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培优整式的乘除法
整式的乘法与除法
数学更高的价值在于培养纯粹的思维能力，启发人们向往理念的端倪，便于将灵魂从变化的世界转向真理的存在。
——柏拉图《理想国》
知识枞横
指数运算律是整式乘除的基础，有以下四个：
。学习指数运算律应注意：
1．运算律成立的条件；
2．运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式；
3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用。
多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：
1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；
2．确定商式、竖式演算式，同类项上下对齐；
3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止。
【例题1】（1）把展开后得，则= ；
（“祖冲之杯”邀请赛）
（2）已知，则= ；
（“祖冲之杯”邀请赛）
思路点拨 我们很难将相应多项式的展开式写出，因此想通过展开式去求出每一个系数是不实际的，事实上，上列等式在的允许值范围内取任何一个值代入计算，等式都成立，考虑赋值法解。2VD2nhJ。DfP7SwF。
[例2]则等于（ ）
A．2 B． 1 C． D．
（“希望杯”邀请赛试题）
思路点拨 因x、y为指数，我们目前无法求出x、y的值，，其实只需求出的值或他们的关系，自然想到指数运算律。oZkrt90。85OCoMc。
[例3]已知求的值。
（“华赛杯”邀请赛试题）
思路点拨： 恰当地运用条件，把高此项用低次多项式表示，如等。
[例4]设都是自然数，且求的值。
（上海市普陀区竞赛题）
思路点拨 设，这样可用的式子表示，可用的式子表示，减少字母的个数，降低问题的难度。
[例5]已知多项式能被整除，求的值。
（北京市竞赛题）
【例6】 (1) 在2004、2005、2006、2007这四个数中， 不能表示为两个整数平方差是______. （第10届江苏竞赛题）QRMo8Hz。fJtav7z。
(2) 已知(2000-a)(1998-a)=1999，那么， = _________. kScuabU。dDg8cHs。
(重庆竞赛题)
思路点拨: （1）,m+n，m-n的奇偶性相同，这是解本例题的基础。 （2）视(2000-a)•(1998-a)为整体,由平方和想到完全平方公式及其变形murw2Ba。874B4vL。
【例7】(1) 已知a、b、c满足，，，则a+b+c的值等于( ).0qjZKc0。ZgONBEg。
A. 2 B. 3 C. 4 D.5 CXOyCxO。XpoRH0q。
学力训练
基础夯实
1．（1） 。
（2）若，则 。
2．如图，甲类纸片是边长为2 的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 张才能用它们拼成一个新的正方形．KsHyfd0。H3gFcgM。
（2011浙江省湖州市中考题）
3． 满足最小正整数为 。（武汉市选拔赛试题）
4．杨辉三角是一个由数字排列的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处）的展开式中的系数。杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。nzLbwsm。GyZ8l6K。
1
　 1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 127oqr7V。GhXvPNj。

……
上图中的构成规律你看懂了吗？
请你直接写出 。
杨辉三角还有另一个特征：
（1） 从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与 的积。uMGiuZs。cispmB0。
（2） 由此你可先写出 。
（3） 由第 行写出 。
（第4届《时代学习报》数学文化节试题）
5． 化简得
A．　　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　　Ｄ．
（＂ＴＩ杯＂全国初中数学赛试题）
6．已知a=,b=,c=,d=,那么a,b,c,d从小到大的顺序是( )
A. a<b<c<d B. a<b<d<c
C. b<a<c<d D. a<d<b<c
(北京市”迎春杯”竞赛题)
7. 若 x=+,y=+,其中n为整数，则x与y的数量关系为( )
A．x=4y B. y=4x C. x=12y D. y=12xjPLftBi。CEiSs2A。
(第21届江苏省竞赛题)
8. 已知=3, =12 , 则a,b,c的关系为( )
A. 2b<a+c B. 2b=a+c C. 2b>a+c D. a+b>cuvm6YrD。vl319MO。
(河北竞赛题)
9. 已知6-7xy-3+14x+y+a=(2x-3y+b)(3x+y+c), 试确确定a,b,c的值
10. 设a, b,c,d都是正整数, 并且=,=,c-a=19，求d-b的值。
(江苏省竞赛题)
11. 已知+k+3除以x+3,其余数较被x+1除所得的余数少2，求k的值
(第19届香港中学竞赛题)
12. 已知 +2ab+=0,那么，代数式，a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值为_________________.UCwJViB。4XCaEBp。
(2011年北京中考题)
13. 若非零实数，a,b(a)，满足 ,则=_______.YTkxNWW。C1fbrwf。
14. 计算
(1). ______________.
(2）++…+______.gz2i59q。0oEAusH。
(3). =__________.
15. 已知 a-b=b-c=，++则ab+bc+ca=_________________. (宁波市中考题)CyhB58u。f9UsQZj。
16. 已知a+则=___________________. (菏泽市中考题)3TqXdLW。7PyxopO。
17. 若n满足=1，则(2005-n)(n-2004)等于 ( )A. -1 B. 0 C. D. 1WrAiUOJ。qTMdNQg。
(荆州市竞赛题)
18. 已知(a+b)=2，那么的值是( ).
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
(四川省德阳市中考题)
19. 已知a=, b=,
c=+( )
A. 4 B. 3 C.2 D. 1
(河南省中考题)
20. 已知P=m-1，Q=(m为任意实数)，则P,Q的大小关系为( )8Nl2UIm。Mc833Mj。
A . P>Q B. P=Q C. P<Q D. 不能确定
(江苏省泰州市中考题)
21. 若m, n为有理数，一切2=0,
则( ).A. -8 B. -16 C. 8 D. 16
能力拓展
1. 观察: 123+1=;
2345+1=;
3456+1=;
………………
(1)请你写出一个具有普遍性的结论，并给出证明
(2) 根据(1),计算22003+1的结果(用一个最简单的式子表示)。
(黄冈市竞赛题)
2、已知ax+by=3, ay-bx=5,则()()的值为__________. (河北省竞赛题)B47B1oV。26v7oz1。
3、设x,y为正数，且xy=1,则的最小值为____________. (江苏省竞赛题)CJAfgqv。qO0BPIM。
4、 (1) 计算: =________. (第六届“希望杯“竞赛题)
(2) 比较大小：(-2)_______。 (第10届”华杯赛”少年数学邀请赛试题)
5 、若+x-2=0, 则+2-x-2007 = __________。(“希望杯”邀请赛试题)
6、 若(2x-1)=a+ a+ a+ a+ ax+ a,则a+ a=_______.
（北京市竞赛题）
7、已知a,b满足6=2010, 335=2010， 则的值是__________.
（2011年武汉市竞赛题）
8、已知a,b,c均为不等式1的正数，且a=b=,则abc的值为( )
A.3 B.2 C. 1 D.6AWn4TL。qpmkdMf。
(“CASIO杯”武汉市竞赛题)
9、 若x>1,y>0，且满足xy=x,则x+y的值为( )
A.1 B.2 C. D.EEqp3KI。UDMfCHb。
(2011年”《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题)
10、已知(x+x+1)= ++,
求 的值。 (第16届”五羊杯”竞赛题)