介质后电容器的能量为不变，插入介质后电容器的能量为10.5 电容器的能量 电场的能量电场的能量1 1.以平板电容器为例：设极板面积为以平板电容器为例：设极板面积为以平板电容器为例：设极板面积为以平板电容器为例：设极板面积为S S，两极板间，两极板间，两极板间，两极板间距离为距离为距离为距离为d d，板间充满介电常数为，板间充满介电常数为，板间充满介电常数为，板间充满介电常数为 的电介质的电介质的电介质的电介质2.2.单位体积的能量单位体积的能量单位体积的能量单位体积的能量(电场能量密度电场能量密度电场能量密度电场能量密度)为为为为10.5 电容器的能量 3.3.任意电场中所储存的能量为任意电场中所储存的能量为任意电场中所储存的能量为任意电场中所储存的能量为讨论：讨论：电场具有能量是电场物质性的一种表现电场具有能量是电场物质性的一种表现介质的总能量密度的普遍表达式：介质的总能量密度的普遍表达式：对任意电场和任对任意电场和任意介质普遍成立意介质普遍成立有介质时总电有介质时总电场的能量密度场的能量密度介质中束缚电荷介质中束缚电荷的静电能密度的静电能密度 例例1 1 求半径为求半径为 R，带电量为，带电量为 Q 的导体球所产生电场的能量。的导体球所产生电场的能量。解：导体外电场强度分布为解：导体外电场强度分布为半径为半径为 r r+dr 的球壳内的电场能量为的球壳内的电场能量为 例例2 空气平板电容器的极板面积为空气平板电容器的极板面积为S，极板间，极板间距为距为d，其中插入一块厚度为，其中插入一块厚度为d的平行铜板。现的平行铜板。现在将电容器充电到电势差为在将电容器充电到电势差为U，切断电源后再将，切断电源后再将铜板抽出。求抽出铜板时外力所作的功铜板抽出。求抽出铜板时外力所作的功外力的功等于抽出外力的功等于抽出铜板前后该电容器铜板前后该电容器电能的增量电能的增量解：法解：法1:电容储存能量的观点：电容储存能量的观点：1.1.抽出铜板前电容器电容为抽出铜板前电容器电容为极板上的电荷不变极板上的电荷不变 2.抽出铜板后电容为抽出铜板后电容为 法法2:电场是能量携带者的观点：电场是能量携带者的观点：铜板抽出前后铜板抽出前后,空气中场强不变空气中场强不变,即电场即电场能量密度不变，但电场存在的空间体积能量密度不变，但电场存在的空间体积增大增大 例例例例33半径为半径为半径为半径为R R 的金属球带有正电荷的金属球带有正电荷的金属球带有正电荷的金属球带有正电荷q q0 0，置于一均匀无，置于一均匀无，置于一均匀无，置于一均匀无限大的电介质中限大的电介质中限大的电介质中限大的电介质中(相对介电常数为相对介电常数为相对介电常数为相对介电常数为 r r)，求球外的电场，求球外的电场，求球外的电场，求球外的电场分布，极化电荷分布和极化电荷电量分布，极化电荷分布和极化电荷电量分布，极化电荷分布和极化电荷电量分布，极化电荷分布和极化电荷电量解解:电电场分布球对称性场分布球对称性取半径为取半径为r并与金属球并与金属球同心的球面同心的球面S为高斯面为高斯面 方向沿径向向外方向沿径向向外或或a.电介质中的电场分布为电介质中的电场分布为 b.极化强度为极化强度为c.球与介质交界处，介质表面球与介质交界处，介质表面的法向与该处极化强度的方向的法向与该处极化强度的方向相反相反 d.极化电荷电量为极化电荷电量为-q与与q0反号，而且数值小于反号，而且数值小于q0 例例4 两带等量异号电荷的导体板平行靠近放置两带等量异号电荷的导体板平行靠近放置,电电荷面密度分别为荷面密度分别为+和和-，板间电压，板间电压V0=300V。如保。如保持两板电量不变，将板间的一半空间充以相对介电持两板电量不变，将板间的一半空间充以相对介电系数系数 r=4的电介质的电介质,则板间电压为多少？介质上下表则板间电压为多少？介质上下表面极化电荷面密度多大？面极化电荷面密度多大？解：设板面积为解：设板面积为S，板间距离为，板间距离为d a.未放电介质未放电介质:板间场强大小和电压为板间场强大小和电压为b.充电介质充电介质:作底面积为作底面积为 S的高斯面的高斯面同理，对右半部有同理，对右半部有两侧电势相等两侧电势相等 因导体板上总电量保持不变因导体板上总电量保持不变解得解得 c.板间电场强度为板间电场强度为上表面上表面下表面下表面例例5.一平板电容器有两层介质，相对介电常数分别为一平板电容器有两层介质，相对介电常数分别为和和 ，厚度分别为，厚度分别为d1=2mm和和d2=3mm，极板面积为，极板面积为S=50cm2，两极板间电压为，两极板间电压为U=200V，求：（，求：（1）每层介质中场强的大小；）每层介质中场强的大小；（2）每层介质中的电场能量密度及能量；）每层介质中的电场能量密度及能量；（3）电容器的总能量。）电容器的总能量。解：如图解：如图（1 1）因）因 E1 d1+E2 d2=U（1 1）又又D1=D2 ，即，即从而得从而得（2）将（将（2）式代入（）式代入（1）式得）式得故得故得同理可得同理可得（2）介质中电场能量密度及能量）介质中电场能量密度及能量 （3）电容器的总能量）电容器的总能量例例6.一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为外圆筒半径分别为R12cm,R2=5cm,其间充满相其间充满相对介质常数为对介质常数为r 的各向同性、均匀电介质，电容器的各向同性、均匀电介质，电容器接在电压接在电压U32V的电源上，（如图所示），试求的电源上，（如图所示），试求距离轴线距离轴线 R3.5cm处的处的A点的电场强度和点的电场强度和A点与外点与外筒间的电势差。筒间的电势差。解：解：长为长为L的圆柱形电容器的电容为：的圆柱形电容器的电容为：电容器带电量为：电容器带电量为：由高斯定理可得由高斯定理可得A点场强大小为：点场强大小为：于是于是A点与外筒间的电势差为：点与外筒间的电势差为：例例7.一空气平行板电容器，两极板面积均为一空气平行板电容器，两极板面积均为S，板间，板间距离为距离为d（d远小于极板线度），在两极板间平行地插远小于极板线度），在两极板间平行地插入一面积也是入一面积也是S，厚度为，厚度为t(td)的金属片。试求的金属片。试求(1)电电容容C等于多少？等于多少？(2)金属片放在两极板间的位置对电容金属片放在两极板间的位置对电容值有无影响？值有无影响？解：解：AC可看成是可看成是AB和和BC的串联。设的串联。设BC=x，则有，则有例例8.厚度为厚度为d的的“无限大无限大”均匀带电导体板两表面单位面积均匀带电导体板两表面单位面积上电荷之和为上电荷之和为s 试求图示离左板面距离为试求图示离左板面距离为a的一点与离右的一点与离右板面距离为板面距离为b的一点之间的电势差的一点之间的电势差 解：选坐标如图由高斯定理，平板解：选坐标如图由高斯定理，平板 内、外的场强分布为：内、外的场强分布为：E=0 (板内板内)(板外板外)1、2两点间电势差两点间电势差 例例9.9.一平行板电容器的极板面积为一平行板电容器的极板面积为S S=1 =1 m2，两极板夹着，两极板夹着一块一块d d=5 mm厚的同样面积的玻璃板已知玻璃的相对介厚的同样面积的玻璃板已知玻璃的相对介电常量为电常量为 。电容器充电到电压。电容器充电到电压U U=12 V=12 V以后切断以后切断电源。求把玻璃板从电容器中抽出来外力需做多少功。电源。求把玻璃板从电容器中抽出来外力需做多少功。(真真空介电常量空介电常量 0=8.8510-12 C2N-1m-2)解：玻璃板抽出前后电容器能量的变化即外力作的功抽出解：玻璃板抽出前后电容器能量的变化即外力作的功抽出玻璃板前后的电容值分别为玻璃板前后的电容值分别为撤电源后再抽玻璃板板上电荷不变，但电压改变，即撤电源后再抽玻璃板板上电荷不变，但电压改变，即 抽玻璃板前后电容器的能量分别为抽玻璃板前后电容器的能量分别为外力作功外力作功=2.5510-6 J本章结束本章结束The End of This Chapter课后作业：课后作业：z教材：教材：p.316316：2,3,16,22,232,3,16,22,23z教材教材 11.1-11.411.1-11.4预习：预习：平板电容器平板电容器电荷面密度为电荷面密度为 面积为面积为S 极板相距极板相距d。问：不接电源将介电常数为。问：不接电源将介电常数为 的的 均匀电介均匀电介质充满其中，电场能量、电容器的电容各有什质充满其中，电场能量、电容器的电容各有什么变化？么变化？例例10.解：解：能量减少了能量减少了电场力作功！电场力作功！电容增大了电容增大了可容纳更多的电荷！可容纳更多的电荷！例例11.11.一平行板电容器，极板面积为一平行板电容器，极板面积为S S，两极板之间距离，两极板之间距离为为d d，中间充满相对介电常量为，中间充满相对介电常量为 的各向同性均匀电介的各向同性均匀电介质设极板之间电势差为质设极板之间电势差为U U试求在维持电势差试求在维持电势差U U不变下不变下将介质取出，外力需作功多少？将介质取出，外力需作功多少？解：在两极板之间电势差解：在两极板之间电势差U不变下，有介质时电容器中不变下，有介质时电容器中的电场能量为的电场能量为取出介质后的电场能量为取出介质后的电场能量为在两极板之间电势差在两极板之间电势差U不变下，由于电容值改变，不变下，由于电容值改变，极板上电荷发生变化极板上电荷发生变化 q=q2 q1=C2U C1U电源作功电源作功设外力作功为设外力作功为A1，则根据功能原理，则根据功能原理，A1+A2=W=W2 W1故外力作功故外力作功解：设解：设A、B板上的电荷面密度从上到下依次为板上的电荷面密度从上到下依次为，则 取向下为电场强度的正向。取向下为电场强度的正向。导体导体A、B内的电场强度为内的电场强度为0例例12.如图示，如图示，A、B为靠得很近的两块平行的大金属平板，为靠得很近的两块平行的大金属平板，两板的面积均为两板的面积均为S，板间的距离为，板间的距离为d。今使。今使A板带电量为板带电量为Q1，B板带电量为板带电量为Q2，且，且Q1Q2。求。求（1）A板的内侧带电量；板的内侧带电量；（2）两板间电势差）两板间电势差UAB。导体导体A内内：导体导体B内：内：解出解出 A A板内侧带电量板内侧带电量板内侧带电量板内侧带电量