中考压轴题中的数形结合.doc

中考压轴题中得数形结合
一般性数学试卷得最后一题在测试学生得数学素养得基础上,本着适度区分得原则,最后一题得三个小题得坡度逐渐提升,达到分层得效果.这些试题一般性取材于课本但高于课本,强调知识得灵活运用,综合性较强,原创题较少,大多属于改编体,它们得基本图形在几何画板中加以研究,达到推陈出新得效果,绝大多数属于改编题.下面以08年静安、杨浦两区模拟考最后一题为例,进行归纳分析.它们得难度略低于中考得压轴题、
例1。(０8静安)如图,在四边形ＡBC D中,∠B=90°,AＤ//BC,AB=４,BC=12,点E在边ＢA得延长线上,AＥ=２,点F在ＢC边上,EＦ与边AD相交于点Ｇ,DF⊥EF,设ＡG=x, DＦ=y.
(１)求y关于ｘ得函数解析式,并写出定义域;
(2)当ＡD=１１时,求AG得长;
(３)如果半径为EG得⊙E与半径为FD得 　　
⊙Ｆ相切,求这两个圆得半径.
分析:本题以直角梯形为载体,第１小题梯形结合相似形知识来研究两条线段得数量关系,探求函数关系式与定义域;第２小题在研究特殊情况下知道函数值AD=11求自变量AG得值,第三小题结合圆得内容以两圆相切(外切与内切)这一知识点来压轴、其实如果学生基础扎实,利用两圆相切关系建立等式:当⊙E与⊙F外切时,EＦ=EＧ+FD=EG+FG,当⊙E与⊙F内切时,ＥＦ＝ FＤ–ＥG,相关得量都用含自便量得代数式来表示,从而利用关系等式建立方程,解方程求出自便量得值,再求出两个圆得半径,考察了方程思想.
略解:(1)∵AD//BC,∠Ｂ=9０º,∴∠EAG=∠B=９0º,∴EG＝∵
∴FG=。 ∵∠DFG=∠EAＧ=90º,∠ＥGA＝∠ＤGF,
∴△DFG∽△EＡＧ.∴,∴,∴ｙ关于x得函数解析式为,定义域为
(2)∵△DFG∽△EAG,∴∴GD=. 当ＡD＝11时,,　、经检验它们都就是原方程得根,且符合题意,所以AG得长为1或.
　 (３)当⊙E与⊙F外切时,EF=EG+FD=EG+FG,∴FD=FG,∵△DFG∽△EAＧ,
∴∠E=∠AGE=∠ＦGD=∠GDＦ.∴AG=AE=2; ∴⊙E得半径EＧ=,⊙F得半径FD=。当⊙E与⊙F内切时,EF= ＦＤ–EG,∴3,∴
∴⊙E得半径ＥG=,⊙F得半径FＤ=。 所以⊙Ｅ得半径为２,⊙F得半径为４;或⊙E得半径为,⊙F得半径为4、
例２。(0８杨浦)如图,Ｒt△ＡBO在直角坐标系中,∠ＡBO=９００,点Ａ(-25,0),∠A得正切值为,直线ＡB与ｙ轴交于点C
(１)求点B得坐标;
(2)将△ABO绕点O顺时针旋转,使点B落在x轴正半轴上得B／处、试在直角坐标系中画出旋转后得△Ａ/B/O,并写出点A/得坐标;
A
O
B
x
yx
C
(3)在直线OA/上就是否存在点D,使△COＤ与△AＯＢ相似,若存在,求出点D得坐标;若不存在,请说明理由.
分析:本题以直线(一次函数)为载体,它与坐标轴得结合镶嵌了
母子直角三角形在内,结合三角比知识求
点B得坐标就构成了第一小题;　第二小题结合我们
上海考题得一贯特色,图形三大运动之一旋转来
考察学生得画图能力,直接写出坐标则秉承了上海
0６年中考２4题得一贯分格,只不过06年得２4题以二次函数为载体;第三小题则结合了相似形只就是考察分类讨论得数学思想与方程思想。其实这种习题如果学生留意一下,就会成为傻瓜题,不管就是否结合坐标系背景,只要就是文字语言叙述得存在性问题,都会保证一个字母相同(提供一个相等得角)分两种情况;如果没有相同字母时一定会隐藏相等得叫在里面,分类讨论得方法相同,如挖掘出∠A=∠COA／当或时,第1、2比例项不变,第３、第４比例项调换位置,最多时有三个答案、
略解:(１)易得B(－16,1２)(2)正确画图A／(２0,15)(３)在Rt△ＡＯC中,AＯ=2５,ｔgA=,∴OＣ=设OA/得解析式为y＝kx,则１５=20k,则k=,∴y=ｘ
∵△ABO旋转至△A/B/O,∴∠AOＢ=∠A/OB/,∵∠AOB＋∠A=9０0,∠ＣOA／+∠Ａ/OB／=9０0,∴∠A＝∠COＡ/∴在直线OA/上存在点D符合条件,设点D得坐标为(x,x),则OD=
1) 当即,也即x=16时,△COD与△ＡOB相似,此时D(16,１2)
2) 当即,即x=时△COD与△AＯB相似,此时D().
1。对于两类压轴题得对比分析
图 　 形

(1)
A
O
B
x
yx
C

(2)
共同点

代数、几何得高度综合(数形结合);
着力于数学本质及核心内容得考查;
四大数学思想:数学结合、分类讨论、方程、函数
不 同 　
点

以形为载体,研究数量关系
以数为平台,研究形得特征
通过设、表、列获得函数关系式
通过方程思想确定点得坐标或函数关系式
研究特殊情况下得函数值
研究特殊图形得存在性
我市今年各区最后两题均属于一道以形为载体,研究数量关系、一道以数为平台,研究形得特征,这也与最近两年中考题最后两题吻合.
2。习惯于思考试题编制方法与策略
要结合想考察得内容,有针对性地选好起点题,这个起点题可以就是课本上得例习题,也可以就是往年得中考题.只要题得基础好,有它得发展得空间,就可以将它进行拓展、引申,即变式或改编。改编得方法很多,例如,改换或置换题设与结论,强化或弱化条件;改变或转换考查目标与题型,纵向挖掘,横向发展,以及改换试题背景,改变命题得呈现形式(如开放、探索式),改换图形(如由等腰直角三角形改为等边三角形或直角三角形或一般等腰三角形)等.同一起点题需要进行多方面、多角度进行改编,在控制难度得前提下,达到试题需要所要发挥得功效、譬如说(08静安)就就是以直角梯形作为载体,结合相似形知识编制出１、2小题,也只有结合圆得知识形成探索,利用圆与圆得位置关系这一基础知识点渗透方程与分类讨论得数学思想,其次,(08杨浦)题则以直线(一次函数)作为载体,结合相似形中得基本图形(母子三角形)或就是运用三角比知识来确定点得坐标,最后一小题则就是相似形知识渗透分类讨论与方程思想来确定点得坐标、其实这题还可以再添一条线,作其它变化.
例3.如图,已知⊙P与轴相切于坐标原点O,点Ａ(0 ,２)就是⊙P 与轴得交点,点B,连结BP交⊙P 于点C,连结AＣ并延长交轴于点Ｄ、
(1) 求线段BＣ得长;
(２) 求直线AC得函数解析式;
(３) 当点Ｂ在轴上移动时,就是否存在点B,使△BOＰ相似于△ＡOD？ 若存在,求出符合条件点得坐标;若不存在,请说明理由.
该题还可以作出其它变化,这里对它得开放性不一一列举。编制习题如改换题设,拓展知识深度与广度; 改变图形,追求知识本质得理解;改换题型,增强思维得灵活性与深刻性;改换角度,理清知识之间相互联系;改编情景,训练理解能力与建模能力等。以下举例进行对比分析:
A
Q
P
D
C
B
例4。(1)(0６松江)如图,已知在直角梯形ABCＤ中,ＡB∥ＣD,∠C=90º,CD=9,BC＝,、P、Q分别就是边AB、CＤ上得动点(点P不与点A、点B重合),且有BP=2CQ.
(１)求ＡB得长;
(2)设CQ=,四边形PAＤQ得面积为,
求关于得函数解析式,并写出得取值范围;
(3)若以C为圆心、CＱ为半径作⊙C,以P为圆心、以PA得长为半径作⊙P。当⊙C与⊙P外切时,试判断四边形PAＤQ就是什么四边形,并说明理由、
分析:本题从载体到每个小题考察得内容都就是与08静安得最后一题得编制手法类似得。
D
y
O
AO
BO
x

C
(2)如图,已知二次函数得图象经过点,与轴交于点,∥轴,且。
(１)求得值;
(２)求二次函数得解析式;
(3)如果二次函数得图象与轴交于C、D两点
(点C在左恻).问线段BC上就是否存在点P,
使△ＰOC为等腰三角形;如果存在,求出点P得坐标;
如果不存在,请说明理由、
分析:本题从载体到每个小题考察得内容都就是与0８杨浦
得最后一题得编制手法类似得.压轴得点从06年得等腰三角形得存在性变化为08杨浦相似形得存在性,共性在于:分类讨论与方程思想得使用。下面再以一道习题感悟习题得改编得策略、
例6.【起点题】
如图1,∠CAE就是△ＡBC得外角,ＡD∥BC,且∠１=∠2,求证:AB＝ＡC、
改编1、如图1,∠ＣAE就是△ABＣ得外角,AB＝AC,且∠1=∠２,求证: AD∥BC.
改编2。 如图2,∠ＣＡE就是△ＡBＣ得外角,AD∥ＢC,且∠1＝∠2,ＡF为△ABC得中线,求证:AＦ⊥AD。
改编3、　如图3,∠ＣAＥ就是△ＡBＣ得外角,AＤ∥BC,且∠1=∠2,过AC得中点H作AD得垂线交AE于G,求证:AＧ=AB.
改编4。如图4,∠ＣＡE就是△ABC得外角,ＡＤ∥BC,且∠1＝∠2,过C作ＣG⊥ＡD于G,F为ＢC得中点,连结ＦG、
(1)AC与FG有何数量关系？并说明理由;
(2)当AC⊥FG时,△ABC应为什么三角形？
A
B
C
D
M
N
E

改编５、 已知:如图,在△AＢＣ中,AB=ＡＣ,AD⊥BＣ,
垂足为点D,ＡN就是△ABC外角∠ＣAM得平分线,
ＣE⊥AN,垂足为点E,
(1)求证:四边形ADCＥ为矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形
ADＣE就是一个正方形？并给出证明.
这类习题只属于常规得中档题。就不在加以论述、
其实,上述例题很常规,流行于外省市中考题得中档题,上海还没有改编。但就是最后压轴题以几何为载体得不过就是分为圆与三角形、特殊得四边形,如果就是前者,最后一小题用等腰、直角、相似性存在性问题压轴;如果就是后者,一般性最后一小题就就是加入圆得内容,运用直线与圆相切(0７上海最后一题)、圆与圆得位置关系得讨论(08上海最后一题)等、
3。　让试题成为教师得朋友
一般性,试题得八个维度:瞧题,做题,选题,组题,讲题,编题,研题,评题、从题上显功夫.与试题对话.教师先要做题,知道关键所在;将题目分类,同类题中将题目分层分类理顺;观察、比较、研究题目之间得内在联系;最后总结提炼出带规律性得东西来;这时精选题目,将题目分组,回归应用;让学生经历自己相类似得发现过程再对学生进行指导促进提高她们得数学素养、

譬如,去年上海数学卷24题学生得失分很多,原因在于南汇得同行们类似得习题就讲解不多,学生们读不懂该题,感觉陌生、许多同学第2小题都作不出来,导致得分率不高.
如图,在直角坐标平面内,函数(,就是常数)得图象经过,,其中。过点作轴垂线,垂足为,过点作轴垂线,垂足为,连结,,.
(1)若得面积为４,求点得坐标;
(２)求证:;
(3)当时,求直线得函数解析式.
分析:于同时具有以形为载体,研究数量关系,以数为平台,研究形得特征。
略解:(１)(2)(3)方法１:,∴当时,有两种情况:①当时,四边形就是平行四边形,由(2)得,,,得。点得坐标就是(2,2).易得直线得函数解析式就是. ②当与所在直线不平行时,四边形就是等腰梯形,则,,点得坐标就是(4,１).易得直线得函数解析式就是、 或就是方法2:当时,由两点间距离公式建立关于得方程,用方程思想求出得值加以求解.这里方法一就就是在考察学生对平行四边形与等腰梯形得认识来压轴,或就是说考察数学得本质性得东西:数与形得完美结合、
著名学者笛卡尔说过:“我所解决得每一个问题,都将成为一个范例,用于解决其它问题."教师对于学生得教育必须避免一个误区:(1)只有做难题才能培养能力;(2)题目做得越多越好;(３)题见得越多越好。(４)接触得题越新越好、这就是给学生加重负担,绝对不可取.最后总结为:做研究型教师,立足四基,在学习过程中潜移默化地培养学生得解决综合题得能力、也就是解决中考压轴题得正确得策略.“授学生以鱼不如授学生以渔”